Fluctuaciones y respuesta

Relaciona fluctuaciones de equilibrio con susceptibilidades y respuestas lineales del sistema.

Contexto conceptual

En equilibrio, un sistema no permanece inmóvil a escala microscópica. Sus observables cambian continuamente alrededor de valores medios, incluso cuando las variables macroscópicas parecen constantes. Esas variaciones contienen información física: revelan qué tan fácil es desplazar el sistema mediante una perturbación externa débil. La $\sigma_A^2$ resume la amplitud de las fluctuaciones, mientras la $\chi$ mide la respuesta lineal al $h$. La conexión entre ambas no es casual. Surge porque los mismos grados de libertad que fluctúan espontáneamente son los que responden cuando se aplica un campo. La $T$, codificada mediante $\beta$, establece la escala entre ruido de equilibrio y sensibilidad.

🟢 Nivel esencial

Un sistema en equilibrio no está microscópicamente quieto. El valor instantáneo de un observable oscila alrededor de su $\langle A\rangle$, y la $\sigma_A^2$ mide la intensidad de esas oscilaciones.

Si las fluctuaciones son grandes, el sistema suele ser fácil de desplazar con un $h$ débil, por lo que su $\chi$ también es grande. Esta conexión permite predecir una respuesta sin forzar mucho el sistema: basta observar su comportamiento espontáneo. $\beta$ introduce la escala térmica, de modo que la misma varianza puede corresponder a respuestas distintas a diferentes $T$. Así, el ruido de equilibrio deja de ser un estorbo y se convierte en una sonda del comportamiento macroscópico. Esta lectura es el punto de partida de la teoría de respuesta lineal: el mismo mecanismo que genera fluctuaciones espontáneas también gobierna la respuesta inducida.

Un ejemplo histórico concreto es el ruido térmico de Johnson-Nyquist: en 1928, John B. Johnson midió experimentalmente el voltaje que fluctúa espontáneamente en una resistencia por agitación térmica de los electrones, y Harry Nyquist explicó ese mismo año, mediante argumentos de mecánica estadística, que la intensidad de ese ruido está fijada por la $T$ y la resistencia eléctrica del propio conductor.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

La dispersión de un observable se define mediante su $\langle A^2\rangle$ y su $\langle A\rangle$:

Varianza de un observable

La cantidad resultante es $\sigma_A^2$, siempre no negativa y con unidades del observable al cuadrado. En equilibrio canónico, la respuesta estática al campo conjugado se vincula con esa dispersión:

Relación entre susceptibilidad y fluctuación

Preguntas reales del alumno

¿La fluctuación es lo mismo que el error experimental? No. El error pertenece a la medición; la fluctuación puede ser una propiedad física del equilibrio.

¿Por qué la varianza nunca es negativa? Porque promedia cuadrados de desviaciones respecto de la media.

¿Una $\chi$ grande implica inestabilidad? No siempre, pero puede indicar cercanía a una transición o una respuesta muy sensible.

¿Se puede usar la relación energética en un sistema aislado? No directamente. La fórmula con $\sigma_E^2$ supone fluctuaciones canónicas.

¿Qué ocurre si el campo es grande? La respuesta deja de ser lineal y aparecen saturación, curvatura o histéresis.

Síntesis final

Las fluctuaciones de equilibrio revelan la sensibilidad del sistema. Su varianza, escalada por $\beta$, determina la $\chi$ y permite predecir la respuesta lineal antes de perturbar intensamente el sistema.

La coherencia entre fluctuación, respuesta, ensamble y escala térmica debe preservarse en toda interpretación física. Esto significa comprobar que se usan el mismo observable, el mismo campo conjugado y la misma temperatura al comparar varianza y susceptibilidad. Cuando se cumplen estas condiciones, el ruido de equilibrio se convierte en un predictor fiable de la respuesta inducida.