Ruido y filtrado básico

Tipos de ruido experimental, relación señal-ruido, medias móviles y filtros pasa-bajo elementales.

Qué es

El ruido físico es cualquier fluctuación estocástica no deseada presente en una señal experimental que degrada la precisión o enmascara la información de interés. Lejos de ser un mero defecto técnico de fabricación, el ruido es una manifestación directa de la naturaleza microscópica, atómica y termodinámica de la materia.

Los mecanismos fundamentales de ruido físico se dividen según su origen:

1. Ruido térmico o de Johnson-Nyquist: Originado por la agitación térmica browniana de los electrones libres de conducción en cualquier elemento disipativo o resistencia $R$. Es un ruido blanco (densidad espectral plana independiente de la frecuencia) derivado del teorema de fluctuación-disipación: $S_v(f) = 4 k_B T R \quad [\text{V}^2/\text{Hz}], \qquad V_{\text{rms}} = \sqrt{4 k_B T R \Delta f}$
2. Ruido de disparo (Shot noise o Schottky): Originado por la cuantización discreta de la carga eléctrica ($e$) y la llegada aleatoria de portadores en barreras de potencial (uniones p-n, fotodiodos). Sigue estadística de Poisson: $S_i(f) = 2 e I \quad [\text{A}^2/\text{Hz}], \qquad I_{\text{rms}} = \sqrt{2 e I \Delta f}$
3. Ruido $1/f$ o ruido parpadeo (Flicker noise): Domina a bajas frecuencias y surge por atrapamiento estocástico de portadores en trampas de defectos en interfaces semiconductoras o derivas térmicas lentas.
4. Filtrado físico: Consiste en hacer pasar la señal a través de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) —analógico o digital— cuya función de transferencia $H(f)$ atenúe selectivamente las bandas espectrales donde predomina el ruido mientras preserva la banda de la señal física.

Por qué aparece en física

Ninguna medición en física experimental o astrofísica está libre de ruido. Desde la detección de ondas gravitacionales en LIGO hasta la resonancia magnética nuclear o la microscopía de efecto túnel:

• El ruido impone el límite termodinámico fundamental de resolución (el límite cuántico estándar o límite de ruido térmico).
• Si no se filtra adecuadamente, el ruido de alta frecuencia contamina la señal o, al digitalizar mediante conversores analógico-digitales (ADC), se repliega sobre la banda base (efecto de aliasing o solapamiento espectral) si se viola el criterio de Nyquist ($f_s \geq 2 f_{\text{máx}}$).
• Técnicas como el filtrado paso bajo pasivo RC, los filtros de media móvil o los filtros digitales tipo Butterworth permiten aumentar la relación señal-ruido (SNR) en varios órdenes de magnitud, transformando señales indistinguibles en mediciones físicas con alta significancia estadística.

Idea visual o geométrica

En el dominio temporal, una señal contaminada por ruido aparece como una curva rugosa y llena de picos espurios superpuestos a la trayectoria real suave. En el dominio de la frecuencia (gráfico de densidad espectral de potencia, PSD):

• El ruido blanco forma una línea de fondo horizontal plana que se extiende a través de todo el espectro de frecuencias.
• El ruido $1/f$ se eleva abruptamente hacia el extremo izquierdo (bajas frecuencias).
• La señal física suele concentrarse en un pico o banda estrecha. Geométricamente, un filtro paso bajo actúa como una ventana que corta el espectro por encima de la frecuencia de corte $f_c$, podando toda la planicie de ruido de alta frecuencia y reteniendo únicamente la energía encerrada bajo el lóbulo de la señal útil.

Lenguaje simbólico mínimo

1. Voltaje de ruido térmico de Johnson-Nyquist: $V_n = \sqrt{4 k_B T R \Delta f}$
2. Corriente de ruido de disparo de Schottky: $I_n = \sqrt{2 e I \Delta f}$
3. Relación señal-ruido (SNR) en decibelios: $\text{SNR} = 10 \log_{10}\left( \frac{P_{\text{señal}}}{P_{\text{ruido}}} \right) = 20 \log_{10}\left( \frac{V_{\text{señal, rms}}}{V_{\text{ruido, rms}}} \right)$
4. Frecuencia de corte de un filtro paso bajo RC pasivo: $f_c = \frac{1}{2\pi R C}, \qquad |H(f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (f/f_c)^2}}$
5. Filtro digital de media móvil de $M$ puntos: $y[n] = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} x[n-k], \qquad \sigma_y = \frac{\sigma_x}{\sqrt{M}}$

Qué significa el resultado

El valor $V_{\text{rms}}$ resultante cuantifica la fluctuación media que se sumará a cualquier lectura física instantánea. La aplicación de un filtro con ancho de banda equivalente de ruido $\Delta f$:

• Reduce la varianza del ruido blanco de forma proporcional a la reducción de ancho de banda: $\sigma_{\text{filtrado}}^2 = S_0 \Delta f$.
• En el caso de una media móvil de $M$ muestras sucesivas independientes, la desviación estándar del ruido se reduce exactamente en un factor $\sqrt{M}$. Promediar 100 mediciones reduce el ruido a la décima parte ($10\%$) de su valor original.

