Gradiente

Dirección de máximo aumento, derivadas direccionales y relación con fuerzas conservativas.

Que es

El gradiente es un operador diferencial vectorial que actúa sobre un campo escalar diferenciable ϕ(x,y,z)\phi(x,y,z) para generar un campo vectorial ∇⃗ϕ\vec{\nabla}\phi. En coordenadas cartesianas se expresa como:

∇⃗ϕ=∂ϕ∂xi^+∂ϕ∂yj^+∂ϕ∂zk^\vec{\nabla}\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{k}

Geométricamente, el gradiente posee dos propiedades fundamentales:

  1. Dirección de máxima tasa de cambio: El vector ∇⃗ϕ(P)\vec{\nabla}\phi(P) apunta en la dirección del espacio a lo largo de la cual la función escalar ϕ\phi crece más rápidamente a partir del punto PP.
  2. Ortogonalidad a las superficies equipotenciales: En cualquier punto regular, ∇⃗ϕ\vec{\nabla}\phi es perpendicular a la superficie de nivel o superficie equipotencial ϕ(x,y,z)=C\phi(x,y,z) = C que pasa por dicho punto. La magnitud ∥∇⃗ϕ∥\|\vec{\nabla}\phi\| cuantifica numéricamente la tasa máxima de variación espacial por unidad de distancia (derivada direccional máxima).

Por qué aparece en física

El gradiente es el vínculo matemático universal entre campos escalares de potencial (energía potencial, potencial electrostático, temperatura, presión hidrostática) y las fuerzas o flujos físicos resultantes:

  • Fuerzas conservativas: F⃗=−∇⃗U\vec{F} = -\vec{\nabla} U. Una partícula física experimenta fuerzas que la aceleran hacia zonas de menor energía potencial (el signo negativo indica que la naturaleza busca espontáneamente los mínimos energéticos).
  • Electrostática: E⃗=−∇⃗V\vec{E} = -\vec{\nabla} V. El campo eléctrico apunta en la dirección en la que el potencial eléctrico disminuye con mayor pendiente.
  • Ley de Fourier de la conducción térmica: q⃗=−k∇⃗T\vec{q} = -k \vec{\nabla} T. El calor fluye espontáneamente desde regiones de alta temperatura hacia regiones frías.
  • Ley de Fick de la difusión molecular: J⃗=−D∇⃗c\vec{J} = -D \vec{\nabla} c. Las partículas se difunden a favor de gradientes de concentración.

Idea visual o geométrica

Imagina una montaña topográfica representada mediante curvas de nivel de altitud constante z=h(x,y)z = h(x,y). Si te encuentras en un punto de la ladera:

  • Si caminas a lo largo de la curva de nivel, tu altitud no cambia (dh=0dh = 0).
  • Si miras en la dirección perpendicular a la curva de nivel hacia la cumbre, estás mirando en la dirección del gradiente ∇⃗h\vec{\nabla} h. Es el camino de pendiente más empinada.
  • Si colocas una pelota esférica libre en reposo, rodará cuesta abajo en la dirección exactamente opuesta al gradiente, −∇⃗h-\vec{\nabla} h.

