Delta de Dirac y distribuciones

Función delta de Dirac, impulsos puntuales, propiedades de muestreo y teoría elemental de distribuciones.

Que es

La delta de Dirac, denotada por $\delta(x)$, es un objeto matemático perteneciente a la teoría de distribuciones o funciones generalizadas (introducida por Paul Dirac y formalizada rigurosamente por Laurent Schwartz). Intuitivamente, se describe como una "función" que se anula en todas partes excepto en el origen, donde se hace infinitamente alta y estrecha, de tal modo que su integral sobre toda la recta real es exactamente la unidad: $\delta(x) = 0 \quad \text{para } x \neq 0, \qquad \int_{-\infty}^\infty \delta(x) dx = 1$ Rigurosamente, la delta de Dirac no es una función ordinaria, sino un funcional lineal continuo que actúa sobre un espacio de funciones de prueba suaves $\phi(x) \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ mediante la propiedad fundamental de muestreo o sifting: $\langle \delta, \phi \rangle = \int_{-\infty}^\infty \delta(x - x_0) \phi(x) dx = \phi(x_0)$

Por qué aparece en física

Aparece en física porque la modelización de fenómenos macroscópicos a menudo involucra concentraciones extremas de magnitudes físicas en volúmenes o intervalos temporales tan diminutos que tratarlos como puntuales o instantáneos simplifica extraordinariamente el problema sin perder precisión física:

• Una carga eléctrica puntual $q$ localizada en $\mathbf{r}_0$ tiene una densidad espacial de carga dada por $\rho(\mathbf{r}) = q \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_0)$.
• Una masa puntual $m$ en gravedad newtoniana: $\rho_m(\mathbf{r}) = m \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_0)$.
• Un impacto mecánico repentino (como el golpe de un martillo o el disparo de un cañón) que transfiere un momento lineal finito $\Delta p$ en un tiempo infinitesimal $\Delta t \to 0$: $F(t) = \Delta p \cdot \delta(t - t_0)$.
• En teoría de campos y electromagnetismo, es indispensable para formular las funciones de Green de operadores diferenciales como el laplaciano: $\nabla^2 \left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right) = -4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')$.

Idea visual o geométrica

Imagina una secuencia de funciones ordinarias gaussianas o rectangulares normalizadas a área unidad que se vuelven progresivamente más altas y más estrechas: $f_\epsilon(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \epsilon^2}} e^{-\frac{x^2}{2\epsilon^2}}$ A medida que la desviación estándar $\epsilon \to 0$, la campana se comprime hacia una aguja infinitamente esbelta en $x=0$, conservando siempre una superficie encerrada de valor 1.

La delta de Dirac es el límite distribucional de esta familia de funciones. Cuando se multiplica esta aguja por cualquier función suave $\phi(x)$ y se integra, la aguja "muestrea" o "pesca" exclusivamente el valor de $\phi(x)$ en el punto donde está anclada la aguja, ignorando el resto de la función.

Lenguaje simbólico mínimo

• Propiedad de muestreo básica: $\int_{-\infty}^\infty f(x) \delta(x - a) dx = f(a)$.
• Relación con el escalón de Heaviside: $\frac{d}{dx} \theta(x) = \delta(x)$, donde $\theta(x) = 1$ para $x > 0$ y $0$ para $x < 0$.
• Escalamiento del argumento: $\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \delta(x)$ para $a \neq 0$.
• Delta de una función: $\delta(g(x)) = \sum_k \frac{\delta(x - x_k)}{|g'(x_k)|}$, donde los $x_k$ son las raíces simples de $g(x)$ ($g(x_k) = 0, g'(x_k) \neq 0$).
• Derivada de la delta: $\int_{-\infty}^\infty f(x) \delta'(x - a) dx = -f'(a)$.
• Transformada de Fourier: $\mathcal{F}\{\delta(t - t_0)\} = e^{-i \omega t_0}$, con el caso dual $\mathcal{F}\{1\} = 2\pi \delta(\omega)$.
• Representación integral: $\delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{i k x} dk$.
• Delta tridimensional en coordenadas esféricas: $\delta(\mathbf{r}) = \frac{\delta(r)}{4\pi r^2}$.