Cuándo no debes usarlo

1. Filtrar sin considerar el tiempo de respuesta o distorsión de fase: Un filtro paso bajo con frecuencia de corte excesivamente baja elimina el ruido pero atenúa también las componentes rápidas de la señal física real, redondeando frentes de onda o picos transitorios y retrasando la señal en el tiempo (desfase temporal dependiente de la frecuencia).
2. Media móvil en señales con componentes espectrales de alta frecuencia: Si la señal contiene oscilaciones rápidas o pulsos estrechos, la media móvil actúa como un filtro peine en el dominio frecuencial que distorsiona la forma de onda original y atenúa los picos reales.
3. Ignorar el filtro anti-aliasing analógico antes de la digitalización: Intentar filtrar digitalmente una señal muestreada por debajo de la tasa de Nyquist es inútil: el ruido de alta frecuencia ya se habrá plegado permanentemente e irreversiblemente sobre las bajas frecuencias durante el muestreo. El filtrado anti-aliasing debe ser analógico y previo al convertidor ADC.

Resumen operativo

• Identifica la fuente física primaria de ruido: ¿es térmico (resistencia), de disparo (corriente en juntura) o ambiental ($50\text{ Hz}$ de red eléctrica)?
• Calcula el ancho de banda efectivo $\Delta f$ del sistema de detección.
• Determina la banda espectral donde reside la información física útil de la señal.
• Diseña un filtro cuya frecuencia de corte $f_c$ separe la señal del ruido sin distorsionar los armónicos clave.
• Aplica promediado o media móvil con $M$ puntos para reducir el ruido aleatorio en un factor $\sqrt{M}$ cuando la señal sea cuasi-estacionaria.

Procedimiento de Caracterización de Ruido y Diseño de Filtrado

Antes de calcular

Antes de diseñar circuitos de acondicionamiento o rutinas de procesamiento digital:

• Mide o estima los parámetros físicos del sensor: temperatura absoluta de operación $T$ (en kelvins), resistencia equivalente de Thevenin $R$ (en ohmios) y corriente de polarización continua $I_{\text{DC}}$ (en amperios).
• Determina la frecuencia máxima del fenómeno físico a medir $f_{\text{señal, máx}}$ para fijar el ancho de banda útil sin perder información dinámica.

Paso 1: identifica el objeto matemático

Calcula las densidades espectrales de potencia de las fuentes de ruido fundamentales:

1. Ruido térmico: $S_v = 4 k_B T R \quad [\text{V}^2/\text{Hz}], \qquad k_B = 1.380649 \times 10^{-23} \text{ J/K}$
2. Ruido de disparo: $S_i = 2 e I_{\text{DC}} \quad [\text{A}^2/\text{Hz}], \qquad e = 1.60217663 \times 10^{-19} \text{ C}$
3. Ruido total combinado en la entrada: $V_{n,\text{total}}^2 = S_v + S_i \cdot R^2 = (4 k_B T R + 2 e I_{\text{DC}} R^2) \Delta f$

Paso 2: elige la operación

Determina la arquitectura de filtrado necesaria:

• Para eliminar ruido blanco de banda ancha: Filtro paso bajo con frecuencia de corte $f_c \approx 1.5 \times f_{\text{señal, máx}}$.
• Para eliminar zumbido de red eléctrica ($50\text{ Hz} / 60\text{ Hz}$): Filtro de muesca o rechazo de banda (notch filter).
• Para datos digitales muestreados estacionarios: Filtro de media móvil o suavizado Savitzky-Golay.

Paso 3: conserva unidades y signos

• La constante de Boltzmann $k_B$ en unidades SI es $\text{J/K} = \text{V}\cdot\text{C}/\text{K} = \text{V}^2/(\Omega\cdot\text{Hz}\cdot\text{K})$.
• El producto $4 k_B T R$ tiene unidades estrictas de $\text{V}^2/\text{Hz}$.
• Al tomar la raíz cuadrada $\sqrt{S_v}$, la densidad espectral de amplitud tiene unidades de $\text{V}/\sqrt{\text{Hz}}$ (voltios por raíz de hercio) o $\text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}$.
• Asegúrate de multiplicar por la raíz del ancho de banda equivalente de ruido $\sqrt{\Delta f}$ (en $\sqrt{\text{Hz}}$) para obtener el voltaje eficaz eficaz en voltios ($V_{\text{rms}}$).