Lenguaje simbólico mínimo

  • Operador nabla en cartesianas: ∇⃗=i^∂∂x+j^∂∂y+k^∂∂z\vec{\nabla} = \hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z}.
  • Gradiente de un campo escalar: ∇⃗ϕ=(∂ϕ∂x,∂ϕ∂y,∂ϕ∂z)\vec{\nabla}\phi = \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}\right).
  • Derivada direccional a lo largo del vector unitario u^\hat{u}: Du^ϕ=∇⃗ϕ⋅u^=∥∇⃗ϕ∥cos⁡θD_{\hat{u}}\phi = \vec{\nabla}\phi \cdot \hat{u} = \|\vec{\nabla}\phi\| \cos\theta.
  • Máximo de la derivada direccional: Ocurre cuando u^\hat{u} es paralelo a ∇⃗ϕ\vec{\nabla}\phi (cos⁡θ=1\cos\theta = 1), con valor max⁡(Du^ϕ)=∥∇⃗ϕ∥\max(D_{\hat{u}}\phi) = \|\vec{\nabla}\phi\|.
  • Diferencial total exacta: dϕ=∇⃗ϕ⋅dr⃗=∂ϕ∂xdx+∂ϕ∂ydy+∂ϕ∂zdzd\phi = \vec{\nabla}\phi \cdot d\vec{r} = \frac{\partial \phi}{\partial x} dx + \frac{\partial \phi}{\partial y} dy + \frac{\partial \phi}{\partial z} dz.
  • En coordenadas cilíndricas (r,θ,z)(r, \theta, z): ∇⃗ϕ=∂ϕ∂re^r+1r∂ϕ∂θe^θ+∂ϕ∂ze^z\vec{\nabla}\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r} \hat{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} \hat{e}_\theta + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{e}_z.
  • En coordenadas esféricas (r,θ,φ)(r, \theta, \varphi): ∇⃗ϕ=∂ϕ∂re^r+1r∂ϕ∂θe^θ+1rsin⁡θ∂ϕ∂φe^φ\vec{\nabla}\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r} \hat{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} \hat{e}_\theta + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial \phi}{\partial \varphi} \hat{e}_\varphi.

Que significa el resultado

El vector gradiente ∇⃗ϕ\vec{\nabla}\phi proporciona una respuesta completa y local a dos preguntas físicas críticas:

  1. ¿Hacia dónde debo desplazarme desde este punto para experimentar el incremento más rápido de la magnitud física ϕ\phi?
  2. ¿A qué tasa por metro varía dicha magnitud física a lo largo de esa trayectoria óptima? Si ∇⃗ϕ=0⃗\vec{\nabla}\phi = \vec{0} en un punto, la superficie es localmente horizontal o estacionaria: nos encontramos en un punto crítico (máximo, mínimo o punto de silla), lo que en física corresponde a una posición de equilibrio mecánico (donde la fuerza neta F⃗=−∇⃗U=0⃗\vec{F} = -\vec{\nabla} U = \vec{0}).

Cuando no debes usarlo

  • No apliques el operador gradiente directamente sobre un campo que ya es vectorial A⃗\vec{A} para intentar obtener un vector simple. El gradiente de un vector es un tensor de segundo orden (el tensor gradiente de velocidades en mecánica de fluidos ∇v⃗\nabla \vec{v}, o jacobiano), no una operación ordinaria de cálculo vectorial elemental.
  • No uses fórmulas de derivadas cartesianas ordinarias si el problema posee simetría esférica o cilíndrica sin incluir los factores de escala métricos de Lamé (1/r1/r y 1/(rsin⁡θ)1/(r\sin\theta)).
  • No confundas la dirección del gradiente con la dirección del flujo físico: las leyes físicas constitutivas (Fourier, Fick, Ohm, gravitación) introducen un signo negativo fundamental (el flujo va en sentido contrario al gradiente).

Resumen operativo

Para calcular el gradiente de un campo escalar ϕ\phi: calcula las derivadas parciales de ϕ\phi respecto a cada coordenada espacial independiente. Asocia cada derivada al vector unitario correspondiente (considerando factores de escala métrica si las coordenadas son curvilíneas). El vector resultante tiene dimensiones de [ϕ]/[longitud][\phi]/[\text{longitud}] y apunta ortogonalmente a las curvas o superficies donde ϕ\phi es constante.

Procedimiento

Antes de calcular

Verifica que la función dada es efectivamente un campo escalar ϕ(x,y,z)\phi(x,y,z) y determina el sistema de coordenadas más conveniente para el problema (cartesianas para geometrías rectangulares, cilíndricas para ejes de revolución, esféricas para simetrías radiales o centrales).

Paso 1: identifica el objeto matemático

Escribe explícitamente la función potencial o campo escalar ϕ\phi, prestando atención a constantes físicas (G,M,ke,q,k,DG, M, k_e, q, k, D) y asegurando que las variables espaciales estén expresadas en unidades consistentes del SI.

