Dispersión cuántica

Probabilidad angular, secciones eficaces y amplitud de dispersión en mecánica cuántica.

Contexto conceptual

La dispersión cuántica estudia qué ocurre cuando una onda de materia llega a un centro que la desvía. No pregunta solo por la trayectoria, porque en mecánica cuántica la información sale como patrón angular de detecciones. La pieza clave es la $f(\theta )$: una cantidad compleja que reúne fase e intensidad de la onda desviada. Al cambiar el $\theta$, cambia qué parte del $V(r)$ se está sondeando y, por tanto, cambia la $d\sigma /d\Omega$. Esta magnitud traduce el patrón de ondas en un área efectiva observable por unidad de $\Omega$.

🟢 Nivel esencial

Imagina un haz de partículas idénticas que entra siempre igual y un detector que se mueve alrededor del blanco.

En cada dirección el detector no mide una trayectoria única, sino una tasa relativa de impactos. La $f(\theta )$ dice cuánta onda sale hacia ese $\theta$ y con qué fase. La $d\sigma /d\Omega$ toma esa información y la convierte en una lectura experimental: cuánta área efectiva presenta el blanco para enviar partículas a una pequeña ventana de $\Omega$. Si la $f(\theta )$ crece en una dirección, llegan más partículas allí. Si se anula, aparece un mínimo angular. La $\sigma$ resume todo el patrón, pero pierde el detalle direccional que revela la forma del $V(r)$. Por eso la dirección importa tanto como la cantidad total detectada.

El experimento de Geiger y Marsden de 1911, dirigido por Ernest Rutherford, es el ejemplo histórico fundacional: al bombardear una lámina de oro con partículas alfa, la mayoría atravesó casi sin desviarse, pero una fracción diminuta rebotó a ángulos grandes. Esa $d\sigma /d\Omega$ anómala reveló que la carga positiva del átomo estaba concentrada en un núcleo minúsculo, no repartida uniformemente como proponía el modelo anterior de Thomson.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

El observable angular básico es la $d\sigma /d\Omega$, definida por el cuadrado del $|f(\theta )|$ de la $f(\theta )$. Esta relación separa dos niveles: la amplitud contiene fase, interferencia y estructura de onda; el observable solo conserva intensidad por dirección.

Sección eficaz diferencial

Para obtener la respuesta global se integra la $d\sigma /d\Omega$ sobre el $\Omega$ permitido. Así se obtiene la $\sigma$, útil cuando el detector no distingue direcciones.

Sección eficaz total

La escala de onda incidente se fija mediante el $k$, relacionado con la $E$, la $m$ y la $\hbar$.

Número de onda incidente

Preguntas reales del alumno

¿Por qué no se mide directamente la $f(\theta )$? Porque los detectores cuentan partículas. La fase de la $f(\theta )$ influye en interferencias, pero una tasa angular aislada da la $d\sigma /d\Omega$.

¿La $\sigma$ es un área real del objeto? No necesariamente. Es un área efectiva: cuantifica probabilidad de dispersión, no el tamaño geométrico visible.

¿Qué cambia al variar $E$? Cambia $k$, cambia la resolución espacial y se modifica cómo el haz explora el $V(r)$.

¿Por qué importa el $\Omega$? Porque un detector tiene apertura finita. La $P(\Omega )$ no depende solo del valor puntual, sino de la ventana angular capturada.

Síntesis final

La dispersión cuántica convierte ondas invisibles en mapas angulares medibles. La $f(\theta )$ contiene la historia ondulatoria; la $d\sigma /d\Omega$ muestra dónde aparece esa historia en el detector. Cambiar $\theta$ equivale a interrogar otra escala del $V(r)$.