Paso 4: calcula

1. Voltaje de ruido RMS en el ancho de banda filtrado: $V_{\text{rms}} = \sqrt{(4 k_B T R + 2 e I_{\text{DC}} R^2) \cdot \frac{\pi}{2} f_c}$ (Nota: para un filtro RC simple de primer orden, el ancho de banda equivalente de ruido es $\Delta f_{\text{ENB}} = \frac{\pi}{2} f_c \approx 1.571 f_c$ debido a la caída gradual de 20 dB/década).
2. Relación señal-ruido: $\text{SNR}_{\text{dB}} = 20 \log_{10}\left( \frac{V_{\text{señal, rms}}}{V_{\text{rms}}} \right)$
3. Ganancia de SNR por promediado de $M$ muestras: $\Delta \text{SNR}_{\text{dB}} = 10 \log_{10}(M)$

Paso 5: interpreta el resultado

• Compara la SNR antes y después del filtrado: un incremento de $20\text{ dB}$ equivale a una reducción de un orden de magnitud (factor 10) en la amplitud del ruido visible en el osciloscopio.
• Verifica el tiempo de subida del filtro $t_r \approx \frac{0.35}{f_c}$: el tiempo de respuesta del filtro debe ser significativamente más rápido que el tiempo característico de los eventos físicos a registrar para no falsear la dinámica real.

Checklist de autocontrol

• ¿He utilizado la temperatura absoluta en kelvins ($T = T_C + 273.15$) y no en grados Celsius?
• ¿Tienen las densidades de ruido unidades de $\text{V}/\sqrt{\text{Hz}}$ antes de integrar sobre el ancho de banda?
• ¿He incluido el factor $\pi/2$ de ancho de banda equivalente si el filtro es un polo simple RC?
• ¿Es la tasa de muestreo del conversor ADC al menos el doble de la frecuencia máxima del sistema para evitar aliasing?
• ¿He comprobado que el filtrado no redondee transitorios físicos importantes?

Ejemplo guiado: Reducción de ruido térmico en un sensor piezoeléctrico de presión

Situación física

Se utiliza un transductor de presión piezoeléctrico de alta impedancia ($R = 10.0 \,\text{k}\Omega$) a temperatura ambiente de laboratorio ($T = 293.15 \text{ K}$) para medir oscilaciones acústicas de combustión cuya frecuencia física no supera $f_{\text{máx}} = 2.0 \text{ kHz}$. La amplitud esperada de la señal útil es de $V_{\text{señal}} = 1.0 \text{ mV}$ eficaz ($1000 \,\mu\text{V}$). Sin filtrado, el sistema de adquisición registra un ancho de banda amplio de $\Delta f_0 = 10.0 \text{ MHz}$ ($10^7 \text{ Hz}$). Se desea:

1. Calcular el voltaje de ruido térmico eficaz $V_{n,0}$ en banda ancha y la SNR inicial.
2. Diseñar un filtro paso bajo RC pasivo adecuado para la señal acústica.
3. Evaluar el nuevo voltaje de ruido térmico $V_{n,1}$ y la mejora en SNR.

Traducción matemática

1. Ruido térmico inicial: $V_{n,0} = \sqrt{4 k_B T R \Delta f_0}$ donde $k_B = 1.38065 \times 10^{-23} \text{ J/K}$, $T = 293.15 \text{ K}$, $R = 10^4 \,\Omega$.
2. Diseño del filtro RC: Para no atenuar la frecuencia acústica máxima $f_{\text{máx}} = 2.0 \text{ kHz}$, se selecciona la frecuencia de corte a $f_c = 2.5 \text{ kHz}$: $f_c = \frac{1}{2\pi R C} \implies C = \frac{1}{2\pi R f_c}$
3. Ancho de banda equivalente de ruido (ENB) del filtro RC: $\Delta f_{\text{ENB}} = \frac{\pi}{2} f_c = \frac{\pi}{2} (2500) \approx 3927 \text{ Hz}$
4. Ruido térmico filtrado: $V_{n,1} = \sqrt{4 k_B T R \Delta f_{\text{ENB}}}$

Cálculo paso a paso

1. Densidad espectral de ruido: $S_v = 4 k_B T R = 4 \times (1.38065 \times 10^{-23}) \times 293.15 \times 10^4 = 1.6186 \times 10^{-16} \text{ V}^2/\text{Hz}$ $\sqrt{S_v} = \sqrt{1.6186 \times 10^{-16}} \approx 1.272 \times 10^{-8} \text{ V}/\sqrt{\text{Hz}} = 12.72 \text{ nV}/\sqrt{\text{Hz}}$
2. Ruido inicial sin filtrar ($\Delta f = 10^7 \text{ Hz}$): $V_{n,0} = 1.272 \times 10^{-8} \times \sqrt{10^7} = 1.272 \times 10^{-8} \times 3162.3 \approx 4.023 \times 10^{-5} \text{ V} = 40.23 \,\mu\text{V}$ $\text{SNR}_0 = 20 \log_{10}\left( \frac{1000 \,\mu\text{V}}{40.23 \,\mu\text{V}} \right) = 20 \log_{10}(24.86) \approx 27.91 \text{ dB}$
3. Cálculo del condensador del filtro: $C = \frac{1}{2\pi \times 10000 \times 2500} = \frac{1}{1.5708 \times 10^8} \approx 6.366 \times 10^{-9} \text{ F} = 6.37 \text{ nF}$ (Se puede usar un condensador comercial de $6.8 \text{ nF}$).
4. Ruido tras el filtro RC: $V_{n,1} = 1.272 \times 10^{-8} \times \sqrt{3927} = 1.272 \times 10^{-8} \times 62.666 \approx 7.97 \times 10^{-7} \text{ V} = 0.80 \,\mu\text{V}$ $\text{SNR}_1 = 20 \log_{10}\left( \frac{1000 \,\mu\text{V}}{0.80 \,\mu\text{V}} \right) = 20 \log_{10}(1250) \approx 61.94 \text{ dB}$