Paso 2: elige la operación

Selecciona la expresión del operador gradiente adecuada para el sistema de coordenadas:

  • Cartesianas: ∇⃗ϕ=(∂xϕ,∂yϕ,∂zϕ)\vec{\nabla}\phi = (\partial_x \phi, \partial_y \phi, \partial_z \phi).
  • Cilíndricas: ∇⃗ϕ=(∂rϕ)e^r+1r(∂θϕ)e^θ+(∂zϕ)e^z\vec{\nabla}\phi = (\partial_r \phi) \hat{e}_r + \frac{1}{r} (\partial_\theta \phi) \hat{e}_\theta + (\partial_z \phi) \hat{e}_z.
  • Esféricas: ∇⃗ϕ=(∂rϕ)e^r+1r(∂θϕ)e^θ+1rsin⁡θ(∂φϕ)e^φ\vec{\nabla}\phi = (\partial_r \phi) \hat{e}_r + \frac{1}{r} (\partial_\theta \phi) \hat{e}_\theta + \frac{1}{r \sin\theta} (\partial_\varphi \phi) \hat{e}_\varphi.

Paso 3: conserva unidades y signos

Calcula cada derivada parcial independientemente, manteniendo constantes las demás variables. Si el objetivo es una magnitud física vinculada por signo negativo (como fuerza F⃗=−∇⃗U\vec{F} = -\vec{\nabla} U o campo eléctrico E⃗=−∇⃗V\vec{E} = -\vec{\nabla} V), aplica explícitamente el cambio de signo a todas las componentes vectoriales.

Paso 4: calcula

Ensambla el vector resultante combinando las derivadas parciales con sus vectores unitarios correspondientes. Si se solicita en un punto numérico específico P(x0,y0,z0)P(x_0, y_0, z_0), sustituye las coordenadas en las componentes analíticas obtenidas y calcula la magnitud euclídea ∥∇⃗ϕ∥=∑i(∇iϕ)2\|\vec{\nabla}\phi\| = \sqrt{\sum_i (\nabla_i \phi)^2}.

Paso 5: interpreta el resultado

Analiza el vector obtenido:

  • Su dirección apunta ortogonalmente a la superficie equipotencial ϕ=cte\phi = \text{cte}.
  • Su módulo representa el cambio de la magnitud por metro.
  • Si se buscaba la fuerza física, confirma que apunta hacia potenciales decrecientes.

Checklist de autocontrol

  • ¿El resultado es un vector y no un número escalar?
  • ¿Las unidades del vector resultante son iguales a [ϕ]/[m][\phi] / [\text{m}]?
  • ¿Se incluyó el factor 1/r1/r en la componente angular en cilíndricas/esféricas?
  • ¿El signo negativo se aplicó correctamente si se buscaba una fuerza conservativa o campo eléctrico?

Ejemplo guiado

Situación física

En una región del espacio, el potencial electrostático viene dado en voltios por el campo escalar cuadrático: V(x,y,z)=100−2x2+3y2−z2[V]V(x,y,z) = 100 - 2x^2 + 3y^2 - z^2 \quad [\text{V}] donde las coordenadas x,y,zx, y, z están expresadas en metros. Se desea determinar el vector campo eléctrico E⃗\vec{E} en el punto espacial P(2,−1,3)P(2, -1, 3) y calcular la aceleración instantánea que experimentará un protón (q=+1.602×10−19 Cq = +1.602 \times 10^{-19} \text{ C}, m=1.673×10−27 kgm = 1.673 \times 10^{-27} \text{ kg}) situado en reposo en dicho punto.

Traducción matemática

La relación fundamental de la electrostática conservativa es: E⃗=−∇⃗V=−(∂V∂xi^+∂V∂yj^+∂V∂zk^)\vec{E} = -\vec{\nabla} V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right) La fuerza electrostática neta sobre el protón es F⃗=qE⃗\vec{F} = q \vec{E}, y por la segunda ley de Newton, su aceleración es a⃗=qmE⃗\vec{a} = \frac{q}{m} \vec{E}.