Que significa el resultado

Al obtener una delta de Dirac como resultado de un cálculo físico, el significado es la localización espacial o temporal estricta de una magnitud extensiva. En electrostática, que la densidad de carga contenga una delta $\delta(x - x_0)$ significa que existe una capa superficial o un hilo de carga infinitamente delgado en esa coordenada, lo que provoca una discontinuidad de salto en el campo eléctrico según la ley de Gauss: $\Delta E = \sigma / \epsilon_0$.

En el dominio de la frecuencia, que la transformada de Fourier de una señal contenga una delta de Dirac $\delta(\omega - \omega_0)$ indica que la señal contiene un tono puro perfectamente monocromático y persistente en el tiempo: una sinusoide infinita $\cos(\omega_0 t)$ cuya energía espectral se concentra con ancho de banda cero en esa frecuencia exacta.

Cuando no debes usarlo

No debes multiplicar deltas de Dirac entre sí: expresiones como $\delta(x)^2$ o $\delta(x) \cdot \delta(x)$ no están definidas en la teoría matemática de distribuciones de Schwartz y conducen a divergencias incontrolables y sinsentidos físicos (un problema clásico que requirió renormalización en teoría cuántica de campos).

Tampoco debes evaluar el producto de una delta con una función discontinua en el punto de localización de la delta: la expresión $\int \theta(x) \delta(x) dx$ es matemáticamente ambigua a menos que se defina explícitamente el valor del escalón en el origen o se use una regularización simétrica.

Resumen operativo

Aplica la propiedad de muestreo sustituyendo la variable muda de integración por el punto donde se anula el argumento de la delta: $\int f(x) \delta(x - x_0) dx = f(x_0)$, verificando que el intervalo de integración incluya a $x_0$. Si el argumento es compuesto $\delta(a x + b)$, aplica el factor de escala $\frac{1}{|a|}$. Para derivadas de la delta, transfiere la derivada a la función de prueba con cambio de signo: $\int f(x) \delta'(x) dx = -f'(0)$.

Procedimiento

Antes de calcular

Verifica los límites de integración de la expresión que contiene a la delta de Dirac: si el punto singular $x_0$ cae fuera del intervalo $[a, b]$, la integral es idénticamente cero.

Si el punto singular cae exactamente sobre uno de los extremos de integración, revisa la definición del problema o adopta la convención simétrica estándar asignando un peso de $1/2$.

Paso 1: identifica el objeto matemático

Determina el argumento de la delta de Dirac:

• Si es lineal simple $\delta(x - x_0)$, el punto de muestreo es $x_0$.
• Si tiene factor de escala $\delta(a x - b)$, factoriza el coeficiente: $\delta(a(x - b/a)) = \frac{1}{|a|} \delta(x - b/a)$.
• Si es una función no lineal $\delta(g(x))$, halla todas las raíces reales $x_k$ donde $g(x_k) = 0$ y calcula las derivadas $|g'(x_k)|$.

Paso 2: elige la operación

Si la delta está multiplicada por una función continua bajo una integral: Aplica la propiedad de muestreo: $\int_a^b f(x) \delta(x - x_0) dx = f(x_0)$ (si $a < x_0 < b$).

Si aparece la derivada de la delta $\delta'(x - x_0)$: Aplica integración por partes distribucional: $\int f(x) \delta'(x - x_0) dx = -f'(x_0)$.

Paso 3: conserva unidades y signos

Recuerda que la delta de Dirac tiene unidades físicas inversas a las de su argumento: si $x$ se mide en metros, $\delta(x)$ tiene unidades de $\text{m}^{-1}$, de modo que $\int \delta(x) dx$ sea adimensional.

Presta especial atención al valor absoluto en el escalamiento: $\delta(-2x) = \frac{1}{|-2|} \delta(x) = +\frac{1}{2} \delta(x)$; la delta nunca adquiere signo negativo global por simetría de paridad ($\delta(-x) = \delta(x)$).

Paso 4: calcula

Sustituye el valor evaluado $f(x_0)$ en la expresión.

Si tienes una delta compuesta $\delta(x^2 - a^2)$, aplica la fórmula de descomposición en raíces simples: $\delta(x^2 - a^2) = \frac{\delta(x - a) + \delta(x + a)}{2|a|}$.

