Transformada de Fourier básica

Paso continuo del dominio temporal y espacial al dominio espectral mediante la transformada de Fourier.

Que es

La transformada de Fourier es una operación integral lineal que transforma una función continua no periódica del dominio temporal o espacial $f(t)$ en una función continua del dominio espectral o frecuencial $\hat{f}(\omega)$: $\hat{f}(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i \omega t} dt$ La función original se recupera mediante la transformada inversa de Fourier: $f(t) = \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f}(\omega)\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\omega) e^{i \omega t} d\omega$ Surge de manera natural como el límite continuo de las series de Fourier cuando el periodo fundamental tiende a infinito ($T \to \infty$). En este límite, la separación discreta entre armónicos $\Delta\omega = 2\pi/T$ se convierte en el diferencial continuo $d\omega$, y los coeficientes discretos pasan a ser una densidad espectral continua $\hat{f}(\omega)$.

Por qué aparece en física

Aparece en física porque la mayoría de los sucesos reales no se repiten periódicamente de forma indefinida: un pulso láser ultracorto, el impacto de una bala, un destello de supernova o el paso de una partícula por un detector son transitorios no periódicos con un inicio y un final.

La transformada de Fourier permite descomponer cualquier pulso o paquete de ondas en un continuo de ondas armónicas planas. Además, convierte ecuaciones diferenciales lineales en simples ecuaciones algebraicas: una derivada temporal $\frac{d}{dt}$ se convierte en una multiplicación algebraica por $i\omega$, lo que facilita la resolución analítica de la ecuación de difusión, la ecuación de ondas y la ecuación de Schrödinger para paquetes libres.

Idea visual o geométrica

Imagina que una señal temporal $f(t)$ es un acorde musical complejo compuesto por una infinidad continua de frecuencias. La transformada de Fourier actúa como un prisma óptico perfecto o un analizador de espectros: descompone la luz blanca en su arcoíris continuo de colores componentes.

El módulo $|\hat{f}(\omega)|$ indica qué frecuencias están presentes y con qué peso energético en el pulso, mientras que el argumento $\arg(\hat{f}(\omega))$ indica la fase relativa de cada color espectral. Un pulso temporal extremadamente breve y localizado exige un espectro de frecuencias inmensamente ancho para formarse; por el contrario, una onda pura casi monocromática requiere durar una eternidad en el tiempo. Esta propiedad geométrica es la base del principio de incertidumbre de Heisenberg en mecánica cuántica y del límite de Gabor en telecomunicaciones.

Lenguaje simbólico mínimo

• Transformada directa: $\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i \omega t} dt$.
• Transformada inversa: $f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\omega) e^{i \omega t} d\omega$.
• Teorema de la derivada: $\mathcal{F}\left\{\frac{d^n f}{dt^n}\right\} = (i\omega)^n \hat{f}(\omega)$.
• Teorema de traslación temporal: $\mathcal{F}\{f(t - t_0)\} = e^{-i \omega t_0} \hat{f}(\omega)$.
• Teorema de modulación: $\mathcal{F}\{f(t) e^{i \omega_0 t}\} = \hat{f}(\omega - \omega_0)$.
• Teorema de convolución: $\mathcal{F}\{(f * g)(t)\} = \hat{f}(\omega) \cdot \hat{g}(\omega)$, con $(f * g)(t) = \int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t - \tau) d\tau$.
• Teorema de Plancherel / Parseval: $\int_{-\infty}^\infty |f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty |\hat{f}(\omega)|^2 d\omega$.
• Relación de incertidumbre: $\Delta t \cdot \Delta \omega \ge \frac{1}{2}$.

Que significa el resultado

La función compleja $\hat{f}(\omega)$ se denomina densidad espectral de amplitud. El cuadrado de su módulo, $|\hat{f}(\omega)|^2$, representa la densidad espectral de energía (espectro de potencia): cuantifica cuántos julios de energía contiene la señal por cada hercio de ancho de banda.

El teorema de convolución tiene una relevancia física colosal: la salida de cualquier sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) —como un filtro eléctrico, una lente óptica o un sismógrafo— ante una entrada $x(t)$ es la convolución de la entrada con la respuesta al impulso del sistema $h(t)$: $y(t) = (x * h)(t)$. En el dominio de Fourier, esto se convierte en una simple multiplicación algebraica: $\hat{y}(\omega) = \hat{h}(\omega) \hat{x}(\omega)$, donde $\hat{h}(\omega)$ es la función de transferencia del sistema.

