Derivadas parciales básicas

Medir cambio respecto a una variable manteniendo otras constantes. Teoría, fórmulas, ejemplos resueltos y gráficas interactivas.

Que es

Una derivada parcial mide la tasa de cambio de una función de varias variables respecto a una sola de ellas, manteniendo todas las demás fijas (constantes) durante el cálculo. Si f depende de x e y, la derivada parcial de f respecto a x, escrita ∂f/∂x, dice cuanto cambia f cuando x cambia un poco y y se mantiene exactamente igual.

Esto contrasta con la derivada ordinaria de una función de una sola variable: en varias variables, hay tantas derivadas parciales como variables independientes, y cada una responde una pregunta distinta: "¿que pasa si cambio solo esta variable, dejando las demás fijas?"

Por qué aparece en física

Aparece porque casi todas las magnitudes físicas relevantes dependen de más de una variable a la vez: la presión de un gas depende de su volumen y su temperatura, la temperatura de una habitación puede depender de la posición y del tiempo, y la energía potencial gravitatoria depende de la posición en tres dimensiones. Para entender como responde una de estas magnitudes a un cambio en una sola variable especifica, sin mezclar el efecto de las demás, se necesita la derivada parcial.

En termodinámica, las derivadas parciales permiten definir magnitudes como la capacidad calorífica a volumen constante o a presión constante, cada una obtenida derivando la energía o la entalpía respecto a la temperatura mientras se mantiene fija otra variable de estado. En campos vectoriales, cada componente del gradiente es una derivada parcial respecto a una coordenada espacial distinta.

Idea visual o geométrica

La idea visual es esta: si f(x,y) es una superficie en tres dimensiones (la altura sobre el plano xy), la derivada parcial ∂f/∂x en un punto es la pendiente de la curva que se obtiene al "cortar" esa superficie con un plano vertical paralelo al eje x, pasando por ese punto, mientras y se mantiene fijo en ese corte.

De la misma manera, ∂f/∂y es la pendiente de la curva obtenida al cortar la superficie con un plano paralelo al eje y. Cada derivada parcial da la inclinación de la superficie en una dirección especifica, no en todas las direcciones combinadas a la vez.

Lenguaje simbólico mínimo

La derivada parcial de f respecto a x se escribe ∂f/∂x, y se calcula tratando todas las demás variables como si fueran constantes numéricas, aplicando las reglas ordinarias de derivación solo a la dependencia en x. Formalmente, ∂f/∂x = lim(h→0) [f(x+h, y) - f(x,y)] / h, manteniendo y fijo en el límite.

Una función de n variables tiene n derivadas parciales de primer orden, una por cada variable independiente: ∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn, cada una calculada de la misma manera, tratando las demás variables como constantes.

Que significa el resultado

El resultado de una derivada parcial ∂f/∂x significa la tasa de cambio de f cuando exclusivamente x varía, con todas las demás variables congeladas en sus valores actuales. Esto es distinto de la tasa de cambio total de f si varias variables cambiaran simultáneamente, que requeriría combinar todas las derivadas parciales (usando la diferencial total).

El signo del resultado indica si f aumenta o disminuye al aumentar x (con las demás variables fijas), y su magnitud da la rapidez de ese cambio en esa dirección especifica, sin informacion sobre lo que ocurriría si las demás variables también cambiaran.

Cuando no debes usarlo

No confundas una derivada parcial con la tasa de cambio total de una magnitud cuando varias variables cambian simultáneamente: si todas las variables dependen a su vez de una variable común (como el tiempo), se necesita la regla de la cadena multivariable, no solo derivadas parciales aisladas.

Tampoco olvides especificar claramente cual variable se mantiene constante al calcular una derivada parcial: la misma función puede tener derivadas parciales muy distintas respecto a distintas variables, y omitir esa especificación genera ambigüedad sobre que se está calculando exactamente.

Resumen operativo

Identifica todas las variables independientes de la función, decide respecto a cual quieres derivar, trata todas las demás variables como constantes numéricas fijas, aplica las reglas ordinarias de derivación solo a la dependencia en la variable elegida, e interpreta el resultado como la tasa de cambio de la función en esa dirección especifica, manteniendo las demás variables inalteradas.