Lectura del resultado

El filtrado pasivo redujo el voltaje de ruido térmico eficaz desde $40.2 \,\mu\text{V}$ hasta apenas $0.80 \,\mu\text{V}$ (una atenuación de 50 veces en la fluctuación cuadrática media). La relación señal-ruido mejoró en $\Delta \text{SNR} = 61.94 - 27.91 = 34.03 \text{ dB}$. La señal en el osciloscopio pasa de tener una estela borrosa de ruido del $4\%$ a una traza nítida con menos del $0.08\%$ de ruido residual.

Error común evitado

Tomar directamente $f_c$ como ancho de banda de ruido $\Delta f$ olvidando que la caída de un polo simple de primer orden ($-20\text{ dB/déc}$) deja pasar energía residual más allá de $f_c$, requiriendo multiplicar por el factor de corrección analítico $\pi/2 \approx 1.57$.

Ejemplo inverso: Estimación de la temperatura de una resistencia mediante termometría de ruido de Johnson

Situación física

La termometría de ruido de Johnson es un método primario de metrología térmica absoluta que no depende de calibraciones secundarias. Se mide el ruido térmico en bornes de una resistencia calibrada de ultra-precisión de $R = 100.00 \,\text{k}\Omega$ utilizando un amplificador criogénico de bajísimo ruido con un filtro de banda estrecha perfectamente plano entre $f_1 = 10.00 \text{ kHz}$ y $f_2 = 20.00 \text{ kHz}$. El voltímetro térmico RMS registra una tensión media cuadrática de salida de $V_{\text{rms}} = 1.282 \,\mu\text{V}$.

Resultado dado

Tensión de ruido térmico medida: $V_{\text{rms}} = 1.282 \times 10^{-6} \text{ V}$. Resistencia calibrada: $R = 1.000 \times 10^5 \,\Omega$. Ancho de banda rectangular estricto: $\Delta f = 20000 - 10000 = 10000 \text{ Hz} = 1.000 \times 10^4 \text{ Hz}$.

Reconstrucción analítica

La relación fundamental de Nyquist es: $V_{\text{rms}}^2 = 4 k_B T R \Delta f$ Despejando la temperatura absoluta termodinámica del sistema $T$: $T = \frac{V_{\text{rms}}^2}{4 k_B R \Delta f}$ Sustituyendo los valores conocidos: $V_{\text{rms}}^2 = (1.282 \times 10^{-6})^2 = 1.643524 \times 10^{-12} \text{ V}^2$ $4 k_B R \Delta f = 4 \times (1.380649 \times 10^{-23} \text{ J/K}) \times (10^5 \,\Omega) \times (10^4 \text{ Hz}) = 5.522596 \times 10^{-14} \text{ V}^2/\text{K}$ $T = \frac{1.643524 \times 10^{-12}}{5.522596 \times 10^{-14}} \approx 297.60 \text{ K}$ En grados Celsius: $T_C = 297.60 - 273.15 = 24.45^\circ\text{C}$

Qué pregunta física permite responder

¿Por qué este método permite medir la temperatura absoluta de un criostato de helio o del interior de un reactor nuclear sin necesidad de calibración previa de mercurio o termopares? Porque $k_B$ es una constante física universal fundamental fijada de manera exacta en el Sistema Internacional de Unidades (SI). Medir la varianza de la fluctuación térmica de electrones mide directamente la energía cinética media por grado de libertad termodinámico $\frac{1}{2} k_B T$.

Verificación de límites

Cuando $T \to 0 \text{ K}$ (cero absoluto), la fórmula clásica predice $V_{\text{rms}} \to 0$. En el régimen cuántico ultra-frío ($k_B T \ll h f$), el teorema cuántico de Nyquist-Callen-Welton sustituye $4 k_B T$ por $2 h f \coth(h f / 2 k_B T)$, convergiendo a las fluctuaciones del vacío cuántico de punto cero $\frac{1}{2} h f$.