Cuando no debes usarlo

No debes intentar aplicar la transformada clásica de Fourier a funciones que crecen indefinidamente en el infinito (como exponenciales crecientes $e^{a t}$ con $a > 0$ o polinomios divergentes), pues la integral no converge en el sentido usual de funciones de cuadrado integrable $L^2(\mathbb{R})$. Para tales sistemas inestables, se debe emplear la transformada de Laplace.

Tampoco debes confundir las distintas convenciones de normalización de la literatura científica: algunas disciplinas reparten el factor simétricamente como $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ en ambas integrales, otras usan la frecuencia cíclica $f$ en lugar de $\omega$ (donde desaparecen los factores $2\pi$), y en física teórica se suele usar el signo $+i\omega t$ en la directa y $-i\omega t$ en la inversa. Mezclar convenciones altera sistemáticamente amplitudes y signos de fase.

Resumen operativo

Verifica que la función sea integrable en valor absoluto ($\int |f(t)| dt < \infty$). Aplica la definición integral calculando $\int f(t) e^{-i\omega t} dt$ o utiliza las tablas de transformadas conocidas (pulsos gaussianos, rectangulares, exponenciales). Para resolver ecuaciones diferenciales, transforma cada término usando $\frac{d}{dt} \to i\omega$, despeja algebraicamente la función incógnita $\hat{y}(\omega)$, y aplica la transformada inversa o el teorema de convolución para regresar al dominio temporal.

Procedimiento

Antes de calcular

Verifica la integrabilidad de la señal $f(t)$ en todo el intervalo $(-\infty, \infty)$ o identifica si requiere el uso de distribuciones (como ondas sinusoidales puras o escalones).

Identifica la convención de normalización adoptada (generalmente factor 1 en la directa y $\frac{1}{2\pi}$ en la inversa con variable $\omega$).

Paso 1: identifica el objeto matemático

Determina la forma analítica de la función $f(t)$ y sus posibles simetrías:

• Si $f(t)$ es real y par, $\hat{f}(\omega)$ es puramente real y par.
• Si $f(t)$ es real e impar, $\hat{f}(\omega)$ es puramente imaginaria e impar.
• Si $f(t)$ es un pulso rectangular de anchura $\tau$, su transformada será una función sinc cardinal $\frac{\sin(x)}{x}$.
• Si $f(t)$ es una campana gaussiana, su transformada será otra campana gaussiana.

Paso 2: elige la operación

Si calculas la transformada de una función elemental, plantea la integral directa: $\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t} dt$.

Si resuelves una ecuación diferencial lineal o un circuito, aplica las propiedades operacionales: $\frac{d f}{dt} \to i\omega \hat{f}(\omega)$, $f(t - t_0) \to e^{-i\omega t_0} \hat{f}(\omega)$, $(f * g)(t) \to \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)$.

Paso 3: conserva unidades y signos

Comprueba la consistencia dimensional: si $f(t)$ tiene unidades $[U]$ y $t$ está en segundos, $\hat{f}(\omega)$ debe tener unidades de $[U] \cdot \text{s}$ (o $[U]/\text{Hz}$).

Mantén el signo negativo en el exponente de la transformada directa: $e^{-i\omega t}$.

Paso 4: calcula

Resuelve la integral definida integrando en el soporte no nulo de la función.

Si aparecen integrales impropias con oscilaciones, aplica el lema de Riemann-Lebesgue o introduce un factor de convergencia $e^{-\epsilon |t|}$ tomando el límite $\epsilon \to 0^+$ si es necesario.

Paso 5: interpreta el resultado

Analiza el espectro de amplitud $|\hat{f}(\omega)|$ identificando la frecuencia central y el ancho de banda a mitad de altura (FWHM).

Verifica la relación de reciprocidad: comprueba que si la duración del pulso $\Delta t$ se reduce a la mitad, el ancho de banda espectral $\Delta\omega$ se duplica exactamente.

Checklist de autocontrol

• ¿Las unidades de $\hat{f}(\omega)$ son las de $f(t)$ multiplicadas por tiempo?
• ¿Aprovechaste la paridad de la función para convertir exponenciales complejas en senos o cosenos reales?
• ¿Verificaste el teorema de convolución antes de multiplicar directamente señales en el tiempo?
• ¿El espectro de una función real cumple la simetría hermítica $\hat{f}(-\omega) = \hat{f}^*(\omega)$?

