Ajuste de datos y regresión

Método de mínimos cuadrados, regresión lineal y no lineal para contrastar modelos físicos con mediciones.

Qué es

El ajuste de curvas y la regresión estadística constituyen el puente cuantitativo entre un conjunto discreto de observaciones experimentales $(x_i, y_i \pm \sigma_{y_i})$ y una ley o modelo teórico $y = f(x; \boldsymbol{\theta})$, donde $\boldsymbol{\theta} = (\theta_1, \dots, \theta_m)$ representa el vector de parámetros físicos desconocidos a determinar (como la gravedad $g$, la constante de Planck $h$ o la resistencia interna $r$).

El estándar supremo en la física experimental es el método de mínimos cuadrados ponderados, derivado del principio de máxima verosimilitud bajo la premisa de errores gaussianos independientes. Consiste en minimizar la función de bondad de ajuste chi-cuadrado ($\chi^2$): $\chi^2(\boldsymbol{\theta}) = \sum_{i=1}^N \left( \frac{y_i - f(x_i; \boldsymbol{\theta})}{\sigma_{y_i}} \right)^2$ Cada punto experimental contribuye a la suma con un peso estadístico inversamente proporcional a su varianza: $w_i = 1/\sigma_{y_i}^2$. Los puntos con mediciones de alta precisión ejercen una atracción gravitacional matemática sobre la curva, mientras que los puntos con grandes barras de error tienen un impacto marginal.

En el caso particular de la regresión lineal $f(x) = m x + c$, la minimización analítica exacta produce las clásicas ecuaciones normales ponderadas para la pendiente $m$ y la ordenada al origen $c$, junto con sus respectivas incertidumbres y su covarianza mutua $\operatorname{cov}(m, c)$.

Por qué aparece en física

En ciencias físicas, ningún parámetro fundamental se mide de forma fidedigna mediante una única lectura experimental. Las leyes de la naturaleza se verifican comprobando si una relación funcional se sostiene a lo largo de varios órdenes de magnitud:

1. En la ley de Hooke ($F = k \Delta x$), la constante elástica $k$ se extrae como la pendiente de una regresión lineal entre fuerza aplicada y elongación elástica.
2. En el efecto fotoeléctrico ($V_0 e = h \nu - \Phi$), el cociente $h/e$ se obtiene ajustando la recta de potencial de frenado frente a la frecuencia de la luz incidente.
3. En cinemática y termodinámica, muchas relaciones no lineales se linealizan mediante transformaciones logarítmicas (por ejemplo, decaimientos radiactivos $N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \implies \ln N = \ln N_0 - \lambda t$ o la ley de Arrhenius en cinética química $\ln k = \ln A - E_a / RT$).
4. El análisis de bondad de ajuste mediante el chi-cuadrado reducido $\chi_\nu^2 = \chi^2 / (N - m)$ proporciona un veredicto objetivo irrefutable: indica si el modelo teórico describe adecuadamente los datos o si la hipótesis física debe ser descartada.

Idea visual o geométrica

Geométricamente, el modelo $f(x; \boldsymbol{\theta})$ describe una familia de curvas en el plano $(x, y)$. Cada dato experimental se representa con un punto central y un segmento vertical que delimita su barra de incertidumbre $\pm \sigma_{y_i}$.

El residuo normalizado $r_i = (y_i - f(x_i)) / \sigma_{y_i}$ mide la distancia vertical entre el dato y la curva teórica medida en unidades de desviación estándar. El ajuste por mínimos cuadrados deforma y traslada la curva hasta minimizar la suma de las áreas de los cuadrados de estos residuos normalizados. En un ajuste excelente, la curva atraviesa aproximadamente el $68\%$ de las barras de error a $1\sigma$ de los puntos experimentales, con residuos distribuidos aleatoriamente por encima y por debajo sin tendencias sistemáticas evidentes.

Lenguaje simbólico mínimo

1. Función de pérdida Chi-cuadrado ($\chi^2$): $\chi^2 = \sum_{i=1}^N w_i [y_i - f(x_i)]^2, \qquad w_i = \frac{1}{\sigma_{y_i}^2}$
2. Ecuaciones normales lineales sin ponderar ($w_i = 1$): $m = \frac{N \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{N \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}, \qquad c = \bar{y} - m \bar{x}$
3. Chi-cuadrado reducido (grados de libertad $\nu = N - m$): $\chi_\nu^2 = \frac{\chi^2}{N - m}$
4. Matriz de covarianza de los parámetros (caso lineal $\mathbf{y} = \mathbf{X} \boldsymbol{\theta}$): $\mathbf{V}_{\boldsymbol{\theta}} = (\mathbf{X}^T \mathbf{W} \mathbf{X})^{-1}, \qquad \sigma_m = \sqrt{V_{11}}, \quad \sigma_c = \sqrt{V_{22}}$
5. Coeficiente de determinación ($R^2$): $R^2 = 1 - \frac{\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum (y_i - \bar{y})^2}$