Paso 5: interpreta el resultado

Verifica la dimensionalidad física del resultado obtenido tras evaluar la integral.

Comprueba que el resultado reproduzca el valor esperado en el punto singular y que mantenga el significado físico de cantidad total conservada (carga total, momento total o impulso transferido).

Checklist de autocontrol

• ¿El punto donde se anula el argumento de la delta estaba dentro del intervalo de integración?
• ¿Incluiste el valor absoluto al dividir por el coeficiente de escala $|a|$?
• ¿Cambiaste el signo al evaluar la derivada de la delta: $\int f \delta' = -f'$?
• ¿Comprobaste que la unidad de $\delta(x)$ sea $[x]^{-1}$?

Ejemplo guiado

Situación física

Un bate de béisbol golpea una pelota de masa $m = 0.145\text{ kg}$ en el instante $t_0 = 0.5\text{ s}$. La fuerza ejercida se modela de forma idealizada como un impulso instantáneo: $F(t) = J_0 \delta(t - t_0)$, donde el impulso total transferido es $J_0 = 6.0\text{ N}\cdot\text{s}$. La pelota estaba inicialmente en reposo ($v(0) = 0$). Se desea calcular la velocidad $v(t)$ de la pelota para todo $t > 0$ y su energía cinética tras el impacto.

Traducción matemática

La segunda ley de Newton establece que $m \frac{dv}{dt} = F(t) = J_0 \delta(t - t_0)$. Integrando ambos lados respecto al tiempo desde $t=0$ hasta un tiempo variable $t$: $m [v(t) - v(0)] = \int_0^t J_0 \delta(t' - t_0) dt'$.

Calculo paso a paso

1. Evaluamos la integral de la delta para dos regiones temporales:

• Si $t < t_0 = 0.5\text{ s}$, el punto singular $t'=0.5$ está fuera del intervalo $[0, t]$, por lo que la integral es 0: $m v(t) = 0 \implies v(t) = 0\text{ m/s}$.
• Si $t > t_0 = 0.5\text{ s}$, el punto singular $t'=0.5$ está dentro del intervalo $[0, t]$, por lo que la integral de la delta da 1: $m v(t) = J_0 (1) = J_0$.

2. Despejamos la velocidad para $t > 0.5\text{ s}$: $v(t) = \frac{J_0}{m} = \frac{6.0\text{ N}\cdot\text{s}}{0.145\text{ kg}} \approx 41.38\text{ m/s}$ (aproximadamente $149\text{ km/h}$).
3. Escribimos la velocidad en términos de la función escalón de Heaviside $\theta(t)$: $v(t) = 41.38 \ \theta(t - 0.5)\text{ m/s}$.
4. Calculamos la energía cinética adquirida tras el golpe: $E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2}(0.145)(41.38)^2 \approx 124.1\text{ J}$.

Lectura del resultado

La fuerza impulsiva en forma de delta de Dirac produce un salto instantáneo y discontinuo en la velocidad de la pelota, que pasa de $0$ a $41.38\text{ m/s}$ exactamente en $t = 0.5\text{ s}$, confirmando que la derivada temporal de una velocidad discontinua (escalón de Heaviside) es precisamente una fuerza impulsiva proporcional a la delta de Dirac.

Error común evitado

Se evitó intentar calcular la aceleración instantánea como un número real ordinario en $t=0.5\text{ s}$ (lo cual daría infinito), reconociendo que la aceleración física es una distribución $a(t) = \frac{J_0}{m} \delta(t - t_0)$ cuya magnitud físicamente observable es la integral temporal (el cambio neto de velocidad $\Delta v$).

Ejemplo inverso

Resultado dado

El potencial electrostático en todo el espacio debido a una distribución esférica viene dado por $V(r) = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r}$. Al calcular el laplaciano en coordenadas esféricas para hallar la densidad de carga $\rho = -\epsilon_0 \nabla^2 V$, el cálculo directo para $r > 0$ da $\nabla^2(1/r) = 0$, pero la carga total en el espacio es $Q \neq 0$.

