Modelo de Drude-Sommerfeld

Conducción electrónica con dispersión, fermiones degenerados y correcciones de Sommerfeld.

Contexto conceptual

El modelo de Drude-Sommerfeld une dos ideas: los electrones de conducción se mueven por un sólido y, al mismo tiempo, no son un gas clásico ordinario. El enfoque de Drude explica la $\sigma$ mediante aceleración por $E$ y relajación por choques. Sommerfeld corrige la imagen: los electrones obedecen estadística de Fermi, ocupan estados hasta la $E_F$ y solo los cercanos a esa frontera energética participan de forma efectiva en el transporte. Así, el material no entra como una etiqueta mágica, sino a través de $n$, $m*$, dispersión y estructura de banda.

🟢 Nivel esencial

La pregunta central es por qué un metal conduce mucho, poco o casi nada cuando se le aplica una perturbación externa débil.

El modelo responde separando tres ingredientes. Primero, la $n$ cuenta cuántos portadores disponibles tiene el material. Segundo, el $\tau$ mide cuánto tiempo conserva un electrón su impulso antes de dispersarse con impurezas, fonones o defectos. Tercero, la $m*$ traduce la inercia real dentro de una banda cristalina. Una $\sigma$ alta no significa que cada electrón avance deprisa por el cable; significa que muchísimos electrones adquieren una pequeña deriva colectiva. Sommerfeld añade que el gas electrónico está degenerado: la escala importante no es la agitación térmica clásica, sino la $E_F$ y los estados cercanos a la superficie de Fermi. Esa superficie actúa como una frontera cuántica de participación.

Paul Drude propuso el modelo clásico en 1900, apenas tres años después del descubrimiento del electrón, tratando los portadores como un gas de partículas clásicas que chocan con la red. Arnold Sommerfeld corrigió esa imagen en 1927 al aplicar la estadística de Fermi-Dirac, resolviendo de un plumazo varias discrepancias del modelo original, como la contribución electrónica al calor específico.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

La relación central del modelo Drude-Sommerfeld para transporte eléctrico usa $n$, $e$, $\tau$ y $m*$ para fijar $\sigma$. Esta expresión concentra la lectura microscópica: más portadores y más memoria de momento aumentan la respuesta, mientras una mayor inercia de banda la reduce.

Conductividad de Drude

En un metal isotrópico, esa $\sigma$ conecta $j$ y $E$ mediante la ley microscópica de Ohm. La relación es local y lineal, no una ley geométrica del cable completo.

Ley de Ohm microscópica

La oposición equivalente se expresa como $\rho$, útil cuando el problema se plantea desde pérdidas o medidas de cuatro puntas.

Resistividad como inversa de la conductividad

Preguntas reales del alumno

¿Por qué aparece $e$ al cuadrado si los electrones tienen carga negativa? Porque en $\sigma$ importa el módulo de la respuesta eléctrica; el signo aparece en $v_d$ y $R_H$.

¿Un $\tau$ mayor siempre mejora el transporte? En el modelo lineal sí, pero en un material real puede venir acompañado de cambios de banda, $T$ o defectos.

¿La $E_F$ se usa para calcular directamente la corriente? No siempre. Sirve para justificar que el gas es degenerado y para estimar $v_F$ y $ℓ$.

¿Por qué la $v_d$ es tan pequeña? Porque la corriente nace de una ligera asimetría sobre velocidades cuánticas enormes y distribuidas en muchas direcciones.

Síntesis final

Drude-Sommerfeld explica la conducción como una competición entre aceleración eléctrica, densidad de portadores, inercia de banda y pérdida de memoria por dispersión. Su fuerza está en convertir propiedades microscópicas en $\sigma$ medible; su límite está en todo aquello que no cabe en una sola banda relajante.