Ejemplo guiado

Situación física

Un pulso rectangular de luz láser incide sobre una compuerta óptica ultrarrápida que permanece abierta durante un intervalo de tiempo $\tau = 2\text{ ps}$ centrado en $t=0$. El campo eléctrico del pulso es constante de valor $E_0 = 1000\text{ V/m}$ para $-\tau/2 < t < \tau/2$ y cero fuera de ese intervalo. Se desea calcular la transformada de Fourier del pulso y determinar su ancho de banda espectral.

Traducción matemática

Modelamos el pulso como una función rectangular simétrica $f(t) = E_0 \ \text{rect}(t/\tau)$. Como la función es real y par, su transformada de Fourier $\hat{f}(\omega)$ será puramente real y par: $\hat{f}(\omega) = \int_{-\tau/2}^{\tau/2} E_0 e^{-i \omega t} dt$.

Calculo paso a paso

1. Planteamos la integral definida: $\hat{f}(\omega) = E_0 \int_{-\tau/2}^{\tau/2} e^{-i \omega t} dt$.
2. Integramos la exponencial: $\hat{f}(\omega) = E_0 \left[ \frac{e^{-i \omega t}}{-i \omega} \right]_{-\tau/2}^{\tau/2} = E_0 \frac{e^{-i \omega \tau/2} - e^{i \omega \tau/2}}{-i \omega}$.
3. Aplicamos la identidad de Euler $\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$: $\hat{f}(\omega) = E_0 \frac{2i \sin(\omega \tau / 2)}{i \omega} = E_0 \tau \frac{\sin(\omega \tau / 2)}{\omega \tau / 2}$.
4. Expresamos en términos de la función sinc cardinal: $\hat{f}(\omega) = E_0 \tau \ \text{sinc}\left(\frac{\omega \tau}{2\pi}\right)$ (donde $\text{sinc}(u) = \frac{\sin(\pi u)}{\pi u}$).
5. Localización de los primeros ceros espectrales: El numerador se anula cuando $\frac{\omega \tau}{2} = \pm \pi \implies \omega_{\text{cero}} = \pm \frac{2\pi}{\tau}$. En frecuencia cíclica $f = \frac{\omega}{2\pi}$: $f_{\text{cero}} = \pm \frac{1}{\tau} = \pm \frac{1}{2 \times 10^{-12}\text{ s}} = \pm 0.5\text{ THz}$.

Lectura del resultado

El espectro del pulso rectangular tiene su lóbulo central centrado en $\omega = 0$ con una anchura de cero a cero de $\Delta f = \frac{2}{\tau} = 1.0\text{ THz}$. Cuanto más corto es el pulso temporal (menor $\tau$), más ancho es el lóbulo espectral, lo que demuestra empíricamente que confinar la luz en el tiempo ensancha inevitablemente su contenido cromático.

Error común evitado

Se evitó asumir que un pulso de campo constante en el tiempo solo contiene frecuencia cero (DC), comprendiendo que los bordes abruptos de encendido y apagado generan un continuo infinito de componentes de alta frecuencia en sinc.

Ejemplo inverso

Resultado dado

El espectro de emisión de un paquete de ondas electromagnéticas es una campana gaussiana centrada en $\omega_0$: $\hat{E}(\omega) = E_0 \sigma_t \sqrt{2\pi} e^{-\frac{\sigma_t^2 (\omega - \omega_0)^2}{2}}$.

Que pregunta física permite responder

Permite calcular mediante la transformada inversa la forma temporal exacta del pulso: $E(t) = E_0 e^{-\frac{t^2}{2\sigma_t^2}} e^{i\omega_0 t}$. Esto demuestra que un pulso gaussiano en frecuencia corresponde a un pulso gaussiano en el tiempo modulado a la frecuencia portadora $\omega_0$, y que la campana gaussiana es el único paquete de ondas que satura con igualdad estricta el límite de incertidumbre $\Delta t \cdot \Delta \omega = \frac{1}{2}$.

Errores frecuentes

Error 1: confundir la transformada de Fourier con la serie de Fourier

Parece razonable utilizar las fórmulas de la transformada de Fourier integrando en $[0, T]$ para una señal periódica. Falla porque las series de Fourier se aplican a señales estrictamente periódicas y generan un espectro discreto de coeficientes $c_n$, mientras que la transformada de Fourier se aplica a señales de energía finita no periódicas integrando de $-\infty$ a $+\infty$ y genera una densidad espectral continua $\hat{f}(\omega)$. Se detecta si el resultado de una transformada continua da números aislados en lugar de una función de $\omega$. Se corrige aplicando series para señales periódicas y transformadas integrales para pulsos o transitorios. Mini-ejemplo: una onda periódica infinita no tiene transformada clásica continua ordinaria sin deltas de Dirac.