Errores comunes en Ruido Físico y Filtrado

1. Intentar resolver el aliasing mediante filtrado digital posterior al muestreo

Parece razonable porque los filtros digitales implementados en software son flexibles, reproducibles y fáciles de ajustar. Falla porque una vez que una señal continua se muestrea por debajo de la tasa de Nyquist ($f_s < 2 f_{\text{ruido}}$), las frecuencias altas se pliegan de forma destructiva e indistinguible sobre la banda base. En el dominio digital, una componente de ruido plegada es idéntica en fase y amplitud a una señal real de baja frecuencia. Se detecta si aparecen oscilaciones lentas espurias que cambian de frecuencia al variar la tasa de muestreo del conversor ADC. Se corrige instalando siempre un filtro paso bajo analógico antes del conversor ADC (filtro anti-aliasing). Mini-ejemplo: muestrear un ruido de $990 \text{ Hz}$ con $f_s = 1000 \text{ Hz}$ crea una señal alias a $10 \text{ Hz}$; ningún filtro digital paso bajo que deje pasar $10 \text{ Hz}$ podrá eliminar ese ruido.

2. Olvidar el ancho de banda equivalente de ruido (ENB) en filtros analógicos

Parece razonable porque la frecuencia de corte a $-3\text{ dB}$ ($f_c$) se enseña como el límite operativo del filtro. Falla porque un filtro analógico real no corta el espectro como una pared vertical infinita. Un filtro RC de primer orden decae a razón de $-20\text{ dB/década}$, permitiendo que el ruido blanco integrado más allá de $f_c$ aporte un $57\%$ adicional de varianza: $\Delta f_{\text{ENB}} = \frac{\pi}{2} f_c \approx 1.571 f_c$. Se detecta cuando el ruido experimental medido en el laboratorio supera en casi un $25\%$ la predicción calculada con $\sqrt{4 k_B T R f_c}$. Se corrige multiplicando la frecuencia de corte por el factor de corrección de ancho de banda equivalente de ruido del orden del filtro. Mini-ejemplo: para $f_c = 10 \text{ kHz}$, el ancho de banda real que recolecta ruido térmico es $15.71 \text{ kHz}$, no $10 \text{ kHz}$.

3. Disminuir en exceso la frecuencia de corte distorsionando la señal física

Parece razonable porque cuanto menor sea el ancho de banda, menor será el ruido térmico integrado ($V_n \propto \sqrt{\Delta f}$). Falla porque todo filtro introduce una función de transferencia dependiente de la frecuencia. Si $f_c$ se acerca a las frecuencias de la señal física útil, se atenúan los armónicos rápidos, se ensanchan los pulsos y se introduce una distorsión de fase y retraso temporal que destruye la precisión cinemática o dinámica. Se detecta si el tiempo de subida de la señal filtrada $t_r$ coincide con el tiempo de respuesta propio del filtro $t_r \approx 0.35/f_c$. Se corrige dimensionando $f_c$ para que se sitúe al menos entre $1.5$ y $2$ veces por encima del armónico más alto de la señal física requerida. Mini-ejemplo: filtrar un pulso de colisión de $1 \text{ ms}$ de duración con un filtro con corte a $50 \text{ Hz}$ transformará el pico de impacto en una joroba aplanada y retardada irreconocible.

4. Confundir ruido térmico de Johnson con ruido de disparo de Schottky

Parece razonable porque ambos producen densidades espectrales planas (ruido blanco) en la mayoría de frecuencias prácticas. Falla porque sus mecanismos físicos de generación y sus dependencias experimentales son radicalmente distintos: el ruido térmico depende de la resistencia disipativa y de la temperatura ($4 k_B T R$) y existe en ausencia de corriente; el ruido de disparo depende estrictamente de la corriente continua media $I_{\text{DC}}$ ($2 e I$) y es independiente de la temperatura. Se detecta si se intenta reducir el ruido de disparo enfriando criogénicamente el circuito, lo cual no produce ningún efecto en la corriente de Schottky. Se corrige identificando si la fluctuación proviene de resistencia térmica o del transporte discreto de portadores en uniones de semiconductores. Mini-ejemplo: en una resistencia pasiva sin corriente aplicada, el ruido de disparo es cero, pero el ruido térmico es finito y medible.

5. Asumir que la media móvil reduce todo tipo de ruido

Parece razonable porque promediar datos suele ser la receta universal para "limpiar señales". Falla porque el promediado de $M$ muestras solo reduce el ruido en un factor $1/\sqrt{M}$ si los errores de las muestras sucesivas son estadísticamente independientes (no correlacionados). Si el ruido dominante es ruido $1/f$ (flicker noise), derivas térmicas lentas o interferencia periódica de red eléctrica, las muestras están fuertemente autocorrelacionadas y promediar durante más tiempo no mejora la precisión, sino que puede empeorarla (el conocido límite de la varianza de Allan). Se detecta calculando la desviación de Allan en función del tiempo de promediado: cuando la curva deja de caer como $1/\sqrt{\tau}$ y se estabiliza o sube, el promediado deja de ser efectivo. Se corrige empleando técnicas de modulación en frecuencia o detección síncrona (amplificador lock-in) para desplazar la señal fuera de la zona de ruido $1/f$. Mini-ejemplo: promediar durante una hora una señal afectada por deriva térmica de la habitación no reduce el error, sino que incorpora el cambio de temperatura ambiental en el promedio.

