Distribuciones estadísticas

Colectividades estadísticas y funciones de distribución para partículas distinguibles e indistinguibles.

Las distribuciones estadísticas constituyen la herramienta central de la mecánica estadística para predecir cómo se reparten la energía, las velocidades y los estados microscópicos entre un colectivo inmenso de partículas en equilibrio térmico. Mientras que la termodinámica macroscópica describe variables globales como la presión, el volumen y la temperatura, las funciones de distribución conectan las reglas cuánticas y microscópicas de cada partícula individual con las magnitudes medibles en el laboratorio.

Dependiendo de la naturaleza indistinguible de los constituyentes y de las restricciones de espín que impone la mecánica cuántica, la física divide los sistemas en tres grandes regímenes estadísticos:

1. Estadística Clásica de Maxwell-Boltzmann

La distribución de Maxwell-Boltzmann describe sistemas de partículas distinguibles o sistemas en los que la densidad cuántica es tan baja que los efectos de simetría de la función de onda son despreciables (régimen de altas temperaturas y bajas densidades).

• Principio Fundamental: Cada microestado accesible tiene la misma probabilidad a priori, lo que conduce a la conocida dependencia exponencial del factor de Boltzmann: $f_{\text{MB}}(E) \propto e^{-\frac{E}{k_B T}}$
• Distribución de Velocidades: Permite deducir la distribución isotrópica de velocidades moleculares en un gas ideal, caracterizada por la velocidad más probable, la velocidad media y la velocidad cuadrática media ($v_{\text{rms}}$).
• Teorema de Equipartición: Cada grado de libertad cuadrático en el hamiltoniano almacena una energía media igual a $\frac{1}{2} k_B T$, fundamentando el cálculo de calores específicos clásicos en gases monoatómicos y diatómicos.

2. Estadística Cuántica de Bose-Einstein

Cuando las partículas son cuánticamente indistinguibles y poseen espín entero ($s = 0, 1, 2, \dots$), se denominan bosones. Su función de onda espacial es totalmente simétrica bajo el intercambio de dos partículas y no obedecen el principio de exclusión de Pauli.

• Factor de Ocupación: El número medio de partículas en un estado cuántico con energía $\epsilon$ viene dado por: $\langle n_{\text{BE}}(\epsilon) \rangle = \frac{1}{e^{\frac{\epsilon - \mu}{k_B T}} - 1}$ donde $\mu \le 0$ es el potencial químico.
• Condensación de Bose-Einstein: A temperaturas extremadamente bajas, una fracción macroscópica de los bosones colapsa al estado cuántico fundamental ($\epsilon = 0$), originando un estado de la materia con propiedades de coherencia cuántica macroscópica y superfluidez.
• Radiación de Fotones y Fonones: Los cuantos de luz (fotones, con $\mu = 0$) siguen esta estadística, derivando de forma natural la ley de radiación del cuerpo negro de Planck.

3. Estadística Cuántica de Fermi-Dirac

Las partículas con espín semientero ($s = 1/2, 3/2, \dots$), como los electrones, protones y neutrones, son fermiones. Su función de onda total es antisimétrica y están sujetas de forma estricta al principio de exclusión de Pauli: ningún estado cuántico individual puede albergar más de una partícula.

• Factor de Ocupación: El número medio de ocupación por estado está acotado estrictamente entre 0 y 1: $\langle n_{\text{FD}}(\epsilon) \rangle = \frac{1}{e^{\frac{\epsilon - \mu}{k_B T}} + 1}$
• Energía de Fermi ($E_F$): A temperatura cero absoluto ($T = 0\text{ K}$), los fermiones llenan todos los niveles de energía disponibles hasta la superficie de Fermi, formando el mar de Fermi.
• Gas de Electrones y Presión de Degeneración: Explica la conductividad eléctrica y térmica de los metales, la capacidad calorífica electrónica a bajas temperaturas y la estabilidad gravitatoria de estrellas enanas blancas y de neutrones frente al colapso gravitatorio.

Límite Clásico y Comparación

En el límite donde la distancia media entre partículas es mucho mayor que la longitud de onda térmica de De Broglie ($\lambda_{\text{th}} = h / \sqrt{2\pi m k_B T}$), el término exponencial domina ampliamente en el denominador ($e^{(\epsilon - \mu)/k_B T} \gg 1$), y tanto la estadística de Bose-Einstein como la de Fermi-Dirac convergen suavemente a la distribución clásica de Maxwell-Boltzmann.