Procedimiento

Antes de calcular

Identifica todas las variables independientes de la función y cual de ellas es la variable respecto a la cual quieres derivar. Verifica que el problema pida efectivamente una derivada parcial (cambio respecto a una variable, otras fijas) y no una tasa de cambio total.

Confirma que la función esté escrita explícitamente en términos de todas sus variables independientes antes de comenzar a derivar.

Paso 1: identifica el objeto matemático

Escribe la función f(x, y, ...) señalando claramente todas sus variables. Decide explícitamente cual variable vas a derivar y cuales se mantendrán constantes durante ese cálculo.

Si la función tiene una forma compuesta, identifica primero si alguna parte depende únicamente de la variable elegida y trata el resto como constantes numéricas.

Paso 2: elige la operación

Aplica las reglas ordinarias de derivación (potencias, exponenciales, trigonométricas, producto, cociente, cadena) tratando todas las variables distintas a la elegida como si fueran números fijos, no variables.

Si necesitas más de una derivada parcial (por ejemplo, para construir un gradiente), repite el proceso por separado para cada variable, sin mezclar los cálculos de una con otra.

Paso 3: conserva unidades y signos

Verifica que las unidades de la derivada parcial sean las de la función dividida entre las unidades de la variable elegida, igual que en una derivada ordinaria, ignorando las unidades de las demás variables (que permanecen fijas).

Conserva el signo del resultado con cuidado: el signo de una derivada parcial solo describe el comportamiento respecto a la variable elegida, no respecto a las demás.

Paso 4: calcula

Deriva termino a termino tratando las variables no elegidas como constantes: cualquier termino que no contenga la variable de derivación tiene derivada parcial cero respecto a ella, exactamente como una constante numérica.

Si hay productos entre la variable elegida y otra variable, trata la otra variable como un coeficiente constante al aplicar la regla de derivación de potencias o de producto.

Paso 5: interpreta el resultado

Interpreta el resultado como la tasa de cambio de la magnitud física en la dirección de la variable elegida, con las demás variables congeladas en sus valores actuales. Ten presente que este resultado no describe que pasaría si varias variables cambiaran a la vez.

Si el resultado forma parte de un gradiente o de otra construcción con varias derivadas parciales, interpreta cada componente por separado antes de combinarlas.

Checklist de autocontrol

Comprueba que identificaste correctamente todas las variables de la función, que trataste las variables no elegidas como constantes durante todo el cálculo, que las unidades del resultado son coherentes, y que puedes explicar en palabras que significa el resultado en términos de "que pasa si solo cambia esta variable".

Ejemplo guiado

Situación física

Un gas ideal cumple PV = nRT. Se quiere calcular ∂P/∂V, es decir, como cambia la presión respecto al volumen si la temperatura se mantiene constante.

Traducción matemática

Se despeja P en función de V y T: P(V,T) = nRT/V. Se deriva parcialmente respecto a V, tratando T (y las constantes n, R) como fijas.

Calculo paso a paso

P = nRT · V^(-1). Derivando respecto a V (tratando nRT como constante): ∂P/∂V = -nRT · V^(-2) = -nRT/V².

Lectura del resultado

El signo negativo indica que la presión disminuye cuando el volumen aumenta, a temperatura constante, lo esperado físicamente: si comprimes menos el gas (mayor volumen), la presión baja. La dependencia inversa al cuadrado del volumen indica que ese efecto se hace mas pronunciado (en términos relativos) cuando el volumen es pequeño.

Error común evitado

Se evita derivar tratando T como si también dependiera de V (por ejemplo, aplicando la regla del producto a T y V como si ambas variaran), lo que daría un resultado incorrecto que mezcla el efecto de dos variables distintas en vez de aislar el efecto puro de V con T fija.

Ejemplo inverso

Resultado dado

Al calcular ∂f/∂x de una función f(x,y), el resultado es exactamente cero para todos los valores de x e y.

Que pregunta física permite responder

Esto permite concluir que la magnitud f no depende en absoluto de la variable x: cambiar x, manteniendo y fijo, no produce ningún cambio en f. Físicamente, esto podría significar, por ejemplo, que una magnitud de campo no varía en cierta dirección espacial, o que una propiedad termodinámica es independiente de una de las variables de estado del sistema en esas condiciones.