Regla rápida de detección

• Antes de promediar: comprueba si el ruido es blanco. Si hay derivas o zumbidos periódicos, la media móvil no te salvará.
• Antes de muestrear: comprueba si tienes un filtro analógico previo. Sin él, el aliasing arruinará tus datos irreversiblemente.

Aplicaciones físicas de Ruido Físico y Filtrado

1. Detección astrofísica de ondas gravitacionales (LIGO y Virgo)

Aparece en los interferómetros láser gigantes al medir deformaciones del espaciotiempo del orden de $h \sim 10^{-21}$ (desplazamientos de espejos menores a la milésima del diámetro de un protón, $\Delta L \sim 10^{-18} \text{ m}$). Se calcula analizando la densidad espectral de ruido cruzado dominada por ruido sísmico a bajas frecuencias ($< 10 \text{ Hz}$), ruido térmico browniano de los recubrimientos dieléctricos de los espejos en frecuencias intermedias ($10 - 100 \text{ Hz}$) y ruido de disparo fotónico (shot noise cuántico) a altas frecuencias ($> 100 \text{ Hz}$). El resultado da la curva de sensibilidad espectral de deformación $S_h(f)$, fijando la distancia máxima a la que pueden detectarse fusiones de agujeros negros y estrellas de neutrones. El error peligroso es incrementar la potencia del láser para reducir el shot noise de detección fotónica sin considerar que la presión de radiación fluctuante de los fotones introduce ruido de retroacción cuántica (quantum back-action radiation pressure noise) que empuja físicamente los espejos a bajas frecuencias. Como control final se inyectan estados comprimidos de luz cuántica (squeezed light) que reducen la incertidumbre en la fase del campo electromagnético a expensas de la amplitud.

2. Microscopía de efecto túnel (STM): límite de ruido en corrientes picoamperimétricas

Aparece en nanotecnología y física de superficies al barrer una punta atómica metálica a distancias sub-nanométricas de una muestra conductora midiendo la corriente de efecto túnel $I_t \sim 100 \text{ pA} - 1 \text{ nA}$. Se calcula considerando que para corrientes continuas de $100 \text{ pA}$, el ruido de disparo de Schottky es $I_{\text{shot}} = \sqrt{2 e I \Delta f} = \sqrt{2 \times (1.6 \times 10^{-19}) \times 10^{-10} \times 1000} \approx 0.18 \text{ pA}$ en un ancho de banda de $1 \text{ kHz}$. El resultado da la relación señal-ruido del lazo de retroalimentación piezoeléctrico, determinando si es posible resolver átomos individuales en la superficie con estabilidad vertical sub-picométrica. El error peligroso es permitir vibraciones mecánicas acústicas de la sala o acoplamientos capacitivos del cable de la punta; un desplazamiento espurio de apenas $0.1 \text{ nm}$ altera la corriente de túnel en un factor de 10 debido a la dependencia exponencial $I_t \propto e^{-2\kappa z}$. Como control final se suspende la cámara de ultra-alto vacío sobre mesas de aislamiento neumático y se filtra la corriente con un ancho de banda que no excite las frecuencias mecánicas de resonancia de la punta ($> 5 \text{ kHz}$).

3. Resonancia Magnética Nuclear (RMN): preamplificadores criogénicos y filtrado en cuadratura

Aparece en química física y medicina al detectar la débil señal de precesión libre inducida por los espines nucleares de protones ($^1\text{H}$) tras pulsos de radiofrecuencia en campos magnéticos de varios teslas. Se calcula modelando la bobina receptora como un circuito resonante $LC$ con resistencia interna $R_{\text{bobina}}$. El ruido dominante es el ruido térmico de Johnson de la propia bobina y del tejido biológico conductor acoplado: $V_n = \sqrt{4 k_B T R \Delta f}$. El resultado da la SNR del espectro de RMN; enfriar la bobina de radiofrecuencia con helio líquido a $T = 20 \text{ K}$ (criopoondas) reduce el ruido térmico en un factor $\sqrt{293/20} \approx 3.8$, cuadruplicando la velocidad de adquisición de espectros moleculares complejos. El error peligroso es utilizar un ancho de banda de detección excesivo o realizar la demodulación sin filtrado paso bajo en cuadratura (canales I/Q), lo que causaría el plegamiento del ruido de la banda lateral opuesta sobre la señal de resonancia (pérdida de $3\text{ dB}$ en la SNR). Como control final se aplica apodización exponencial (windowing) a la señal de decaimiento en el tiempo antes de calcular la transformada rápida de Fourier (FFT).