Qué significa el resultado

El valor óptimo de los parámetros $\hat{\boldsymbol{\theta}}$ proporciona la mejor estimación estadística de las constantes físicas buscadas. La interpretación del estadístico $\chi_\nu^2$ es crucial:

• $\chi_\nu^2 \approx 1$: El modelo es plenamente compatible con los datos y las barras de incertidumbre estimadas reflejan con exactitud la dispersión aleatoria real.
• $\chi_\nu^2 \gg 1$ (ej. $\chi_\nu^2 > 3$): Discrepancia grave. O bien el modelo teórico es falso (por ejemplo, se asumió una recta donde hay una cuadrática), o existen errores sistemáticos no considerados, o las barras de incertidumbre fueron severamente subestimadas.
• $\chi_\nu^2 \ll 1$ (ej. $\chi_\nu^2 < 0.2$): Sospechoso. Las incertidumbres experimentales fueron sobrestimadas de forma exagerada, o los datos fueron alterados artificialmente.

Cuándo no debes usarlo

1. Regresión lineal ordinaria cuando existen errores significativos en el eje $x$: Si las barras de error en la variable independiente $\sigma_{x_i}$ son comparables o mayores que en $\sigma_{y_i}$, la regresión estándar de mínimos cuadrados subestima sistemáticamente la pendiente $m$ (sesgo de atenuación). Debe utilizarse regresión ortogonal de Deming o el estimador de York.
2. Linearización ingenua de transformaciones no lineales: Al tomar logaritmos en $y = A e^{B x}$, la varianza de la variable transformada $\ln y$ cambia drásticamente: $\sigma_{\ln y} \approx \sigma_y / y$. Si se realiza una regresión lineal ordinaria sobre $(\ln y)$ asignando pesos uniformes, los datos con valores pequeños de $y$ (que tienen errores relativos enormes) distorsionarán por completo la pendiente. Debe emplearse regresión ponderada con $w_i = y_i^2 / \sigma_{y_i}^2$ o ajuste no lineal directo (Levenberg-Marquardt).
3. Sobreajuste (overfitting): Ajustar un polinomio de grado $N-1$ a $N$ datos garantiza $\chi^2 = 0$, pero carece de todo poder predictivo y oscila violentamente entre puntos (fenómeno de Runge). El grado del modelo debe responder a fundamentos físicos, no al deseo de reducir artificialmente los residuos.

Resumen operativo

• Representa siempre los datos en un diagrama de dispersión con sus correspondientes barras de error vertical $\sigma_{y_i}$ (y horizontal $\sigma_{x_i}$ si procede).
• Plantea la función física modelo y determina si es lineal o no lineal en los parámetros.
• Si es lineal, evalúa las ecuaciones normales de mínimos cuadrados ponderados con pesos $w_i = 1/\sigma_i^2$.
• Calcula las incertidumbres estándar de los parámetros $\sigma_m$ y $\sigma_c$ a partir de la diagonal de la matriz de covarianza.
• Evalúa el chi-cuadrado reducido $\chi_\nu^2$ y grafica los residuos normalizados $r_i$ para comprobar que no existan patrones sistemáticos.

Procedimiento de Ajuste de Datos y Regresión Lineal Ponderada

Antes de calcular

Organiza tus datos en una tabla de tres columnas: coordenada independiente $x_i$, coordenada dependiente $y_i$, e incertidumbre estándar experimental $\sigma_{y_i}$. Comprueba que todos los $\sigma_{y_i} > 0$. Si las incertidumbres son idénticas para todos los puntos (homocedasticidad), puedes simplificar a mínimos cuadrados estándar no ponderados; si varían entre puntos (heterocedasticidad), es obligatorio calcular los pesos estadísticos $w_i = 1/\sigma_{y_i}^2$.

Paso 1: identifica el objeto matemático

Escribe la ecuación del modelo lineal que relaciona las magnitudes físicas: $y = m x + c$ Identifica la correspondencia entre los parámetros de ajuste $(m, c)$ y las constantes físicas fundamentales:

• Ejemplo en ley de Ohm ($V = R I$): la variable dependiente es $y = V$, la independiente es $x = I$, la pendiente es $m = R$ y la ordenada teórica es $c = 0$.
• Ejemplo en dilatación térmica ($L = L_0 + L_0 \alpha \Delta T$): la pendiente es $m = L_0 \alpha$ y la ordenada es $c = L_0$.

