Mhs

Ecuación diferencial y soluciones analíticas del movimiento armónico simple en péndulos y resortes.

Idea general del tema

El movimiento armónico simple es el modelo básico de oscilación: la fuerza recuperadora es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario, F = −kx. De ahí resulta una aceleración proporcional a la posición y una solución sinusoidal, x = A cos(ωt + φ), con ω = √(k/m).

El tema escribe la ecuación del movimiento y su solución, analiza el intercambio entre energía cinética y potencial, cuya suma es constante e igual a ½kA², y explica la fase, que determina en qué punto del ciclo se empieza.

Qué vas a comprender de verdad

Al terminar sabrás deducir posición, velocidad y aceleración en función del tiempo, calcular la amplitud y la fase a partir de las condiciones iniciales y obtener la velocidad en cualquier punto con la energía.

También sabrás relacionar el movimiento armónico con la proyección de un movimiento circular uniforme.

Ruta didáctica recomendada

1. Ecuación movimiento: ecuación diferencial x'' + ω²x = 0, solución, periodo y frecuencia.
2. Energía en mhs: energías cinética y potencial a lo largo del ciclo y conservación de la energía total.
3. Fase: constante de fase, condiciones iniciales y comparación entre movimientos desfasados.

Criterio físico que debes adquirir

El criterio esencial es que el periodo no depende de la amplitud: depende solo de k y m. La velocidad máxima es Aω y se alcanza en el equilibrio, y la aceleración máxima es Aω² en los extremos. Para comprobar, la energía total ½kA² debe coincidir con ½mv²máx.

Conexión con problemas reales

• resortes y suspensiones.
• relojes y cronómetros.
• ondas y sonido.
• circuitos oscilantes.

Objetivo final del tema

El objetivo final es describir con seguridad cualquier movimiento armónico simple y obtener posición, velocidad, aceleración y energía en cada instante.