4. Radiotelescopía: calibración por temperatura de ruido de antena y ecuación de radiometría

Aparece en radioastronomía al observar fuentes cósmicas tenues (como el fondo cósmico de microondas o nubes moleculares de monóxido de carbono a $115 \text{ GHz}$) mediante radiotelescopios parabólicos. Se calcula mediante la ecuación del radiómetro de Dicke: la fluctuación mínima detectable de temperatura de antena es $\Delta T_{\text{rms}} = \frac{T_{\text{sis}}}{\sqrt{\Delta f \cdot \tau}}$, donde $T_{\text{sis}}$ es la temperatura de ruido del sistema (suma de la antena, atmósfera y preamplificador HEMT), $\Delta f$ es el ancho de banda del receptor y $\tau$ es el tiempo de integración. El resultado da la cota de sensibilidad del radiotelescopio para discernir líneas espectrales milimétricas tenues sobre el fondo térmico del receptor. El error peligroso es aumentar el tiempo de integración $\tau$ indefinidamente asumiendo que el ruido decae siempre como $1/\sqrt{\tau}$, ignorando que las derivas de ganancia del receptor y las fluctuaciones del vapor de agua atmosférico introducen ruido $1/f$ que satura la ganancia para $\tau > 10 - 100 \text{ s}$. Como control final se implementa conmutación de haz o modulación Dicke rápida (beam switching) alternando la puntería entre la fuente cósmica y una región vacía del cielo a frecuencias superiores a la rodilla de ruido $1/f$.

5. Física de bajas temperaturas: termometría criogénica de ruido de Johnson

Aparece en criogenia de ultra-baja temperatura (refrigeradores de dilución de $^3\text{He}-^4\text{He}$) para medir temperaturas termodinámicas en el rango de milikelvins ($10 \text{ mK} - 1 \text{ K}$). Se calcula a partir del voltaje de fluctuación cuadrática media de una resistencia pura en equilibrio térmico: $\langle V_n^2 \rangle = 4 k_B T R \Delta f$. El resultado proporciona una escala de temperatura termodinámica primaria absoluta que calibra termómetros secundarios de resistencia de carbón o germanio. El error peligroso es la autocalefacción de la resistencia sensora por la corriente de polarización del circuito de lectura o la captación parásita de señales de radiofrecuencia (RF heating), lo que hace que los electrones de la resistencia se desacoplen térmicamente de la red cristalina de fonones a temperaturas por debajo de $50 \text{ mK}$. Como control final se introducen filtros de polvo de cobre (copper powder filters) y filtros pi en las líneas eléctricas que entran al criostato para bloquear toda radiación electromagnética de microondas por encima de $100 \text{ MHz}$.

Práctica guiada: Ruido Físico y Filtrado Básico

Nivel 1: reconocimiento

Identifica la fuente dominante de ruido físico en cada uno de los siguientes dispositivos de instrumentación:

1. Una resistencia de película metálica de $10 \,\text{M}\Omega$ conectada a la entrada no inversora de un amplificador operacional en circuito abierto.
2. Un fotomultiplicador o fotodiodo de avalancha que detecta un flujo extremadamente tenue de fotones individuales.
3. Un preamplificador de audio de transistores de unión a frecuencias sub-acústicas ($1 - 10 \text{ Hz}$).
4. Un sensor inductivo sin apantallar ubicado junto a un transformador de potencia de $220 \text{ V}$ a $50 \text{ Hz}$.

Solución:

1. Ruido térmico de Johnson-Nyquist (generado por la resistencia ohmica elevada).
2. Ruido de disparo o shot noise de Schottky (originado por la discretización corpuscular de fotones y fotoelectrones en estadística de Poisson).
3. Ruido parpadeo o $1/f$ (flicker noise por fluctuaciones lentas de captura en semiconductores).
4. Ruido de interferencia electromagnética ambiental de línea (no es un ruido intrínseco fundamental, sino captación parásita de red).

Nivel 2: aplicación directa

Un fotodiodo en polarización inversa produce una fotocorriente continua de $I_{\text{DC}} = 5.0 \,\mu\text{A} = 5.0 \times 10^{-6} \text{ A}$. El circuito transimpedancia tiene un ancho de banda de detección de $\Delta f = 100 \text{ kHz} = 10^5 \text{ Hz}$. Calcula la corriente de ruido de disparo eficaz $I_{\text{shot, rms}}$ y el ruido relativo respecto a la señal continua.