Paso 2: elige la operación

Calcula las sumas ponderadas fundamentales del sistema: $S = \sum_{i=1}^N w_i, \quad S_x = \sum_{i=1}^N w_i x_i, \quad S_y = \sum_{i=1}^N w_i y_i$ $S_{xx} = \sum_{i=1}^N w_i x_i^2, \quad S_{xy} = \sum_{i=1}^N w_i x_i y_i, \quad S_{yy} = \sum_{i=1}^N w_i y_i^2$ Calcula el determinante del sistema lineal: $\Delta = S \cdot S_{xx} - (S_x)^2$

Paso 3: conserva unidades y signos

• Los pesos $w_i = 1/\sigma_{y_i}^2$ portan dimensiones de $[y]^{-2}$.
• La pendiente calculada $m$ tiene dimensiones físicas de $[y] / [x]$.
• La ordenada al origen $c$ tiene dimensiones físicas estrictas de $[y]$.
• El determinante $\Delta$ tiene unidades de $[y]^{-4} [x]^2$. Asegúrate de conservar el signo algebraico en todos los productos cruzados $S_{xy}$.

Paso 4: calcula

1. Parámetros óptimos: $m = \frac{S \cdot S_{xy} - S_x \cdot S_y}{\Delta}$ $c = \frac{S_{xx} \cdot S_y - S_x \cdot S_{xy}}{\Delta}$
2. Incertidumbres estándar de los parámetros: $\sigma_m = \sqrt{\frac{S}{\Delta}}$ $\sigma_c = \sqrt{\frac{S_{xx}}{\Delta}}$ $\operatorname{cov}(m, c) = -\frac{S_x}{\Delta}$
3. Bondad del ajuste (Chi-cuadrado y residuos): $\chi^2 = \sum_{i=1}^N w_i (y_i - m x_i - c)^2$ Grados de libertad: $\nu = N - 2$. $\chi_\nu^2 = \frac{\chi^2}{N - 2}$

Paso 5: interpreta el resultado

• Valor físico: Extrae la constante física a partir de $m$ o $c$ y propaga su incertidumbre utilizando $\sigma_m$ o $\sigma_c$.
• Criterio de validación $\chi_\nu^2$:
  • Si $0.8 \leq \chi_\nu^2 \leq 1.5$: el ajuste es óptimo; la ley física queda experimentalmente confirmada dentro de la precisión instrumental.
  • Si $\chi_\nu^2 > 2$: examina el gráfico de residuos $r_i = y_i - (m x_i + c)$. Si los residuos presentan curvatura (p. ej. todos positivos al centro y negativos en los extremos), el fenómeno es no lineal y requiere un término de orden superior ($x^2$).
• Presentación final: Reporta los parámetros con unidades físicas claras y consistencia en cifras significativas: $m = (\bar{m} \pm \sigma_m) \text{ [unidades]}$, $c = (\bar{c} \pm \sigma_c) \text{ [unidades]}$.

Checklist de autocontrol

• ¿Es el determinante $\Delta > 0$? (Si $\Delta = 0$, todos los puntos $x_i$ tienen el mismo valor y no se puede definir una recta).
• ¿Coinciden las unidades físicas de la pendiente con $[y]/[x]$ y las de la ordenada con $[y]$?
• ¿He verificado que los residuos no muestren patrones oscilatorios o tendencias parabólicas sistemáticas?
• ¿Está el chi-cuadrado reducido $\chi_\nu^2$ razonablemente próximo a 1?
• Si $c$ debería ser nulo por razones teóricas (ej. ley de Ohm), ¿es compatible el valor estimado de $c$ con cero dentro del intervalo $[-\sigma_c, +\sigma_c]$?

Ejemplo guiado: Determinación de la constante de Planck mediante efecto fotoeléctrico

Situación física

En un experimento fotoeléctrico clásico de Millikan, se ilumina un cátodo de cesio con luz monocromática a 4 frecuencias ópticas distintas $\nu$. Para cada frecuencia se mide el potencial de frenado $V_0$ requerido para anular la fotocorriente electrónica, junto con su incertidumbre experimental $\sigma_V = 0.02 \text{ V}$ para todas las medidas:

• Punto 1: $\nu_1 = 5.50 \times 10^{14} \text{ Hz}$, $V_{0,1} = 0.36 \pm 0.02 \text{ V}$
• Punto 2: $\nu_2 = 6.20 \times 10^{14} \text{ Hz}$, $V_{0,2} = 0.65 \pm 0.02 \text{ V}$
• Punto 3: $\nu_3 = 6.90 \times 10^{14} \text{ Hz}$, $V_{0,3} = 0.94 \pm 0.02 \text{ V}$
• Punto 4: $\nu_4 = 7.60 \times 10^{14} \text{ Hz}$, $V_{0,4} = 1.23 \pm 0.02 \text{ V}$

Se conoce la carga elemental $e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$. Se desea obtener la constante de Planck $h$ y la función de trabajo $\Phi$ del material.

Traducción matemática

La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico es: $e V_0 = h \nu - \Phi \implies V_0 = \left( \frac{h}{e} \right) \nu - \frac{\Phi}{e}$ Corresponde a una recta $y = m x + c$ con $y = V_0$, $x = \nu$, pendiente $m = h/e$ y ordenada al origen $c = -\Phi/e$. Como todas las incertidumbres son idénticas ($\sigma_i = 0.02 \text{ V}$), los pesos son iguales: $w_i = 1/(0.02)^2 = 2500 \text{ V}^{-2}$. Para simplificar los números, definimos $x$ en unidades de $10^{14} \text{ Hz}$: $x = [5.50, 6.20, 6.90, 7.60]$, $y = [0.36, 0.65, 0.94, 1.23]$.

