Aproximación WKB

Aproximación semiclásica para ondas cuánticas en potenciales lentamente variables.

Contexto conceptual

La aproximación WKB aparece cuando una onda cuántica se mueve en un paisaje de $V$ que cambia despacio con la $x$. En lugar de resolver exactamente toda la ecuación de Schrödinger, se lee la onda como una oscilación local: donde $E$ supera a $V$, la fase avanza; donde $V$ supera a $E$, la amplitud se apaga. La pregunta central es cómo ese apagado controla la $T$ cuando aumenta el $L$. WKB convierte una barrera en una deuda de acción: cada tramo prohibido suma coste, y la transmisión lo paga de forma exponencial.

🟢 Nivel esencial

La idea esencial es que una partícula cuántica no se detiene de golpe ante una barrera. Si la región prohibida es estrecha, la onda conserva una cola apreciable al otro lado.

Si el $L$ crece, esa cola se reduce mucho más deprisa que de manera lineal. WKB estima esa reducción acumulando una medida local de dificultad a lo largo de la barrera. Esa acumulación produce el $\gamma$, y de él sale la $T$. Por eso el gráfico típico no muestra una caída suave cualquiera: muestra una caída exponencial. Una barrera dos veces más ancha no suele transmitir la mitad, sino muchísimo menos, si las demás magnitudes permanecen fijas. La anchura funciona como una lupa del coste cuántico acumulado en la onda.

George Gamow usó esta misma idea en 1928 para explicar la desintegración alfa: un núcleo pesado retiene sus partículas alfa tras una barrera de potencial, y es precisamente el túnel WKB el que predice, con notable precisión, por qué unos núcleos se desintegran en microsegundos y otros tardan miles de millones de años.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

En la región permitida, donde $E$ es mayor que $V$, la oscilación local de la función de onda se resume mediante $k_local$.

Número de onda local en región permitida

En la región prohibida, donde $V$ es mayor que $E$, la cantidad central pasa a ser $\kappa$, que mide la atenuación por unidad de $x$.

Coeficiente de decaimiento en región prohibida

Preguntas reales del alumno

¿Por qué se habla de túnel si la partícula no abre un agujero? Porque la función de onda tiene amplitud evanescente dentro de la zona prohibida y puede reaparecer al otro lado.

¿La partícula pierde $E$ dentro de la barrera? No en el modelo estacionario: cambia la forma espacial de la onda, no la energía del estado.

¿Por qué importa tanto $\hbar$? Porque convierte acción en fase y hace que el coste prohibido sea adimensional.

¿WKB siempre mejora cuando la barrera es ancha? No necesariamente. Ayuda que el cambio sea lento, pero una barrera ancha con puntos de retorno mal tratados exige conexiones más cuidadosas.

Síntesis final

WKB traduce una barrera cuántica en coste semiclásico acumulado. Al crecer $L$, aumenta $\gamma$ y la $T$ cae exponencialmente. La respuesta correcta no es solo calcular: es leer escalas, validez y sentido físico.