Álgebra lineal y tensores

Matrices, transformaciones lineales, autovectores, tensores y modos normales en física.

Idea general del tema

El álgebra lineal es la estructura matemática que sustenta la física de sistemas multivariables, las transformaciones de coordenadas en relatividad y la mecánica cuántica en espacios de Hilbert. Describe cómo los objetos físicos se transforman bajo rotaciones, traslaciones y cambios de base, distinguiendo entre escalares (rango 0), vectores contravariantes y covariantes (rango 1) y tensores de orden superior (rango $\ge 2$).

Este nodo agrupa espacios vectoriales, transformaciones lineales, autovalores y autovectores, diagonalización de matrices hermíticas y simétricas, y el formalismo tensorial en coordenadas curvilíneas y espacio-tiempo de Minkowski.

Que vas a comprender de verdad

Comprenderás cómo la diagonalización de una matriz cuadrada simétrica (como el tensor de inercia $I_{ij}$ o el tensor de tensiones $\sigma_{ij}$) encuentra los ejes principales naturales donde el sistema se desacopla y los momentos de inercia o esfuerzos son puramente diagonales.

Aprenderás a aplicar la notación de índices de Einstein con sumación implícita ($A_i B^i$) y a distinguir entre vectores contravariantes ($v^\mu$) y covariantes ($v_\mu = g_{\mu\nu} v^\nu$) en espacios con métrica no euclídea.

Ruta didáctica recomendada

1. Espacios vectoriales y bases: independencia lineal, bases ortonormales, producto interno y proceso de Gram-Schmidt.
2. Matrices y operadores lineales: determinantes, traza, transformaciones ortogonales (rotaciones $SO(3)$) y unitarias ($U(N)$).
3. Autovalores y diagonalización: ecuación característica $\det(A - \lambda I) = 0$, teorema espectral y modos normales de vibración.
4. Cálculo tensorial: definición de tensor por ley de transformación, métrica $g_{\mu\nu}$, subida y bajada de índices y tensor de Levi-Civita $\epsilon_{ijk}$.

Criterio físico que debes adquirir

Entender el principio de covarianza: una ecuación física formulada en notación tensorial (como $G_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}$ o $\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu$) es automáticamente válida en cualquier sistema de referencia de coordenadas.

Conexión con problemas reales

• Mecánica de sólidos rígidos: tensor de inercia y elipsoide de Poinsot.
• Mecánica cuántica: operadores hermíticos como observables físicos y conmutación de operadores.
• Relatividad especial y general: métrica de Minkowski $\eta_{\mu\nu}$ y tensor de Riemann $R^{\rho}_{\ \sigma\mu\nu}$.

Meta final del tema

Dominar el álgebra de matrices, la diagonalización de operadores y el cálculo tensorial covariante para formular teorías físicas modernas.