Calculo paso a paso

  1. Cálculo de las derivadas parciales: ∂V∂x=∂∂x(100−2x2+3y2−z2)=−4x\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(100 - 2x^2 + 3y^2 - z^2) = -4x ∂V∂y=∂∂y(100−2x2+3y2−z2)=+6y\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(100 - 2x^2 + 3y^2 - z^2) = +6y ∂V∂z=∂∂z(100−2x2+3y2−z2)=−2z\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(100 - 2x^2 + 3y^2 - z^2) = -2z

  2. Ensamblado del gradiente de potencial: ∇⃗V=(−4x)i^+(6y)j^+(−2z)k^\vec{\nabla} V = (-4x) \hat{i} + (6y) \hat{j} + (-2z) \hat{k}

  3. Determinación del campo eléctrico con signo negativo: E⃗(x,y,z)=−∇⃗V=(4x)i^−(6y)j^+(2z)k^[V/m]\vec{E}(x,y,z) = -\vec{\nabla} V = (4x) \hat{i} - (6y) \hat{j} + (2z) \hat{k} \quad [\text{V/m}]

  4. Evaluación en el punto P(2,−1,3)P(2, -1, 3): Ex=4(2)=+8 V/mE_x = 4(2) = +8 \text{ V/m} Ey=−6(−1)=+6 V/mE_y = -6(-1) = +6 \text{ V/m} Ez=2(3)=+6 V/mE_z = 2(3) = +6 \text{ V/m} E⃗(P)=8i^+6j^+6k^[V/m]\vec{E}(P) = 8 \hat{i} + 6 \hat{j} + 6 \hat{k} \quad [\text{V/m}] Magnitud del campo eléctrico: ∥E⃗∥=82+62+62=64+36+36=136≈11.66 V/m\|\vec{E}\| = \sqrt{8^2 + 6^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36 + 36} = \sqrt{136} \approx 11.66 \text{ V/m}

  5. Cálculo de la aceleración del protón: a⃗=1.602×10−19 C1.673×10−27 kg(8i^+6j^+6k^)=(9.576×107)(8i^+6j^+6k^)\vec{a} = \frac{1.602 \times 10^{-19} \text{ C}}{1.673 \times 10^{-27} \text{ kg}} (8 \hat{i} + 6 \hat{j} + 6 \hat{k}) = (9.576 \times 10^7) (8 \hat{i} + 6 \hat{j} + 6 \hat{k}) a⃗=(7.66i^+5.75j^+5.75k^)×108[m/s2]\vec{a} = (7.66 \hat{i} + 5.75 \hat{j} + 5.75 \hat{k}) \times 10^8 \quad [\text{m/s}^2] ∥a⃗∥=qm∥E⃗∥≈(9.576×107)(11.66)≈1.117×109 m/s2\|\vec{a}\| = \frac{q}{m} \|\vec{E}\| \approx (9.576 \times 10^7)(11.66) \approx 1.117 \times 10^9 \text{ m/s}^2

Lectura del resultado

El campo eléctrico en PP apunta en la dirección octante (+8,+6,+6)(+8, +6, +6), que es exactamente la dirección hacia donde el potencial electrostático desciende más abruptamente. El protón, al poseer carga positiva, es empujado en esa misma dirección con una aceleración inicial colosal de más de 109 m/s210^9 \text{ m/s}^2.

Error común evitado

Olvidar el signo negativo en la relación E⃗=−∇⃗V\vec{E} = -\vec{\nabla} V. Si se omitiera el signo menos, se predeciría falsamente que las cargas positivas son repelidas hacia regiones de mayor potencial eléctrico, violando el principio de conservación de energía.

Ejemplo inverso

Resultado dado

Se determina experimentalmente que el campo gravitatorio de una masa puntual MM situada en el origen es: g⃗(r)=−GMr2e^r\vec{g}(r) = -\frac{G M}{r^2} \hat{e}_r

Que pregunta física permite responder

¿Cuál es la función energía potencial gravitatoria por unidad de masa (potencial gravitatorio Φ(r)\Phi(r)) que genera este campo? Planteando g⃗=−∇⃗Φ\vec{g} = -\vec{\nabla}\Phi: Como el campo solo depende radialmente de rr, en coordenadas esféricas ∇⃗Φ=dΦdre^r\vec{\nabla}\Phi = \frac{d\Phi}{dr} \hat{e}_r. Por tanto: −dΦdr=−GMr2  ⟹  dΦdr=GMr2-\frac{d\Phi}{dr} = -\frac{G M}{r^2} \implies \frac{d\Phi}{dr} = \frac{G M}{r^2} Integrando con la condición de referencia estándar en el infinito Φ(∞)=0\Phi(\infty) = 0: Φ(r)=−∫∞rGMr′2dr′=−[−GMr′]∞r=−GMr\Phi(r) = -\int_\infty^r \frac{G M}{r'^2} dr' = -\left[ -\frac{G M}{r'} \right]_\infty^r = -\frac{G M}{r} El resultado reconstruye el pozo de potencial gravitatorio newtoniano, demostrando que el potencial es siempre negativo y tiende a cero a distancias infinitas.

