Distribución de velocidades

Distribución Maxwell-Boltzmann de velocidades moleculares en gases ideales.

Contexto conceptual

Un gas ideal no tiene todas sus moléculas moviéndose igual. Aunque el sistema tenga una sola $T$, cada partícula posee una $v$ distinta por los choques microscópicos. La distribución de Maxwell-Boltzmann describe ese reparto: muchas moléculas aparecen cerca de una rapidez típica, pocas son muy lentas y pocas son muy rápidas. La pregunta central no es qué molécula concreta corre más, sino cómo la $T$ organiza estadísticamente el conjunto. Por eso la gráfica de $f_v$ frente a $v$ funciona como un mapa de población molecular.

🟢 Nivel esencial

La $T$ mide cuánta agitación microscópica posee el gas. Cuando aumenta, la nube de $v$ molecular se desplaza hacia valores mayores y se ensancha: hay más moléculas rápidas, pero siguen existiendo moléculas lentas. Cuando disminuye, la distribución se concentra cerca de velocidades menores. La $m$ también importa: a la misma $T$, partículas más ligeras se reparten hacia velocidades más altas, porque la misma escala de energía térmica produce más rapidez en una masa menor.

La $f_v$ no es una cantidad de moléculas, sino una densidad: la probabilidad real se obtiene mirando un intervalo de $v$. Por eso el área bajo un tramo de la curva indica una $P$, mientras que la altura solo dice qué velocidades son relativamente más frecuentes.

Maxwell derivó esta distribución en 1860 a partir de argumentos de simetría e independencia estadística, décadas antes de que existiera evidencia experimental directa del movimiento molecular individual. Boltzmann la generalizó después a sistemas con energía potencial, dando lugar al factor de Boltzmann que aparece en toda la física estadística moderna.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

El modelo usa la distribución de Maxwell-Boltzmann para la rapidez molecular, donde la variable horizontal es $v$ y la variable vertical es $f_v$. La forma de la curva depende de $T$, $m$ y $k_B$.

Distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann

A partir de esa curva se definen tres escalas características. La $v_p$ localiza el máximo de $f_v$; la $v_{media}$ representa el promedio de la rapidez; y la $v_{rms}$ pondera más las moléculas rápidas porque usa el cuadrado de la rapidez.

Velocidad más probable

Velocidad media

Velocidad cuadrática media

Preguntas reales del alumno

¿Por qué la curva empieza en cero si puede haber moléculas muy lentas? Porque la probabilidad de rapidez exactamente nula es despreciable en tres dimensiones; lo relevante es un intervalo pequeño de $v$.

¿La $v_p$ es la misma que la $v_{media}$? No. La cola de moléculas rápidas empuja la $v_{media}$ por encima del máximo local.

¿Subir la $T$ hace que todas las moléculas aceleren igual? No. Cambia la distribución completa: algunas siguen lentas y otras se vuelven mucho más rápidas.

¿Qué mide la $f_v$? Mide probabilidad por unidad de rapidez; una probabilidad real necesita un intervalo.

Síntesis final

La $T$ no asigna una única rapidez al gas: moldea una distribución. Maxwell-Boltzmann permite leer velocidades típicas, energía media y probabilidades de intervalo sin perder la naturaleza estadística del movimiento molecular.