Que pregunta física permite responder

Permite resolver la aparente contradicción matemática: como $\nabla^2(1/r)$ se anula en todas partes salvo en el origen donde diverge, la identidad distribucional fundamental $\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right) = -4\pi \delta(\mathbf{r})$ revela que toda la carga $Q$ está concentrada en un único punto matemático en el origen $\rho(\mathbf{r}) = Q \delta(\mathbf{r})$, fundamentando rigurosamente el concepto de carga eléctrica puntual en la ley de Coulomb.

Errores frecuentes

Error 1: ignorar los límites de integración al aplicar la propiedad de muestreo

Parece razonable sustituir siempre $x$ por $x_0$ sin mirar los extremos de la integral. Falla porque la delta de Dirac se anula fuera de su punto singular; si el intervalo de integración $[a, b]$ no contiene al punto $x_0$, la integral es estrictamente cero. Se detecta revisando si $a < x_0 < b$. Se corrige verificando si el soporte de la delta cae dentro del dominio de integración antes de evaluar la función. Mini-ejemplo: $\int_1^3 x^2 \delta(x) dx = 0$ porque $x_0 = 0$ está fuera de $[1, 3]$, no vale $0^2 = 0$ por evaluación interna sino porque el integrando es idénticamente nulo en todo el intervalo.

Error 2: olvidar el valor absoluto al aplicar la propiedad de escala delta(ax)

Parece razonable escribir $\delta(a x) = \frac{1}{a} \delta(x)$ permitiendo signos negativos si $a < 0$. Falla porque la delta de Dirac es una distribución par con integral positiva normalizada a 1: al hacer el cambio de variable $u = a x$, el diferencial $dx = du / a$ invierte los límites de integración cuando $a < 0$, lo que cancela el signo negativo y genera un valor absoluto $|a|$. Se detecta si una densidad de probabilidad o masa resulta negativa por una escala negativa en la delta. Se corrige aplicando rigurosamente $\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \delta(x)$. Mini-ejemplo: $\delta(-5x) = +\frac{1}{5}\delta(x)$, nunca $-\frac{1}{5}\delta(x)$.

Error 3: omitir el cambio de signo al integrar con la derivada de la delta

Parece razonable pensar que $\int f(x) \delta'(x - x_0) dx = f'(x_0)$. Falla porque al integrar por partes $\int u dv = u v - \int v du$, el término de contorno se anula y la derivada pasa a la función de prueba con un signo menos obligatorio: $\int f(x) \delta'(x - x_0) dx = -f'(x_0)$. Se detecta si el momento dipolar eléctrico o la fuerza derivada tienen el signo invertido respecto a la ley física. Se corrige recordando la regla distribucional: cada derivación de la delta introduce un factor $(-1)^n$. Mini-ejemplo: $\int x \delta'(x) dx = -(1) = -1$, no $+1$.

Error 4: olvidar la derivada en el denominador para deltas de argumentos no lineales

Parece razonable sustituir simplemente las raíces en la función: $\int f(x) \delta(g(x)) dx = \sum f(x_k)$. Falla porque alrededor de una raíz simple $x_k$, la función se comporta localmente como $g(x) \approx g'(x_k)(x - x_k)$, por lo que la propiedad de escala introduce un factor multiplicativo $\frac{1}{|g'(x_k)|}$. Se detecta si la unidad dimensional del resultado final no es correcta o si se viola la conservación de la integral. Se corrige usando siempre la fórmula general $\delta(g(x)) = \sum_k \frac{\delta(x - x_k)}{|g'(x_k)|}$. Mini-ejemplo: $\delta(2x - 4) = \frac{1}{2}\delta(x - 2)$; omitir el $1/2$ duplica erróneamente el resultado.

Error 5: intentar elevar la delta de Dirac a una potencia o multiplicarla por sí misma

Parece razonable calcular densidades de energía cuadráticas escribiendo $\rho^2 = q^2 \delta(\mathbf{r})^2$. Falla porque el producto de dos distribuciones con singularidades superpuestas no es una distribución bien definida en el análisis de Schwartz: carece de sentido matemático y produce infinitos no integrables. Se detecta cuando en un cálculo analítico aparece $\delta(0)$ o $\delta(x)^2$. Se corrige regularizando la fuente puntual como una distribución continua de radio $\epsilon$ finito (por ejemplo, una esfera uniformemente cargada) y tomando el límite físico solo al final en las magnitudes observables integradas. Mini-ejemplo: la autoenergía electrostática de una carga estrictamente puntual $\int E^2 dV$ diverge a infinito debido a este producto singular.