Errores frecuentes

Error 1: tratar todas las variables como si cambiaran a la vez

Parece razonable derivar una función de varias variables como si todas dependieran simultáneamente de la variable de interés. Falla porque una derivada parcial exige mantener fijas todas las variables excepto una; tratarlas todas como cambiantes mezcla el efecto de la derivada parcial con el de la regla de la cadena multivariable, que es un cálculo distinto. Se detecta comprobando si el problema especifica claramente que otras variables se mantienen constantes. Se corrige congelando explícitamente todas las variables salvo la elegida antes de derivar. Mini-ejemplo: derivar PV=nRT respecto a V sin fijar T mezcla dos efectos distintos que deben separarse.

Error 2: olvidar que un termino sin la variable de derivación tiene derivada parcial cero

Parece razonable derivar un termino con respecto a una variable que no aparece en el, obteniendo un resultado distinto de cero por error de cálculo. Falla porque cualquier termino que no contenga explícitamente la variable de derivación se comporta como una constante respecto a ella, y su derivada parcial es exactamente cero. Se detecta revisando cada termino de la expresión antes de derivar, identificando cuales contienen la variable elegida. Se corrige anulando directamente los términos que no dependen de esa variable. Mini-ejemplo: si f(x,y) = 3y² + 5x, entonces ∂f/∂x = 5, y el termino 3y² desaparece por completo al derivar respecto a x.

Error 3: confundir derivada parcial con derivada total

Parece razonable usar el resultado de una derivada parcial para predecir el cambio total de una magnitud cuando varias variables cambian a la vez. Falla porque la derivada parcial solo captura el efecto de una variable, ignorando cualquier cambio simultáneo en las demás; para el cambio total se necesita la diferencial total, que combina todas las derivadas parciales ponderadas por el cambio real de cada variable. Se detecta preguntando si el problema involucra un cambio en una sola variable o en varias a la vez. Se corrige usando la diferencial total df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy cuando varias variables cambian simultáneamente. Mini-ejemplo: si tanto V como T cambian en un gas, el cambio total de P no se obtiene solo con ∂P/∂V.

Error 4: no especificar cual variable se mantiene constante

Parece razonable escribir "la derivada de P respecto a V" sin aclarar que otra variable de estado se mantiene fija. Falla porque el resultado de la derivada parcial cambia según cual otra variable se considere constante (por ejemplo, ∂P/∂V a T constante es distinto de ∂P/∂V a entropía constante). Se detecta comprobando si la notación o el enunciado especifican explícitamente la variable fija. Se corrige indicando siempre, mediante subíndice o texto explícito, cual variable permanece constante. Mini-ejemplo: en termodinámica, (∂P/∂V)_T y (∂P/∂V)_S son magnitudes físicamente distintas.

Error 5: aplicar reglas de derivación de una sola variable sin adaptar el contexto multivariable

Parece razonable derivar un termino con producto de dos variables (como xy) tratando ambas como si dependieran de la variable de derivación. Falla si solo una de ellas es la variable elegida y la otra debe tratarse como constante: en ese caso no se aplica la regla del producto habitual, sino que la variable fija actúa como coeficiente constante. Se detecta comprobando si ambas variables en el producto son realmente la misma variable de derivación o variables distintas. Se corrige tratando la variable no elegida como un simple factor constante antes de derivar. Mini-ejemplo: derivar xy respecto a x, con y fija, da simplemente y, no algo que involucre la regla del producto con dos derivadas.

Regla rápida de detección

Si el resultado de una derivada parcial parece depender de un cambio simultáneo en varias variables, si un termino sin la variable de derivación no dio cero, o si no está claro cual variable se mantuvo constante, el error probablemente está en el planteamiento de la derivada parcial, no en la aritmética final.

Aplicaciones físicas

1. Ecuaciones de estado en termodinámica

Aparece al analizar como responde la presión, el volumen o la temperatura de un sistema a un cambio en una sola variable de estado, manteniendo las demás fijas. Se calcula derivando parcialmente la ecuación de estado respecto a la variable de interés. El resultado define magnitudes como la compresibilidad o los coeficientes de expansión termodinámica. El error peligroso es olvidar que otra variable de estado se mantiene fija, mezclando dos efectos distintos. Como control final, el alumno debe explicar por qué ∂P/∂V a T constante es distinto de ∂P/∂V a S constante.