Cálculo paso a paso

1. Medias muestrales: $N = 4$ $\bar{x} = \frac{5.50 + 6.20 + 6.90 + 7.60}{4} = \frac{26.20}{4} = 6.55 \times 10^{14} \text{ Hz}$ $\bar{y} = \frac{0.36 + 0.65 + 0.94 + 1.23}{4} = \frac{3.18}{4} = 0.795 \text{ V}$
2. Sumatorias centradas: $\sum (x_i - \bar{x})^2 = (-1.05)^2 + (-0.35)^2 + (0.35)^2 + (1.05)^2 = 1.1025 + 0.1225 + 0.1225 + 1.1025 = 2.45$ $\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (-1.05)(-0.435) + (-0.35)(-0.145) + (0.35)(0.145) + (1.05)(0.435)$ $= 0.45675 + 0.05075 + 0.05075 + 0.45675 = 1.015$
3. Cálculo de pendiente y ordenada: $m = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} = \frac{1.015}{2.45} \approx 0.4142857 \text{ V} / (10^{14} \text{ Hz}) = 4.143 \times 10^{-15} \text{ V}\cdot\text{s}$ $c = \bar{y} - m \bar{x} = 0.795 - (0.4142857 \times 6.55) = 0.795 - 2.71357 = -1.9186 \text{ V}$
4. Incertidumbres estadísticas: $\sigma_m = \frac{\sigma}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2}} = \frac{0.02 \text{ V}}{\sqrt{2.45} \times 10^{14} \text{ Hz}} = \frac{0.02}{1.5652 \times 10^{14}} \approx 0.128 \times 10^{-15} \text{ V}\cdot\text{s}$ $\sigma_c = \sigma \sqrt{\frac{1}{N} + \frac{\bar{x}^2}{\sum (x_i - \bar{x})^2}} = 0.02 \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{(6.55)^2}{2.45}} = 0.02 \sqrt{0.25 + 17.511} = 0.02 \sqrt{17.761} \approx 0.084 \text{ V}$
5. Determinación de la constante de Planck: $h = m \cdot e = (4.143 \times 10^{-15} \text{ V}\cdot\text{s}) \times (1.602 \times 10^{-19} \text{ C}) = 6.637 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$ $\sigma_h = \sigma_m \cdot e = (0.128 \times 10^{-15}) \times (1.602 \times 10^{-19}) = 0.205 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$ Función de trabajo: $\Phi = -c \cdot e = 1.919 \text{ eV} \pm 0.084 \text{ eV}$.

Lectura del resultado

El valor obtenido para la constante de Planck es $h = (6.64 \pm 0.21) \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$. El valor tabulado universalmente aceptado es $h_{\text{CODATA}} = 6.62607015 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$, el cual cae de forma perfecta en el centro del intervalo de confianza del experimento.

Error común evitado

Forzar la recta a pasar por el origen ($c=0$). Si se impusiera $c=0$, se asumiría que los electrones no requieren energía de enlace para escapar del cátodo de cesio, lo que falsearía por completo la física del efecto fotoeléctrico y produciría un valor erróneo de $h$.

Ejemplo inverso: Reconstrucción de la ley de enfriamiento de Newton a partir de residuos

Situación física

Se estudia el enfriamiento térmico de una probeta metálica en aire ambiente a $T_{\text{amb}} = 20.0^\circ\text{C}$. Un estudiante ajustó la temperatura $T(t)$ directamente a una recta $T(t) = m t + c$ obteniendo una pendiente $m = -0.50^\circ\text{C/min}$ y $c = 80.0^\circ\text{C}$, con un coeficiente de correlación $R^2 = 0.94$. Sin embargo, el gráfico de residuos muestra que para $t < 20 \text{ min}$ los residuos son negativos, para $20 < t < 60 \text{ min}$ son fuertemente positivos, y para $t > 60 \text{ min}$ vuelven a ser negativos.

Resultado dado

Ajuste lineal con residuos en forma de arco invertido característico (curvatura sistemática evidente).

Reconstrucción analítica

La presencia de curvatura en los residuos demuestra que el modelo lineal es físicamente falso. La ley de enfriamiento de Newton establece: $\frac{dT}{dt} = -k (T - T_{\text{amb}}) \implies T(t) - T_{\text{amb}} = (T_0 - T_{\text{amb}}) e^{-k t}$ Linealizando mediante logaritmo natural de la diferencia térmica $\Delta T = T(t) - T_{\text{amb}}$: $y^* = \ln(T(t) - 20.0) = \ln(T_0 - 20.0) - k t$ Al graficar $\ln(T - 20.0)$ frente al tiempo $t$, los residuos pierden toda su curvatura y se distribuyen aleatoriamente alrededor de cero, con un $\chi_\nu^2$ que pasa de $18.4$ en el ajuste lineal a $1.05$ en el ajuste exponencial logarítmico.