Regla rápida de detección

Si evalúas una delta cuyo punto singular no pertenece al intervalo de integración, si asignas un coeficiente negativo al reescalar $\delta(-k x)$, o si olvidas el signo menos en $\int f \delta' = -f'$, hay un error en el uso de la delta de Dirac.

Aplicaciones físicas

1. Electrostática y densidades de carga de fuentes puntuales

Aparece al resolver la ecuación de Poisson $\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$ para cargas puntuales, líneas de carga y láminas superficiales cargadas. Se calcula modelando una carga puntual $q$ en el origen como $\rho(\mathbf{r}) = q \delta(\mathbf{r})$, lo que permite integrar las ecuaciones de Maxwell en todo el espacio con un único formalismo diferencial uniforme. El resultado reproduce la ley de Coulomb y demuestra que el salto en la componente normal del campo eléctrico en una superficie conductora es $\Delta E_n = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$. El error peligroso es omitir el factor $4\pi$ en la divergencia del campo radial $\nabla \cdot (\hat{r}/r^2) = 4\pi \delta(\mathbf{r})$, concluyendo erróneamente que una carga puntual no tiene flujo eléctrico neto. Como control final, el alumno debe verificar el teorema de Gauss integrando la densidad sobre una esfera de radio arbitrario $R$ que encierre el origen.

2. Mecánica clásica y colisiones impulsivas

Aparece al analizar impactos casi instantáneos en dinámica: el golpe de un palo de golf, la percusión de un martillo sobre un clavo o el rebote elástico de una partícula contra una pared rígida. Se calcula representando la fuerza de contacto como un impulso de Dirac $F(t) = \Delta p \cdot \delta(t - t_0)$. El resultado permite calcular la velocidad final inmediatamente después del choque sin necesidad de conocer los detalles microscópicos de deformación del material durante la colisión. El error peligroso es calcular el trabajo efectuado durante la colisión integrando la fuerza sobre la distancia sin regularizar la velocidad discontinua, lo que produce ambigüedades matemáticas. Como control final, el alumno debe verificar el teorema del impulso lineal $\int_{t_0^-}^{t_0^+} F(t) dt = \Delta p$.

3. Función de Green y respuesta al impulso en sistemas lineales

Aparece en acústica, sismología y teoría de circuitos al caracterizar la respuesta de un medio o filtro ante una excitación elemental infinitamente breve: $L\{G(t, t')\} = \delta(t - t')$, donde $G$ es la función de Green. Se calcula excitando el sistema con un pulso en delta y midiendo o calculando la respuesta resultante $h(t)$. El resultado permite obtener la respuesta del sistema ante cualquier fuerza externa arbitraria $f(t)$ mediante una simple integral de convolución temporal: $y(t) = \int_{-\infty}^\infty G(t, t') f(t') dt'$. El error peligroso es no verificar las condiciones de causalidad ($G(t, t') = 0$ para $t < t'$), lo que violaría el principio físico de que el efecto no puede preceder a la causa. Como control final, el alumno debe deducir la respuesta del oscilador armónico simple amortiguado ante una fuerza impulsiva instantánea.

4. Mecánica cuántica y relaciones de ortogonalidad en el continuo

Aparece en la formulación de Dirac de la mecánica cuántica para estados que pertenecen al espectro continuo, como los autoestados de posición $|x\rangle$ o de momento $|p\rangle$. Se calcula evaluando el producto escalar entre dos estados propios del continuo: $\langle x | x' \rangle = \delta(x - x')$ y $\langle p | p' \rangle = 2\pi\hbar \delta(p - p')$. El resultado proporciona la relación de completitud o resolución de la identidad $\int |x\rangle \langle x| dx = \hat{I}$, permitiendo expandir cualquier función de onda arbitraria en la base continua. El error peligroso es tratar los estados $|x\rangle$ como vectores de norma finita en el espacio de Hilbert ordinario, olvidando que son distribuciones de norma infinita normalizables únicamente a la delta. Como control final, el alumno debe calcular el conmutador fundamental $[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar \hat{I}$ utilizando la base de posición.