2. Gradiente y campos escalares

Aparece al construir el gradiente de un campo escalar (como temperatura o potencial), donde cada componente del gradiente es una derivada parcial respecto a una coordenada espacial distinta. Se calcula derivando la función escalar respecto a x, y, z por separado. El resultado da la dirección de máximo crecimiento del campo en cada punto. El error peligroso es derivar respecto a una variable sin mantener las otras dos verdaderamente fijas. Como control final, el alumno debe explicar por qué cada componente del gradiente representa el cambio del campo en una única dirección espacial.

3. Ecuación de onda y ecuaciones diferenciales parciales

Aparece al plantear ecuaciones que relacionan derivadas parciales respecto al tiempo y respecto al espacio, como la ecuación de onda. Se calcula derivando la función de onda por separado respecto a t y respecto a x. El resultado describe como se propagan perturbaciones a través de un medio. El error peligroso es confundir la derivada parcial temporal (velocidad de oscilación en un punto fijo) con la derivada parcial espacial (forma instantánea de la onda). Como control final, el alumno debe explicar la diferencia física entre ambas derivadas parciales en una onda viajera.

4. Dinámica de fluidos

Aparece al describir como cambia la velocidad, presión o densidad de un fluido respecto a una coordenada especifica (posición o tiempo), manteniendo las demás fijas. Se calcula derivando el campo de velocidades o de presión respecto a la variable de interés. El resultado permite identificar zonas de aceleración o compresión del fluido en una dirección concreta. El error peligroso es confundir la derivada parcial respecto al tiempo en un punto fijo (derivada local) con la derivada total que sigue a una partícula de fluido en movimiento. Como control final, el alumno debe explicar la diferencia entre la derivada parcial local y la derivada material o total.

5. Funciones de estado en varias variables económicas o biológicas

Aparece al analizar como responde una magnitud que depende de varios factores (por ejemplo, un modelo de crecimiento poblacional que depende de recursos y temperatura) a un cambio en un solo factor, manteniendo los demás constantes. Se calcula derivando la función respecto al factor de interés. El resultado aísla el efecto de esa variable especifica sobre la magnitud total. El error peligroso es interpretar el resultado como si describiera el efecto combinado de todos los factores cambiando simultáneamente. Como control final, el alumno debe explicar por qué una derivada parcial no captura interacciones entre variables que cambian juntas.

Practica

Nivel 1: reconocimiento

Identifica, para una función de dos variables dada, cuantas derivadas parciales de primer orden tiene y cual variable se mantiene fija en cada una.

Ejercicio: explica por qué una función de tres variables tiene exactamente tres derivadas parciales de primer orden.

Nivel 2: aplicación directa

Calcula la derivada parcial de una función sencilla de dos variables respecto a cada una de ellas por separado.

Ejercicio: dada f(x,y) = 3x²y + 2y³, calcula ∂f/∂x y ∂f/∂y por separado.

Nivel 3: elección de herramienta

Decide si un problema requiere una derivada parcial (una variable cambia, otras fijas) o una diferencial total / regla de la cadena multivariable (varias variables cambian a la vez).

Ejercicio: dado un gas cuya temperatura y volumen cambian simultáneamente con el tiempo, decide si ∂P/∂V sola es suficiente para describir el cambio total de presión.

Nivel 4: interpretación física

Interpreta el resultado de una derivada parcial en un contexto físico especifico, aclarando cual variable permanece fija.

Ejercicio: dado (∂P/∂V)_T para un gas ideal, explica en palabras que representa físicamente ese resultado y por qué se especifica el subíndice T.

Nivel 5: error intencionado

Analiza un cálculo donde se ha tratado una variable fija como si también cambiara, o donde un termino sin la variable de derivación no se anuló correctamente. Detecta el error, corrígelo y explica la consecuencia física.

Ejercicio: inventa un error plausible al calcular una derivada parcial de un termino de producto, muestra por qué parece razonable, corrígelo y señala el resultado incorrecto que habría producido.