Qué pregunta física permite responder

¿Por qué un valor alto de $R^2 = 0.94$ no es prueba suficiente de que los datos son lineales? El coeficiente $R^2$ mide únicamente la proporción de varianza explicada, pero es incapaz de diagnosticar si los residuos tienen sesgo sistemático o curvatura. Solo el análisis de residuos y el $\chi_\nu^2$ revelan si la física subyacente es exponencial en vez de lineal.

Verificación de límites

Cuando $t \to \infty$, el modelo lineal erróneo predice $T \to -\infty$ (lo cual viola el cero absoluto y el equilibrio térmico con el ambiente), mientras que el modelo exponencial correcto predice $T(t) \to T_{\text{amb}} = 20^\circ\text{C}$ de manera asintótica.

Errores comunes en Ajuste de Datos y Regresión

1. Confiar exclusivamente en $R^2$ para validar la linealidad

Parece razonable porque un $R^2 > 0.98$ transmite una falsa sensación de perfección matemática. Falla porque $R^2$ compara la varianza de la recta frente a una constante horizontal, pero es completamente ciego a patrones sistemáticos o curvaturas en los residuos (el famoso cuarteto de Anscombe muestra cuatro conjuntos con idéntico $R^2 = 0.67$ donde uno es lineal, otro es una parábola perfecta y otro tiene un outlier). Se detecta inspeccionando visualmente el gráfico de residuos o calculando $\chi_\nu^2$. Se corrige graficando siempre los residuos $r_i = y_i - f(x_i)$ y exigiendo $\chi_\nu^2 \approx 1$. Mini-ejemplo: ajustar $y = x^2$ para $x \in [10, 20]$ a una recta da $R^2 > 0.99$, pero los residuos forman un arco parabólico evidente que refuta la linealidad física.

2. Realizar regresión lineal ordinaria cuando hay incertidumbre en ambos ejes

Parece razonable porque las herramientas de software habituales solo piden columnas $X$ e $Y$. Falla porque la regresión por mínimos cuadrados estándar asume que $X$ es exactamente conocida (sin error) y que toda la dispersión reside en $Y$. Si $X$ tiene error experimental $\sigma_x$, la pendiente estimada sufre sesgo de atenuación y se subestima sistemáticamente hacia cero. Se detecta si las barras de error horizontal son visibles a simple vista en el gráfico de dispersión. Se corrige aplicando el método de regresión ortogonal de Deming o el algoritmo de mínimos cuadrados ponderados de York. Mini-ejemplo: si $y = 2 x$ pero los datos en $x$ tienen un ruido gaussiano sustancial, el ajuste ordinario de $y$ sobre $x$ devolverá una pendiente aproximada de $1.6$ en vez de $2.0$.

3. Omitir la ponderación por varianza al linearizar leyes físicas

Parece razonable porque transformar $y = A e^{B x}$ en $\ln y = \ln A + B x$ parece un simple cambio de variable algebraico. Falla porque la transformación logarítmica deforma de manera no lineal las barras de error: $\sigma_{\ln y} = \sigma_y / y$. Los puntos con valores pequeños de $y$ sufren una amplificación colosal de su incertidumbre en la escala logarítmica. Se detecta si se realiza una regresión lineal con pesos idénticos sobre datos logarítmicos que abarcan varios órdenes de magnitud. Se corrige asignando a cada punto transformado el peso estadístico $w_i = 1/\sigma_{\ln y_i}^2 = y_i^2 / \sigma_{y_i}^2$. Mini-ejemplo: en una curva de decaimiento radiactivo, los últimos puntos cercanos al ruido de fondo pueden tener $\sigma_{\ln y} = 2.0$, mientras que los primeros puntos tienen $\sigma_{\ln y} = 0.01$. Sin pesos, los últimos puntos arruinan la estimación de la semivida.

4. Forzar la recta a pasar por el origen sin justificación rigurosa

Parece razonable porque muchas leyes físicas teóricas afirman $y = m x$ con ordenada nula (como $V = R I$ o $F = m a$). Falla porque en experimentos reales existen tensiones de offset en amplificadores, calibraciones con desplazamiento de cero, o fricciones estáticas iniciales. Forzar $c=0$ sesga artificialmente la pendiente para compensar el offset instrumental no modelado. Se detecta cuando el software se configura con la opción "intercept = 0" sin antes haber ajustado con $c$ libre y comprobado que $c$ es compatible con cero dentro de sus barras de error $\pm \sigma_c$. Se corrige ajustando siempre con dos parámetros libres $(m, c)$ y evaluando estadísticamente si $c$ es compatible con cero. Mini-ejemplo: un amperímetro con un offset de $+0.1 \text{ A}$ distorsionará el cálculo de la resistencia en un $10\%$ si se fuerza la recta a pasar por el origen.

