Ecuación de onda electromagnética

Consecuencia matemática de Maxwell: ecuación de onda para E y B en el vacío y deducción de c.

Contexto conceptual

Las ecuaciones de Maxwell son cuatro leyes que gobiernan los campos $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ en todo punto del espacio y del tiempo. Por separado, cada ecuación describe una relación local: cuánta divergencia o rotacional tiene el campo en cada punto. Pero cuando se combinan —aplicando rotacional a la ley de Faraday y sustituyendo la ley de Ampère-Maxwell— emerge algo inesperado: una ecuación de onda.

Esta deducción fue el mayor logro teórico del siglo XIX. Maxwell no midió nada nuevo: solo manipuló las ecuaciones que ya conocía y encontró que los campos eléctrico y magnético podían propagarse solos, sin soporte material, a una velocidad que resultó coincidir exactamente con la velocidad de la luz. El electromagnetismo y la óptica, dos ramas aparentemente distintas, quedaron unificadas en un solo marco.

El resultado concreto es la ecuación de onda electromagnética, que dice que $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ se propagan como ondas a la velocidad $c$, y que $c$ es una consecuencia directa de las constantes $\varepsilon_0$ y $\mu_0$ del vacío.

🟢 Nivel esencial

Una onda de luz es un campo eléctrico $\mathbf{E}$ y un campo magnético $\mathbf{B}$ que oscilan simultáneamente y se sostienen mutuamente. El campo $\mathbf{E}$ variable genera $\mathbf{B}$, y el $\mathbf{B}$ variable genera $\mathbf{E}$: los dos campos se alimentan entre sí y se propagan por el vacío sin necesidad de ningún medio material.

La clave es la velocidad: la onda se propaga a $c$, aproximadamente trescientos millones de metros por segundo. Esta velocidad no se mide directamente; se deduce de los valores de $\varepsilon_0$ y $\mu_0$, las constantes que describen cómo responde el vacío a los campos eléctricos y magnéticos. El hecho de que ese número coincidiera con la velocidad de la luz medida por Fizeau en 1849 fue la señal de que la luz es una onda electromagnética.

Una onda electromagnética en el vacío es siempre transversal: $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ oscilan perpendicularmente a la dirección de propagación y perpendicularmente entre sí. No hay oscilación en la dirección de avance; toda la energía viaja hacia adelante.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

La deducción parte de las ecuaciones diferenciales de Maxwell en el vacío (sin cargas ni corrientes). Se aplica el operador rotacional a la ley de Faraday:

Ecuación de onda para el campo eléctrico

El término de la derecha contiene la segunda derivada temporal de $\mathbf{E}$. El coeficiente que multiplica esa derivada es el producto $\mu_0$·$\varepsilon_0$. Comparando con la forma estándar de la ecuación de onda escalar ∇²f = (1/v²)∂²f/∂t², se identifica inmediatamente la velocidad de propagación:

Velocidad de la luz desde μ₀ y ε₀

El valor numérico de $c$ = 1/√(μ₀ε₀) es aproximadamente 2.998×10⁸ m/s, coincidiendo con la velocidad de la luz en el vacío medida experimentalmente.

Preguntas reales del alumno

¿La velocidad de la luz es un postulado o se deduce? Se deduce. Maxwell no postuló $c$; simplemente combinó las ecuaciones de Gauss, Faraday y Ampère y obtuvo la ecuación de onda. La velocidad $c$, igual a 1/√(μ₀ε₀), es una consecuencia matemática de esas leyes. Lo que sorprendió a Maxwell fue que ese valor coincidiera con la $c$ medida experimentalmente.

¿Por qué E y B son perpendiculares entre sí? En una onda plana en el vacío, la ley de Gauss sin cargas impone que $\mathbf{E}$ sea perpendicular a la dirección de propagación. La ley de Faraday fuerza a $\mathbf{B}$ a ser perpendicular tanto a $\mathbf{E}$ como a esa dirección. La transversalidad es una consecuencia directa de las ecuaciones de Maxwell.

¿Puede haber una onda con solo E o solo B? No, en el vacío. Los dos campos están acoplados: $\mathbf{E}$ variable genera $\mathbf{B}$ (Faraday) y $\mathbf{B}$ variable genera $\mathbf{E}$ (Ampère-Maxwell). Una onda con solo $\mathbf{E}$ violaría la ley de Faraday. Los dos campos coexisten siempre en la onda y son inseparables.

¿Qué pasa con la ecuación de onda en el vacío si hay cargas? Si hay cargas o corrientes, aparecen términos fuente en las ecuaciones de Maxwell y la ecuación de onda homogénea ya no vale directamente. Se obtiene una ecuación inhomogénea con fuentes, cuya solución incluye las ondas emitidas por las cargas aceleradas (radiación).

Síntesis final

La ecuación de onda electromagnética es la consecuencia más profunda de las ecuaciones de Maxwell: demuestra que los campos $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ pueden existir y propagarse solos en el vacío, a la velocidad universal $c$ = 1/√(μ₀ε₀), sin soporte material. Esta predicción unificó la óptica y el electromagnetismo, y fue el primer indicio de que la mecánica newtoniana debía ser reformulada.