Errores frecuentes

Error 1: Olvidar el signo negativo al relacionar potencial y fuerza

Tratar F⃗=∇⃗U\vec{F} = \vec{\nabla} U en lugar de F⃗=−∇⃗U\vec{F} = -\vec{\nabla} U. Esto invertiría el sentido de la dinámica física, haciendo que las partículas aceleraran hacia máximos de energía potencial en lugar de mínimos estables. Se corrige verificando siempre que los sistemas naturales buscan el mínimo de energía libre o potencial.

Error 2: Omitir los factores de escala en coordenadas curvilíneas

Calcular el gradiente en coordenadas polares, cilíndricas o esféricas como simples derivadas ordinarias sin dividir por el radio: escribir erróneamente ∇θ=∂θϕ\nabla_\theta = \partial_\theta \phi en lugar de 1r∂θϕ\frac{1}{r} \partial_\theta \phi. Provoca inconsistencia dimensional ([rad−1][\text{rad}^{-1}] en vez de [m−1][\text{m}^{-1}]). Se corrige verificando la coherencia dimensional de cada componente.

Error 3: Confundir la dirección del gradiente con la dirección de la curva equipotencial

Creer que el gradiente es tangente a las curvas de nivel. El gradiente es siempre estrictamente perpendicular a las curvas o superficies equipotenciales. La variación a lo largo de la tangente es exactamente cero.

Error 4: Intentar calcular el gradiente de un vector

Aplicar el operador ∇⃗\vec{\nabla} a un campo vectorial A⃗\vec{A} esperando obtener un nuevo vector. El gradiente de un vector produce un tensor de segundo orden (matriz Jacobiana), mientras que las operaciones vectoriales estándares para campos vectoriales son la divergencia ∇⃗⋅A⃗\vec{\nabla}\cdot\vec{A} y el rotacional ∇⃗×A⃗\vec{\nabla}\times\vec{A}.

Error 5: Tratar el operador nabla como un vector algebraico estático

Olvidar que ∇⃗\vec{\nabla} es un operador diferencial que no conmuta algebraicamente: ∇⃗ϕ≠ϕ∇⃗\vec{\nabla} \phi \neq \phi \vec{\nabla}, y al calcular derivadas de productos como ∇⃗(fg)=f∇⃗g+g∇⃗f\vec{\nabla}(f g) = f \vec{\nabla}g + g \vec{\nabla}f se debe aplicar la regla del producto de Leibniz.

Regla rápida de detección

Si el resultado de un gradiente carece de dirección vectorial, si sus dimensiones no están divididas por metros, o si el vector no es perpendicular a las líneas de contorno constante, el cálculo contiene un error conceptual de formulación.

Aplicaciones físicas

1. Fuerzas conservativas y energía potencial en mecánica clásica

En mecánica newtoniana y lagrangiana, toda fuerza conservativa deriva de un potencial: F⃗=−∇⃗U\vec{F} = -\vec{\nabla} U. Permite predecir órbitas gravitatorias, trayectorias electrostáticas y oscilaciones armónicas moleculares identificando los puntos de equilibrio donde ∇⃗U=0⃗\vec{\nabla} U = \vec{0}.

2. Electrostática y electrodinámica clásica

El campo eléctrico estático es el gradiente negativo del potencial de Coulomb: E⃗=−∇⃗V\vec{E} = -\vec{\nabla} V. En electrodinámica relativista, el campo electromagnético completo se formula mediante el cuadligradiente del cuatro-potencial electromagnético AμA^\mu.

3. Dinámica de fluidos y flujo potencial

En fluidos ideales incompresibles e irrotacionales, el campo de velocidades es el gradiente de un potencial de velocidades: v⃗=∇⃗Φ\vec{v} = \vec{\nabla} \Phi. Permite calcular sustentación aerodinámica en perfiles alares y modelar ondas de gravedad en la superficie de los océanos.