5. Sobreajuste polinomial de datos ruidosos

Parece razonable porque aumentar el grado del polinomio reduce monótonamente la suma de cuadrados de los residuos $\chi^2$. Falla porque a partir de cierto grado el modelo deja de capturar la ley física subyacente y comienza a ajustar el ruido aleatorio instrumental, generando oscilaciones extremas no físicas entre puntos adyacentes. Se detecta si el chi-cuadrado reducido cae drásticamente por debajo de 1 ($\chi_\nu^2 < 0.2$) y la curva muestra ondulaciones bruscas. Se corrige seleccionando modelos guiados por ecuaciones diferenciales físicas o aplicando criterios de información como AIC o BIC. Mini-ejemplo: ajustar 6 datos de caída libre con un polinomio de grado 5 producirá $\chi^2 = 0$, pero interpolará aceleraciones locales negativas o infinitas que violan la gravedad newtoniana.

Regla rápida de detección

• Tras cada ajuste, calcula siempre los residuos $r_i = y_i - f(x_i)$ y grafica $r_i$ frente a $x_i$.
• Si los residuos tienen forma de "U" o "S", el modelo no es lineal, con independencia de lo alto que sea el $R^2$.

Aplicaciones físicas de Ajuste de Datos y Regresión

1. Mecánica clásica: verificación de la segunda ley de Newton y masa inercial

Aparece al comprobar la relación $F = m a$ en pistas dinámicas con sensores de fuerza y fotopuertas ópticas, variando la fuerza aplicada por pesas suspendidas y midiendo la aceleración resultante del carro. Se calcula realizando una regresión lineal ponderada de la aceleración $a$ frente a la fuerza $F$: $a = \left(\frac{1}{m_{\text{total}}}\right) F - \frac{f_{\text{fric}}}{m_{\text{total}}}$. El resultado da la masa inercial total del sistema a partir de la inversa de la pendiente ($m_{\text{total}} = 1/\text{pendiente}$) y la fuerza de fricción residual o resistencia al rodamiento a partir de la ordenada al origen. El error peligroso es forzar la ordenada a cero; la fricción estática o dinámica inevitable introduce una ordenada negativa medible que, si se omite, sobrestima la masa inercial real. Como control final se compara la masa deducida por la regresión con la masa gravitacional medida estáticamente en balanza analítica para verificar el principio de equivalencia.

2. Termodinámica: determinación del cero absoluto mediante ley de Charles

Aparece en termometría de gas a volumen constante, donde se mide la presión $P$ de una cantidad fija de gas ideal confinado a diversas temperaturas conocidas $T$ en grados Celsius (hielo fundente, ebullición del agua, baños térmicos). Se calcula ajustando la recta $P(T) = m T + c$, donde según la ley de los gases $P = \frac{n R}{V} (T_C + 273.15)$. El resultado da el valor experimental del cero absoluto extrapolando la recta hasta la presión nula ($P=0$): $T_{\text{cero}} = -c / m$. El error peligroso es extrapolar una recta calibrada en un rango muy estrecho de temperaturas (por ejemplo, entre $20^\circ\text{C}$ y $40^\circ\text{C}$), donde una pequeña incertidumbre en la pendiente $\sigma_m$ amplifica colosalmente la incertidumbre de la extrapolación a $-273^\circ\text{C}$. Como control final se calcula la incertidumbre propagada de la extrapolación $\sigma_{T_{\text{cero}}} = |T_{\text{cero}}| \sqrt{(\sigma_c/c)^2 + (\sigma_m/m)^2 - 2\operatorname{cov}(m, c)/(m c)}$ confirmando que abarque el valor $-273.15^\circ\text{C}$.

3. Electromagnetismo: caracterización de fuentes reales y resistencia interna

Aparece al medir la curva característica de una pila o batería conectada a una resistencia de carga variable, midiendo la corriente suministrada $I$ y el voltaje en bornes $V$. Se calcula mediante la regresión lineal $V = \mathcal{E} - r I$, donde la ordenada al origen proporciona la fuerza electromotriz (FEM) en circuito abierto $\mathcal{E}$ y el valor absoluto de la pendiente proporciona la resistencia interna $r$. El resultado da la curva de entrega de potencia máxima de la fuente (alcanzada cuando la carga externa iguala a la resistencia interna $R_L = r$). El error peligroso es no advertir que para corrientes elevadas la batería se calienta, haciendo que la resistencia interna aumente durante el ensayo y curvando los datos en el extremo de alta corriente. Como control final se filtran las lecturas de corriente excesiva donde aparezca calentamiento por efecto Joule y se revisa la linealidad de los residuos.