5. Óptica de Fourier y respuesta impulsiva de sistemas de imagen

Aparece al modelar la formación de imágenes en microscopios, telescopios y cámaras fotográficas. Se calcula representando un objeto puntual infinitamente pequeño (como una estrella lejana) como una delta de Dirac espacial bidimensional $\delta(x, y)$. El resultado de la imagen formada por el sistema óptico es la función de dispersión de punto (PSF o Point Spread Function), que debido a la difracción por la apertura finita de la lente se convierte en un patrón de difracción ensanchado (disco de Airy). El error peligroso es asumir que la imagen de dos fuentes puntuales adyacentes siempre puede resolverse sin considerar el criterio de Rayleigh, que establece la separación mínima para la cual dos patrones PSF no se confunden en una sola mancha. Como control final, el alumno debe explicar cómo la convolución de la PSF del telescopio con la escena original describe la pérdida de nitidez de la imagen.

Practica

Nivel 1: reconocimiento

Evalúa las siguientes integrales que contienen la delta de Dirac aplicando directamente la propiedad de muestreo: a) $\int_{-\infty}^\infty (x^3 - 2x + 5) \delta(x - 2) dx$ b) $\int_0^5 \cos(\pi x) \delta(x - 1) dx$ c) $\int_2^{10} e^{-x^2} \delta(x) dx$ (presta atención a los límites de integración)

Ejercicio: Para el caso c), explica por qué el resultado es exactamente cero sin necesidad de calcular la exponencial.

Nivel 2: aplicación directa

Aplica las propiedades de escalamiento y derivadas de la delta para resolver: a) $\int_{-\infty}^\infty \sin(x) \delta(3x - \pi) dx$ b) $\int_{-\infty}^\infty (x^2 + 4x) \delta'(x - 1) dx$

Ejercicio: Para el caso b), comprueba el signo negativo obligatorio que surge al transferir la derivada a la función polinómica.

Nivel 3: elección de herramienta

Se tiene una densidad de masa lineal sobre el eje $x$ dada por $\lambda(x) = M_0 \delta(x) + \lambda_0 [\theta(x) - \theta(x - L)]$, que representa una masa puntual $M_0$ colocada en el origen unida a una varilla homogénea de longitud $L$ y densidad uniforme $\lambda_0$.

Ejercicio: Calcula la masa total del sistema integrando $\int_{-\infty}^\infty \lambda(x) dx$ y halla la posición del centro de masas $x_{\text{cm}} = \frac{1}{M_{\text{tot}}} \int_{-\infty}^\infty x \lambda(x) dx$.

Nivel 4: interpretación física

En teoría de la relatividad y electrodinámica clásica, la trayectoria de una partícula puntual con carga $q$ que se desplaza según la ley horaria $\mathbf{r}_p(t)$ genera una densidad de carga y corriente dada por: $\rho(\mathbf{r}, t) = q \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_p(t))$, $\mathbf{J}(\mathbf{r}, t) = q \mathbf{v}(t) \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_p(t))$.

Ejercicio: Sustituye estas expresiones en la ecuación de continuidad $\nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$ y demuestra formalmente que la conservación local de la carga eléctrica se satisface de forma exacta para una partícula puntual.

Nivel 5: error intencionado

Un estudiante intenta resolver la integral $\int_{-\infty}^\infty \delta(x^2 - 4) e^x dx$ escribiendo: "Como $x^2 - 4 = 0$ cuando $x = 2$, la integral es simplemente $e^2$".

Ejercicio: Señala los dos errores graves cometidos: olvidar la raíz negativa $x = -2$ y omitir la derivada del argumento $|g'(x_k)| = |2x_k|$ que introduce un factor de $1/4$ en cada raíz. Escribe el desarrollo correcto aplicando $\delta(g(x)) = \sum \frac{\delta(x - x_k)}{|g'(x_k)|}$ y obtén el valor exacto de la integral.