4. Fenómenos de transporte: Conducción térmica y difusión

Las leyes fundamentales de transporte fuera del equilibrio son proporcionales al gradiente del campo impulsor:

  • Ley de Fourier: q⃗=−k∇⃗T\vec{q} = -k \vec{\nabla} T (flujo térmico).
  • Ley de Fick: J⃗=−D∇⃗c\vec{J} = -D \vec{\nabla} c (difusión de masa).
  • Ley de Ohm diferencial: J⃗=−σ∇⃗V\vec{J} = -\sigma \vec{\nabla} V (densidad de corriente eléctrica).

5. Termodinámica química y gradientes de potencial químico

El transporte de especies a través de membranas biológicas (como las bombas de sodio-potasio neuronales) y la segregación de aleaciones en metalurgia están gobernados por el gradiente electroquímico ∇⃗μi\vec{\nabla} \mu_i, impulsando el movimiento de partículas hacia el equilibrio termodinámico.

Practica

Problema 1: Fuerza y torque en un pozo de potencial anisótropo

Una molécula polar se encuentra en un pozo de potencial eléctrico tridimensional modelado por: U(x,y,z)=U0(x2a2+y2b2+z2c2)U(x,y,z) = U_0 \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \right) con U0=5.0×10−20 JU_0 = 5.0 \times 10^{-20} \text{ J}, a=1.0 nma = 1.0 \text{ nm}, b=2.0 nmb = 2.0 \text{ nm}, c=3.0 nmc = 3.0 \text{ nm}.

  1. Deduzca la expresión analítica de la fuerza restauradora F⃗(x,y,z)=−∇⃗U\vec{F}(x,y,z) = -\vec{\nabla} U.
  2. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza en la posición r⃗=(1.0,1.0,1.0) nm\vec{r} = (1.0, 1.0, 1.0) \text{ nm}.

Solución:

  1. Calculando derivadas parciales con U=U0(x2/a2+y2/b2+z2/c2)U = U_0 (x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2): ∂U∂x=2U0xa2,∂U∂y=2U0yb2,∂U∂z=2U0zc2\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{2 U_0 x}{a^2}, \quad \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{2 U_0 y}{b^2}, \quad \frac{\partial U}{\partial z} = \frac{2 U_0 z}{c^2} F⃗=−∇⃗U=−2U0(xa2i^+yb2j^+zc2k^)\vec{F} = -\vec{\nabla} U = -2 U_0 \left( \frac{x}{a^2} \hat{i} + \frac{y}{b^2} \hat{j} + \frac{z}{c^2} \hat{k} \right)
  2. Evaluando en (x,y,z)=(1,1,1)×10−9 m(x,y,z) = (1, 1, 1) \times 10^{-9} \text{ m}:
    • Fx=−2(5×10−20)10−9(10−9)2=−10−19/10−9=−1.000×10−10 N=−100 pNF_x = -2(5 \times 10^{-20}) \frac{10^{-9}}{(10^{-9})^2} = -10^{-19} / 10^{-9} = -1.000 \times 10^{-10} \text{ N} = -100 \text{ pN}
    • Fy=−2(5×10−20)10−9(2×10−9)2=−10−19/(4×10−18)=−0.025×10−1 N=−25 pNF_y = -2(5 \times 10^{-20}) \frac{10^{-9}}{(2 \times 10^{-9})^2} = -10^{-19} / (4 \times 10^{-18}) = -0.025 \times 10^{-1} \text{ N} = -25 \text{ pN}
    • Fz=−2(5×10−20)10−9(3×10−9)2=−10−19/(9×10−18)≈−11.11 pNF_z = -2(5 \times 10^{-20}) \frac{10^{-9}}{(3 \times 10^{-9})^2} = -10^{-19} / (9 \times 10^{-18}) \approx -11.11 \text{ pN} F⃗=−100i^−25j^−11.11k^[pN]\vec{F} = -100 \hat{i} - 25 \hat{j} - 11.11 \hat{k} \quad [\text{pN}] ∥F⃗∥=1002+252+11.112=10000+625+123.4=10748.4≈103.67 pN\|\vec{F}\| = \sqrt{100^2 + 25^2 + 11.11^2} = \sqrt{10000 + 625 + 123.4} = \sqrt{10748.4} \approx 103.67 \text{ pN}