4. Óptica y física atómica: constante de Rydberg en el espectro del hidrógeno

Aparece en espectroscopía óptica al medir las longitudes de onda $\lambda$ de las líneas visibles de la serie de Balmer (roja $H_\alpha$, azul $H_\beta$, etc.) emitidas por una lámpara de descarga de hidrógeno mediante un espectrómetro de red de difracción. Se calcula a partir de la fórmula de Rydberg $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n^2} \right)$. Definiendo $y = 1/\lambda$ y $x = (0.25 - 1/n^2)$ para $n = 3, 4, 5, 6$, se realiza una regresión lineal con pendiente $R_H$. El resultado da la constante de Rydberg $R_H \approx 1.097 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$, conectando directamente la espectroscopía con las constantes fundamentales $m_e, e, \hbar, c$. El error peligroso es propagar los ángulos de difracción $\theta$ a longitudes de onda $\lambda = d \sin\theta$ sin calcular la incertidumbre no uniforme inducida por el factor $\cos\theta$, lo que asigna pesos incorrectos a las líneas violetas de orden superior. Como control final se verifica que la ordenada al origen del ajuste sea consistente con cero y que el chi-cuadrado reducido confirme la exactitud del modelo atómico de Bohr.

5. Astrofísica: determinación de la constante de Hubble ($H_0$)

Aparece en cosmología observacional al estudiar la expansión del universo midiendo la velocidad de recesión radial $v$ (mediante corrimiento al rojo Doppler $z$) de galaxias lejanas frente a su distancia luminosa $d$ (medida con candelas estándar como supernovas Tipo Ia o Cefeidas). Se calcula aplicando regresión lineal ponderada a la ley de Hubble-Lemaître: $v = H_0 d$. El resultado da la tasa de expansión cósmica $H_0 \approx 70 \text{ (km/s)/Mpc}$ y permite estimar el orden de magnitud de la edad del universo como $t_0 \sim 1/H_0$. El error peligroso es ignorar las velocidades peculiares locales de galaxias cercanas causadas por atracción gravitacional de cúmulos (como el Gran Atractor), lo que falsea la pendiente si no se restringe la muestra a galaxias en el flujo de Hubble profundo ($d > 50 \text{ Mpc}$), o no emplear el estimador de York dado que las distancias galácticas tienen incertidumbres relativas grandes en ambos ejes. Como control final se analiza la consistencia de los residuos y se coteja el valor obtenido con mediciones del fondo cósmico de microondas (Planck).

Práctica guiada: Ajuste de Datos y Regresión

Nivel 1: reconocimiento

Para cada una de las siguientes relaciones físicas no lineales, propón la transformación de variables $(X, Y)$ que permite convertirlas en una recta $Y = m X + c$:

1. Ley de gravitación o potencial electrostático: $y = \frac{A}{x^2}$.
2. Periodo de un péndulo simple: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
3. Carga de un condensador en circuito RC: $I(t) = I_0 e^{-t/RC}$.
4. Ley de Stefan-Boltzmann de radiación: $P(T) = \sigma A T^4$.

Solución:

1. Definir $Y = y$ y $X = 1/x^2$ (o bien $\ln y = \ln A - 2\ln x$ con $Y = \ln y$ y $X = \ln x$).
2. Elevar al cuadrado: $T^2 = \left(\frac{4\pi^2}{g}\right) L$. Definir $Y = T^2$ y $X = L$ (la pendiente es $m = 4\pi^2/g$).
3. Aplicar logaritmo: $\ln I = \ln I_0 - \left(\frac{1}{RC}\right) t$. Definir $Y = \ln I$ y $X = t$ (la pendiente es $m = -1/RC$ y la ordenada es $c = \ln I_0$).
4. Definir $Y = P$ y $X = T^4$ (la pendiente es $m = \sigma A$).

Nivel 2: aplicación directa

Se miden tres pares de fuerza y elongación para un muelle elástico:

• $x_1 = 0.02 \text{ m}, F_1 = 1.95 \text{ N}$
• $x_2 = 0.04 \text{ m}, F_2 = 4.05 \text{ N}$
• $x_3 = 0.06 \text{ m}, F_3 = 5.98 \text{ N}$

Asumiendo incertidumbres uniformes $\sigma_F = 0.05 \text{ N}$, calcula la constante elástica del muelle $k$ mediante regresión lineal $F = k x + c$ y verifica si la ordenada $c$ es compatible con cero.