Solución:

1. Densidad espectral de ruido de disparo: $S_i = 2 e I_{\text{DC}} = 2 \times (1.602 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (5.0 \times 10^{-6} \text{ A}) = 1.602 \times 10^{-24} \text{ A}^2/\text{Hz}$
2. Corriente eficaz: $I_{\text{shot, rms}} = \sqrt{S_i \Delta f} = \sqrt{1.602 \times 10^{-24} \times 10^5} = \sqrt{1.602 \times 10^{-19}} \approx 4.002 \times 10^{-10} \text{ A} = 0.400 \text{ nA}$
3. Ruido relativo: $\frac{I_{\text{shot, rms}}}{I_{\text{DC}}} = \frac{4.002 \times 10^{-10} \text{ A}}{5.0 \times 10^{-6} \text{ A}} = 8.004 \times 10^{-5} = 0.0080\% \quad (80 \text{ ppm})$

Nivel 3: elección de herramienta

Una señal de electrocardiograma (ECG) presenta dos contaminaciones simultáneas:

• Ruido blanco térmico de alta frecuencia ($> 150 \text{ Hz}$).
• Un tono senoidal puro y persistente de $50 \text{ Hz}$ introducido por inducción de la red eléctrica de la sala. ¿Qué cadena de filtrado analógico o digital debe implementarse para limpiar la señal de ECG (cuya actividad cardíaca útil está entre $0.5 \text{ Hz}$ y $100 \text{ Hz}$)?

Solución: Se requiere una cadena en cascada de dos filtros:

1. Un filtro paso bajo (por ejemplo, Butterworth de 4º orden) con frecuencia de corte $f_c = 100 \text{ Hz}$ para cortar tajantemente el ruido blanco de alta frecuencia por encima de la banda médica útil.
2. Un filtro de muesca o supresor de banda (notch filter) centrado estrictamente en $f_0 = 50.0 \text{ Hz}$ con un factor de calidad alto ($Q \geq 10$) para eliminar quirúrgicamente la interferencia parásita de la red sin mutilar los armónicos adyacentes del complejo QRS cardíaco.

Nivel 4: interpretación física

Se registran $N$ mediciones de una magnitud física constante contaminada con ruido blanco gaussiano de media cero y desviación estándar $\sigma = 10.0 \text{ mV}$. Demuestra matemáticamente cuántas muestras consecutivas independientes deben promediarse para reducir la incertidumbre del valor medio a menos de $0.5 \text{ mV}$.

Solución: El estimador de la media muestral de $N$ observaciones independientes es $\bar{X} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i$. La varianza de la media es: $\operatorname{Var}(\bar{X}) = \frac{1}{N^2} \sum_{i=1}^N \operatorname{Var}(X_i) = \frac{1}{N^2} (N \sigma^2) = \frac{\sigma^2}{N}$ Por tanto, la desviación estándar del promedio (error estándar) es: $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ Imponiendo la condición física $\sigma_{\bar{X}} \leq 0.5 \text{ mV}$: $\frac{10.0}{\sqrt{N}} \leq 0.5 \implies \sqrt{N} \geq \frac{10.0}{0.5} = 20 \implies N \geq 20^2 = 400$ Interpretación física: Para mejorar la precisión de una medición ruidosa en un factor 20 (de $10$ a $0.5\text{ mV}$), es estrictamente necesario promediar $400$ muestras independientes. El retorno en precisión decrece con la raíz cuadrada del número de observaciones.

Nivel 5: error intencionado

Un estudiante digitaliza una señal analógica senoidal de $f_0 = 800 \text{ Hz}$ que contiene además un ruido armónico de alta frecuencia de $f_{\text{ruido}} = 4500 \text{ Hz}$. Para capturar los datos utiliza una tarjeta ADC configurada a una frecuencia de muestreo de $f_s = 5000 \text{ Hz}$ ($5 \text{ kS/s}$). El estudiante afirma: "Como $f_s = 5000 \text{ Hz}$ es mucho mayor que mi señal útil de $800 \text{ Hz}$, cumplo el criterio de Nyquist para la señal. Luego, en la computadora, aplicaré un filtro digital paso bajo con corte en $1000 \text{ Hz}$ para suprimir el ruido de $4500 \text{ Hz}$". Demuestra por qué este procedimiento fracasa completamente.

Fallo conceptual: El criterio de Nyquist-Shannon establece que la frecuencia de muestreo $f_s$ debe superar el doble de la frecuencia máxima de todo el contenido espectral que entra al convertidor, incluyendo el ruido: $f_s \geq 2 f_{\text{máx}}$. La frecuencia de Nyquist del sistema es $f_{\text{Nyquist}} = f_s / 2 = 5000 / 2 = 2500 \text{ Hz}$. Dado que el ruido de $4500 \text{ Hz}$ supera los $2500 \text{ Hz}$, se produce un repliegue espectral irreversible (aliasing): $f_{\text{alias}} = |f_{\text{ruido}} - f_s| = |4500 - 5000| = 500 \text{ Hz}$ El ruido de $4500 \text{ Hz}$ se transforma tras el muestreo en un tono fantasma real de $500 \text{ Hz}$. Como $500 \text{ Hz}$ cae de lleno dentro de la banda de paso del filtro digital ($< 1000 \text{ Hz}$), el filtro digital será totalmente incapaz de eliminarlo, contaminando la señal útil de forma permanente. Solución obligatoria: Colocar un filtro anti-aliasing analógico antes del ADC para eliminar el componente de $4500 \text{ Hz}$ antes de la conversión analógica a digital.