Problema 2: Gradiente de temperatura y flujo de calor en una pared compuesta

El campo de temperaturas en el interior de una placa térmica de espesor L=0.20 mL = 0.20 \text{ m} viene dado por: T(x,y)=T0+αx2−βyT(x,y) = T_0 + \alpha x^2 - \beta y con T0=300 KT_0 = 300 \text{ K}, α=200 K/m2\alpha = 200 \text{ K/m}^2, β=50 K/m\beta = 50 \text{ K/m}. La conductividad térmica del material es k=1.5 W/(m⋅K)k = 1.5 \text{ W/(m}\cdot\text{K)}.

  1. Calcule el vector gradiente de temperatura ∇⃗T\vec{\nabla} T en el punto (x,y)=(0.10 m,0.50 m)(x,y) = (0.10 \text{ m}, 0.50 \text{ m}).
  2. Determine el vector densidad de flujo de calor q⃗\vec{q} en dicho punto mediante la ley de Fourier.

Solución:

  1. Gradiente: ∇⃗T=∂T∂xi^+∂T∂yj^=(2αx)i^−βj^\vec{\nabla} T = \frac{\partial T}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial T}{\partial y} \hat{j} = (2 \alpha x) \hat{i} - \beta \hat{j} En (0.10,0.50)(0.10, 0.50): ∇⃗T=2(200)(0.10)i^−50j^=40i^−50j^[K/m]\vec{\nabla} T = 2(200)(0.10) \hat{i} - 50 \hat{j} = 40 \hat{i} - 50 \hat{j} \quad [\text{K/m}] ∥∇⃗T∥=402+(−50)2=1600+2500=4100≈64.03 K/m\|\vec{\nabla} T\| = \sqrt{40^2 + (-50)^2} = \sqrt{1600 + 2500} = \sqrt{4100} \approx 64.03 \text{ K/m}
  2. Flujo de calor por la ley de Fourier: q⃗=−k∇⃗T=−1.5(40i^−50j^)=−60i^+75j^[W/m2]\vec{q} = -k \vec{\nabla} T = -1.5 (40 \hat{i} - 50 \hat{j}) = -60 \hat{i} + 75 \hat{j} \quad [\text{W/m}^2] ∥q⃗∥=1.5×64.03≈96.05 W/m2\|\vec{q}\| = 1.5 \times 64.03 \approx 96.05 \text{ W/m}^2

Problema 3: Gradiente en coordenadas esféricas y campo dipolar

El potencial eléctrico de un dipolo puntual de momento pp orientado a lo largo del eje zz es: V(r,θ)=14πε0pcos⁡θr2V(r, \theta) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{p \cos\theta}{r^2} Calcule el campo eléctrico E⃗=−∇⃗V\vec{E} = -\vec{\nabla} V en coordenadas esféricas.

Solución:

En coordenadas esféricas con simetría azimutal (∂φV=0\partial_\varphi V = 0): ∇⃗V=∂V∂re^r+1r∂V∂θe^θ\vec{\nabla} V = \frac{\partial V}{\partial r} \hat{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \theta} \hat{e}_\theta

  1. Derivada radial: ∂V∂r=pcos⁡θ4πε0∂∂r(r−2)=−2pcos⁡θ4πε0r3\frac{\partial V}{\partial r} = \frac{p \cos\theta}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\partial}{\partial r}(r^{-2}) = -\frac{2 p \cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3}
  2. Derivada polar angular: 1r∂V∂θ=1rp4πε0r2∂∂θ(cos⁡θ)=−psin⁡θ4πε0r3\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \theta} = \frac{1}{r} \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \frac{\partial}{\partial \theta}(\cos\theta) = -\frac{p \sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3}
  3. Aplicando el signo negativo E⃗=−∇⃗V\vec{E} = -\vec{\nabla} V: E⃗(r,θ)=p4πε0r3(2cos⁡θe^r+sin⁡θe^θ)\vec{E}(r, \theta) = \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3} (2\cos\theta \hat{e}_r + \sin\theta \hat{e}_\theta) Se reproduce la fórmula clásica del campo eléctrico dipolar en coordenadas esféricas.