Cuerdas

Modos estacionarios de una cuerda tensa con extremos fijos. Teoría, fórmulas, ejemplos resueltos y gráficas interactivas.

Contexto conceptual

Una cuerda tensa es el ejemplo clásico más limpio de onda estacionaria mecánica. La perturbación se mueve transversalmente, pero la energía viaja inicialmente a lo largo de la cuerda como dos ondas viajeras opuestas. Cuando los extremos están fijos, esas ondas se reflejan y solo algunos patrones quedan reforzados de forma estable. El resultado visible no es una onda que avance, sino una forma que vibra con nodos fijos y vientres alternos.

Este leaf se centra en la cuerda como sistema físico concreto, no solo en la condición geométrica general. Aquí importan tres decisiones reales: la longitud vibrante $L$, la tensión $T$ y la densidad lineal $\mu$. Con ellas se determina la velocidad de propagación $v$ y, después, la frecuencia modal $f_n$ de cada número de modo $n$.

🟢 Nivel esencial

Una cuerda fija por sus extremos no puede adoptar cualquier forma estacionaria. Los extremos deben permanecer en reposo, de modo que actúan como nodos. Entre ellos solo encajan patrones donde aparece un número entero de vientres. Por eso $n$ no es una etiqueta decorativa: cuenta una forma posible de vibración.

La idea esencial es que la cuerda combina geometría y mecánica. La geometría decide cuántas ondas caben mediante $L$ y $\lambda_n$. La mecánica decide lo rápido que esas ondas viajan mediante $T$ y $\mu$. Si la cuerda se tensa más, la perturbación se comunica antes. Si la cuerda es más pesada por metro, responde con más inercia.

Al afinar una guitarra, cada clavija cambia $T$: más tensión eleva la nota. Al pisar un traste, en cambio, se acorta $L$: menos longitud vibrante también eleva la nota. Ambas acciones mueven la misma frecuencia por caminos físicos distintos, y es fácil confundirlas si solo se mira el resultado sonoro.

[!NOTE] La cuerda estacionaria no está "quieta". Lo que permanece fijo es el patrón espacial de nodos y vientres.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

El primer paso formal consiste en obtener la rapidez de las ondas transversales que recorren la cuerda. En el modelo ideal, esa rapidez depende de la tracción longitudinal y de la masa por unidad de longitud.

Velocidad en cuerda tensa

Esta relación no dice que la tensión se convierta en velocidad por simple proporcionalidad directa. La raíz expresa un balance entre una acción que transmite fuerza, $T$, y una inercia distribuida, $\mu$. Por eso subir mucho la tensión produce un aumento moderado de $v$, mientras que usar una cuerda más densa reduce la rapidez.

Preguntas reales del alumno

¿Por qué los extremos son nodos? Porque un extremo fijo no puede desplazarse transversalmente. La cuerda puede tirar del soporte, pero el punto de contacto ideal no acompaña la oscilación.

¿El modo $n$ significa número de nodos? En una cuerda fija-fija ideal, $n$ cuenta vientres. Los nodos incluyen los extremos y los nodos internos, por eso no conviene identificar sin matiz ambos conteos.

¿Por qué una cuerda más tensa suena más aguda? Porque mayor $T$ aumenta $v$, y una perturbación que recorre antes el mismo patrón produce mayor $f_n$.

¿Por qué una cuerda más gruesa suena más grave? Porque mayor $\mu$ aporta más inercia por metro. La perturbación se propaga más despacio y las frecuencias propias bajan.

Síntesis final

Una cuerda estacionaria fija sus modos por geometría y sus frecuencias por mecánica. $L$ y $n$ seleccionan la forma; $T$ y $\mu$ determinan $v$; juntas, esas magnitudes producen $f_n$ y explican por qué solo ciertas frecuencias destacan como modos estables.