Ensamble microcanónico

Describe sistemas aislados con energía, volumen y número de partículas fijos.

Contexto conceptual

El ensamble microcanónico describe el ideal de un sistema completamente aislado. Su $E$, su $V$ y su $N$ permanecen fijados, pero el estado microscópico puede recorrer todas las configuraciones compatibles con esas restricciones. La pregunta central no es qué trayectoria sigue cada partícula, sino cuántas configuraciones distintas producen el mismo aspecto macroscópico. Esa multiplicidad se resume mediante $\Omega$ y se traduce en $S$ con ayuda de $k_B$. Al observar cómo cambia esa multiplicidad cuando varía la $E$, aparecen también la $T$ y la $C_V$. La curva de entropía frente a energía funciona así como un mapa compacto del comportamiento térmico de un sistema aislado.

🟢 Nivel esencial

Imagina una caja perfectamente aislada que contiene muchas partículas. Desde fuera solo conoces su $E$ total, pero dentro existen innumerables maneras de repartir posiciones y movimientos.

Cada reparto compatible es un microestado. $\Omega$ cuenta esas posibilidades, mientras $S$ expresa su abundancia en una escala logarítmica gracias a $k_B$. Cuando la $E$ disponible aumenta, suelen abrirse nuevas configuraciones y la entropía crece. Sin embargo, lo importante no es solo cuánto crece, sino con qué rapidez. Esa rapidez determina la $T$ microcanónica. Si cambia la inclinación de la curva de entropía, cambia también la respuesta térmica, descrita por $C_V$. El ensamble convierte una multitud microscópica invisible en una lectura macroscópica de equilibrio. La idea decisiva es que cada punto macroscópico representa una familia completa de posibilidades internas, no una única configuración privilegiada.

La relación entre $S$ y $\Omega$, en su forma logarítmica clásica, está grabada sobre la lápida de Ludwig Boltzmann en el cementerio central de Viena. Boltzmann la desarrolló en la década de 1870, aunque fue Max Planck quien más tarde le dio la notación con la constante $k_B$ que usamos hoy.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

El macroestado queda especificado por $E$, $V$ y $N$ fijos. Bajo la hipótesis de equiprobabilidad, todos los microestados accesibles tienen el mismo peso. La relación fundamental entre multiplicidad y $S$ es:

Entropía microcanónica de Boltzmann

Aquí $\Omega$ debe ser positiva y adimensional, mientras $k_B$ aporta las unidades de J/K. La dependencia energética de la entropía permite definir la $T$ sin introducir un baño térmico:

Temperatura microcanónica

Preguntas reales del alumno

¿Por qué fijar la $E$ si queremos estudiar cómo varía? Cada punto de la curva corresponde a un ensamble distinto con una energía fija. La variación compara esos macroestados.

¿La densidad de estados y $\Omega$ son lo mismo? No exactamente. La densidad cuenta estados por intervalo energético; la multiplicidad integra o normaliza ese conteo.

¿Una $T$ negativa viola la termodinámica? No, siempre que el espectro esté acotado y la entropía disminuya en una región de alta energía.

¿Puede ser negativa la $C_V$? Sí en ciertos sistemas microcanónicos no aditivos. En el ensamble canónico estable, esa rama suele quedar excluida.

¿La entropía depende del tamaño de la ventana energética? Puede cambiar por una constante aditiva o por correcciones finitas; las derivadas físicas deben tratarse con una convención coherente.

Síntesis final

El ensamble microcanónico traduce la densidad de estados en $S$, y la geometría de esa función en $T$ y $C_V$. Su potencia está en describir sistemas aislados desde restricciones exactas, revelando comportamientos que otros ensambles pueden ocultar.