Ecuaciones de Friedmann

Relaciona expansión cósmica, densidad, curvatura y constante cosmológica.

Contexto conceptual

Las ecuaciones de Friedmann son el tablero de mandos de la cosmología homogénea: no describen una galaxia concreta, sino el cambio global del tamaño medio del universo. La variable central es el $a$, que indica cómo crecen o decrecen todas las distancias comóviles. Su ritmo se resume en el $H$, mientras que la $\rho$, la $k$ y la $\Lambda$ actúan como ingredientes que empujan, frenan o reconfiguran la expansión. La pregunta física no es solo cuánto se expande el universo, sino qué parte de ese ritmo procede del contenido material, qué parte de la geometría y qué parte del término cosmológico.

🟢 Nivel esencial

Imagina el universo como una red de distancias que se estira de forma parecida en todas las direcciones.

El $a$ mide el tamaño relativo de esa red, y la $a_dot$ dice si ese tamaño cambia deprisa o despacio. El $H$ no es una velocidad ordinaria de una galaxia, sino la rapidez proporcional con la que cambia el propio $a$. La $\rho$ aporta gravedad atractiva, la $k$ modifica la geometría disponible y la $\Lambda$ puede actuar como un impulso acelerador a gran escala. Por eso dos universos con el mismo tamaño actual pueden expandirse de forma distinta si cambian su contenido o su geometría. La lectura esencial es causal: el ritmo de expansión es una respuesta global a densidad, curvatura y término cosmológico.

Alexander Friedmann derivó estas ecuaciones en 1922 directamente de las ecuaciones de campo de Einstein, varios años antes de que Edwin Hubble confirmara observacionalmente la expansión en 1929. Hoy las mediciones sugieren que la $\Lambda$ domina el balance actual, con $\Omega_{Lambda}$ cercano a 0,7, mientras que la materia ordinaria y oscura suman aproximadamente el resto.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

Formalmente se trabaja con un tiempo cósmico común para observadores comóviles y con un $a$ positivo. La definición básica del ritmo fraccional de expansión es:

Definición del parámetro de Hubble

Esta relación conecta $H$, $a_dot$ y $a$. La primera ecuación de Friedmann determina el cuadrado del ritmo de expansión a partir de la $\rho$, la $k$, la $c$, la $G$ y la $\Lambda$:

Primera ecuación de Friedmann

Preguntas reales del alumno

¿El $H$ es constante? No necesariamente. Puede cambiar con el tiempo aunque se llame parámetro de Hubble; su valor depende de la época y del contenido dominante.

¿La $k$ es una fuerza? No. Es una propiedad geométrica del espacio en el modelo FLRW, no una interacción que empuje objetos.

¿Por qué aparece la $p$ si hablamos del universo entero? Porque en relatividad general la presión contribuye a la gravedad; no es solo una fuerza sobre paredes.

¿La $\Lambda$ es lo mismo que $\Omega_{Lambda}$? No. $\Lambda$ es una magnitud dimensional; $\Omega_{Lambda}$ es su contribución normalizada frente a $\rho_{crit}$.

Síntesis final

Las ecuaciones de Friedmann convierten la pregunta “¿de qué está hecho el universo?” en una predicción sobre “cómo cambia su tamaño”. Densidad, curvatura y $\Lambda$ no son adornos: son los engranajes que fijan el ritmo cósmico.