Solución:

1. Medias: $\bar{x} = (0.02 + 0.04 + 0.06)/3 = 0.04 \text{ m}$. $\bar{F} = (1.95 + 4.05 + 5.98)/3 = 11.98 / 3 \approx 3.9933 \text{ N}$.
2. Desviaciones: $x_i - \bar{x} = [-0.02, 0.00, +0.02]$. $F_i - \bar{F} = [-2.0433, +0.0567, +1.9867]$.
3. Sumas: $\sum (x_i - \bar{x})^2 = (-0.02)^2 + 0 + (0.02)^2 = 0.0004 + 0.0004 = 0.0008 \text{ m}^2$. $\sum (x_i - \bar{x})(F_i - \bar{F}) = (-0.02)(-2.0433) + 0 + (0.02)(1.9867) = 0.040866 + 0.039734 = 0.0806 \text{ N}\cdot\text{m}$.
4. Pendiente (constante $k$): $k = \frac{0.0806}{0.0008} = 100.75 \text{ N/m}$
5. Ordenada $c$: $c = \bar{F} - k \bar{x} = 3.9933 - (100.75 \times 0.04) = 3.9933 - 4.0300 = -0.0367 \text{ N}$
6. Incertidumbres: $\sigma_k = \frac{0.05}{\sqrt{0.0008}} = \frac{0.05}{0.02828} \approx 1.77 \text{ N/m}$ $\sigma_c = 0.05 \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{(0.04)^2}{0.0008}} = 0.05 \sqrt{0.3333 + 2.0} = 0.05 \sqrt{2.3333} \approx 0.076 \text{ N}$ Resultado: $k = (100.8 \pm 1.8) \text{ N/m}$. La ordenada $c = (-0.04 \pm 0.08) \text{ N}$ es perfectamente compatible con cero ($|c| < \sigma_c$).

Nivel 3: elección de herramienta

Dispones de 50 puntos experimentales de resistividad eléctrica frente a temperatura $\rho(T)$ de un superconductor cerca de la temperatura crítica $T_c$. Entre $T = 100\text{ K}$ y $150\text{ K}$ la relación es lineal, pero por debajo de $95\text{ K}$ la resistencia colapsa bruscamente a cero. ¿Cómo debes proceder para extraer el coeficiente de temperatura lineal de la fase normal?

Solución: Debes restringir el dominio de ajuste:

1. No se deben incluir todos los datos en una única regresión global.
2. Filtra los datos seleccionando únicamente el subconjunto con $T \geq 105\text{ K}$ donde la fase normal es físicamente válida.
3. Realiza la regresión lineal ponderada exclusivamente sobre ese subconjunto.
4. Evalúa los residuos del ajuste para confirmar que no queden vestigios de la transición de fase en el rango seleccionado.

Nivel 4: interpretación física

Se realiza un ajuste lineal de velocidad frente a tiempo $v(t) = a t + v_0$ para un carro sobre un carril de aire con $N=20$ puntos. El software reporta $R^2 = 0.998$, pero el chi-cuadrado reducido es $\chi_\nu^2 = 4.8$. Explica qué significa físicamente esta aparente contradicción.

Solución: $R^2 = 0.998$ indica simplemente que el $99.8\%$ de la variación global de los datos sigue una tendencia lineal general (la aceleración es el efecto predominante). Sin embargo, $\chi_\nu^2 = 4.8 \gg 1$ revela que las discrepancias puntuales entre los datos y la recta son casi 5 veces mayores de lo que permitirían las fluctuaciones aleatorias estadísticas. Causas físicas posibles:

1. Existe un rozamiento cuadrático o arrastre aerodinámico pequeño pero real $F_d = -b v^2$ que introduce una ligera curvatura en la velocidad.
2. El carril de aire presenta un pandeo o desnivel local que altera la aceleración en ciertas posiciones.
3. Las incertidumbres del sensor de posición fueron subestimadas por el fabricante.

Nivel 5: error intencionado

Para linealizar la ley exponencial de desintegración $y = A e^{-B x}$, un estudiante toma logaritmos $Y = \ln y$ y realiza un ajuste de mínimos cuadrados ordinario no ponderado con los siguientes datos: $y_1 = 100.0 \pm 1.0 \implies Y_1 = 4.605$ $y_2 = 10.0 \pm 1.0 \implies Y_2 = 2.303$ $y_3 = 1.0 \pm 1.0 \implies Y_3 = 0.000$ El estudiante trata los tres puntos $Y_1, Y_2, Y_3$ con el mismo peso en la regresión. Demuestra por qué este procedimiento distorsiona gravemente el resultado.

Fallo conceptual: Por propagación de errores, la incertidumbre del logaritmo es $\sigma_Y = \sigma_y / y$.

• Para el punto 1: $\sigma_{Y_1} = 1.0 / 100.0 = 0.01$ (peso $w_1 = 1/0.01^2 = 10\,000$).
• Para el punto 2: $\sigma_{Y_2} = 1.0 / 10.0 = 0.10$ (peso $w_2 = 1/0.10^2 = 100$).
• Para el punto 3: $\sigma_{Y_3} = 1.0 / 1.0 = 1.00$ (peso $w_3 = 1/1.00^2 = 1$).

Al usar una regresión no ponderada, el estudiante asigna el mismo peso al punto 3 (cuya incertidumbre relativa en el logaritmo es del $100\%$) que al punto 1 (cuya incertidumbre es del $1\%$). El punto 1 es en realidad 10,000 veces más preciso que el punto 3. La regresión no ponderada permite que el punto más ruidoso desvíe la pendiente, alterando radicalmente el cálculo de la constante de desintegración.