Métodos numéricos y computacionales

Error numérico, cálculo de raíces, integración, derivación y simulación de dinámica física.

Idea general del tema

La inmensa mayoría de las ecuaciones físicas reales (tres cuerpos gravitatorios, dinámica de fluidos no lineales con Navier-Stokes, osciladores anarmónicos caóticos o estructura electrónica cuántica) no admiten soluciones analíticas cerradas. Los métodos numéricos proporcionan los algoritmos discretos necesarios para integrar ecuaciones diferenciales, encontrar raíces de funciones trascendentes, interpolar campos discretos y simular la evolución temporal de sistemas complejos.

Este nodo agrupa el análisis de errores numéricos (truncamiento y redondeo), la resolución de ecuaciones no lineales (bisección, Newton-Raphson), la integración numérica (reglas del trapecio y Simpson), la diferenciación finita y los esquemas de integración temporal para EDOs (Euler explícito, Verlet y Runge-Kutta de orden 4).

Qué vas a comprender de verdad

Comprenderás la diferencia crucial entre el error de redondeo de punto flotante ($\mathcal{O}(\epsilon_{\mathrm{mach}})$) y el error de truncamiento del método ($\mathcal{O}(h^p)$), y cómo equilibrar el paso de discretización $h$ para evitar la inestabilidad numérica.

Aprenderás a implementar e interpretar esquemas simplécticos y de alto orden (como Runge-Kutta 4 y Verlet) que preservan la conservación de la energía en órbitas celestes y simulaciones de dinámica molecular a largo plazo.

Ruta didáctica recomendada

1. Fuentes de error y estabilidad: errores de truncamiento, precisión finita IEEE 754 y propagación del error numérico.
2. Raíces de ecuaciones no lineales: método de bisección, secante y algoritmo de Newton-Raphson multivariable.
3. Diferenciación e integración numérica: diferencias finitas centradas, cuadratura trapezoidal y regla de Simpson.
4. Integración temporal de EDOs: esquemas de Euler, Runge-Kutta de 2º y 4º orden (RK4) y algoritmo de Verlet para dinámica newtoniana.
5. Lectura crítica y validación de simulaciones: pruebas de convergencia con reducción de paso $h$ y verificación con soluciones analíticas conocidas.

Criterio físico que debes adquirir

Desconfiar de cualquier simulación numérica hasta haber comprobado la invariancia de las leyes de conservación fundamentales del sistema (energía total, momento lineal y angular) durante toda la corrida computacional.

Conexión con problemas reales

• Astrodinámica: cálculo de trayectorias interplanetarias con perturbaciones gravitatorias y efecto de marea.
• Física no lineal: oscilador de Duffing, péndulo doble y atractores extraños de Lorenz.
• Dinámica molecular y biofísica: simulación de plegamiento de proteínas e interacciones de Van der Waals con integradores de Verlet.

Meta final del tema

Dominar la formulación e implementación de algoritmos numéricos para simular y resolver modelos físicos complejos que carecen de solución analítica.