Vectores y componentes

Descomposición de vectores en componentes cartesianas y cálculo del módulo y ángulo.

Contexto conceptual

Cuando un objeto se mueve, la fuerza que lo impulsa o la velocidad que lleva rara vez apuntan exactamente a lo largo de un único eje. Para describir esa dirección con precisión y para poder operar algebraicamente con ella, la física utiliza vectores: objetos matemáticos que tienen a la vez magnitud y dirección. Descomponer un vector en sus componentes cartesianas equivale a preguntarse: ¿cuánto de este vector apunta hacia la derecha y cuánto apunta hacia arriba? La respuesta a esa pregunta, expresada en números con signo, convierte un problema geométrico bidimensional en dos problemas escalares independientes que se pueden resolver por separado. Esa es la potencia central de este leaf.

🟢 Nivel esencial

Un vector en el plano es una flecha con longitud $v$ y dirección $\theta$, medido desde el eje horizontal en sentido antihorario.

La descomposición pregunta: ¿qué sombra proyecta esa flecha sobre el eje horizontal y qué sombra sobre el eje vertical? La sombra horizontal es la componente $v_x$ y la vertical es $v_y$.

Cuando el vector apunta hacia la derecha, toda su longitud está en $v_x$ y $v_y$ vale cero. Cuando apunta hacia arriba, toda la longitud está en $v_y$ y $v_x$ vale cero. Para cualquier otra dirección la longitud se reparte entre ambas componentes según el coseno y el seno de $\theta$. Ninguna componente puede superar en valor absoluto al módulo $v$; la longitud total se conserva siempre mediante la relación de Pitágoras.

Por ejemplo, un vector de 10 unidades apuntando 60° por encima de la horizontal reparte su longitud de forma desigual entre los dos ejes: la mayor parte queda en la componente vertical, porque el ángulo está más cerca de 90° que de 0°, y solo una fracción menor queda en la componente horizontal.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

Las cuatro fórmulas fundamentales de este leaf conectan el módulo $v$, el ángulo $\theta$ y las componentes $v_x$, $v_y$ en ambas direcciones.

Componente x:

Componente x de un vector

$v_x$ es la proyección del vector sobre el eje x. El coseno vale 1 cuando $\theta$ = 0 (vector horizontal) y 0 cuando $\theta$ = π/2 (vector vertical). El signo de $v_x$ indica hacia qué lado apunta la proyección horizontal.

Componente y:

Componente y de un vector

$v_y$ es la proyección sobre el eje y. El seno vale 0 cuando $\theta$ = 0 y alcanza su máximo cuando $\theta$ = π/2. Ambas fórmulas trabajan siempre en pareja: aumentar $\theta$ de 0 a π/2 transfiere longitud de $v_x$ a $v_y$.

Preguntas reales del alumno

¿Por qué $v_x$ puede ser negativo si $v$ es positivo? $v$ mide la longitud total del vector, que no puede ser negativa. $v_x$ mide la proyección sobre el eje x con signo: si el vector apunta hacia la izquierda respecto al eje x, la proyección es negativa. El módulo siempre es no negativo; las componentes son cantidades con signo.

¿Cuándo se usa atan y cuándo atan2? Usar siempre atan2($v_y$, $v_x$) para calcular $\theta$. La función atan($v_y$/$v_x$) da el ángulo correcto solo cuando $v_x$ > 0. En el segundo cuadrante ($v_x$ < 0, $v_y$ > 0), atan devuelve un ángulo negativo incorrecto; atan2 devuelve el ángulo correcto en (−π, π].

¿Por qué $\theta$ tiene que estar en radianes? Las funciones cos y sin de las calculadoras científicas y los lenguajes de programación operan en radianes por defecto. cos(π/4) es igual a 0.707, pero cos(45) ≈ 0.526 (en radianes, 45 rad ≈ 14.3 vueltas completas). Usar grados sin convertir produce un resultado completamente incorrecto.

¿Es lo mismo el módulo que la suma de las componentes? No. El módulo es $v$ es igual a sqrt($v_x$² + $v_y$²), que es siempre menor o igual que $v_x$| + |$v_y$| (desigualdad triangular). Para $\theta$ es igual a π/4, $v_x$ + $v_y$ es igual a 1.414$v$, pero $v$ es igual a 1$v$.

Síntesis final

Descomponer un vector es expresar su dirección y magnitud en el lenguaje de los ejes cartesianos. El módulo $v$ y el ángulo $\theta$ dan toda la información necesaria para calcular $v_x$ y $v_y$ mediante coseno y seno. El invariante de Pitágoras garantiza que ninguna información se pierde en el proceso. La descomposición es exacta, reversible y válida para cualquier vector en el plano euclidiano.