Error 2: olvidar el factor 1/(2pi) en la transformada inversa de Fourier

Parece razonable definir la transformada inversa idéntica a la directa cambiando únicamente el signo de la exponencial: $\int \hat{f}(\omega) e^{i\omega t} d\omega$. Falla porque al sustituir la directa en la inversa aparece la relación $\int e^{i(\omega - \omega')t} dt = 2\pi \delta(\omega - \omega')$, por lo que omitir el factor $\frac{1}{2\pi}$ hace que la señal recuperada quede multiplicada por $2\pi$. Se detecta si al aplicar la transformada y luego la inversa la amplitud final se descalibra por $2\pi \approx 6.28$. Se corrige incluyendo rigurosamente el factor $\frac{1}{2\pi}$ en la integral sobre $d\omega$. Mini-ejemplo: $\mathcal{F}^{-1}\{\mathcal{F}\{f(t)\}\} = f(t)$ solo si la inversa lleva el factor $\frac{1}{2\pi}$.

Error 3: multiplicar señales en el tiempo esperando que sus espectros se multipliquen

Parece razonable pensar que si la señal total es $y(t) = x(t) \cdot h(t)$, su espectro será $\hat{y}(\omega) = \hat{x}(\omega) \cdot \hat{h}(\omega)$. Falla porque el teorema de convolución establece que la multiplicación en el dominio del tiempo corresponde a la convolución en el dominio de la frecuencia $\mathcal{F}\{x(t) h(t)\} = \frac{1}{2\pi}(\hat{x} * \hat{h})(\omega)$, y viceversa: la convolución en el tiempo es lo que produce multiplicación en frecuencia. Se detecta si la modulación de una señal (multiplicar por un coseno) no desplaza el espectro en frecuencia. Se corrige recordando la regla mnemotécnica: producto en un dominio es convolución en el otro. Mini-ejemplo: multiplicar una portadora por un pulso ensancha el espectro mediante convolución, no mediante producto de amplitudes.

Error 4: omitir la simetría hermítica para señales físicas reales

Parece razonable asumir que la parte imaginaria de $\hat{f}(\omega)$ carece de relación con su parte real para una señal medida en el laboratorio. Falla porque si $f(t)$ es puramente real, su transformada debe satisfacer necesariamente la condición hermítica $\hat{f}(-\omega) = \hat{f}^*(\omega)$, lo que implica que la parte real es par $\text{Re}[\hat{f}(-\omega)] = \text{Re}[\hat{f}(\omega)]$ y la parte imaginaria es impar $\text{Im}[\hat{f}(-\omega)] = -\text{Im}[\hat{f}(\omega)]$. Se detecta cuando el espectro de una señal real física muestra asimetría de módulo $|\hat{f}(-\omega)| \neq |\hat{f}(\omega)|$. Se corrige comprobando que el espectro de amplitud sea estrictamente simétrico respecto a $\omega = 0$. Mini-ejemplo: para frecuencias negativas, el espectro de amplitud de una señal real es idéntico al de las frecuencias positivas.

Error 5: interpretar frecuencias negativas como no físicas

Parece razonable descartar los valores de $\omega < 0$ como absurdos porque en la vida cotidiana las frecuencias son números positivos. Falla porque en el formalismo exponencial complejo, cada oscilación real $\cos(\omega_0 t) = \frac{e^{i\omega_0 t} + e^{-i\omega_0 t}}{2}$ está constituida intrínsecamente por dos fasores rotatorios que giran en sentidos contrarios (uno a $+\omega_0$ y otro a $-\omega_0$). Se detecta cuando se omite la mitad del espectro en integrales de Parseval o convoluciones. Se corrige recordando que el eje completo de frecuencias $(-\infty, \infty)$ es indispensable para que las partes imaginarias se cancelen y reconstruyan señales reales. Mini-ejemplo: la transformada de $\cos(\omega_0 t)$ contiene dos deltas: $\pi[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]$.

Regla rápida de detección

Si al calcular la transformada inversa tu señal queda multiplicada por $2\pi$, si confundes convolución con producto directo en el tiempo, o si tu espectro para una señal real no cumple $|\hat{f}(\omega)| = |\hat{f}(-\omega)|$, hay un fallo de formulación en la transformada de Fourier.

Aplicaciones físicas

1. Dispersión y ensanchamiento de pulsos láser ultracortos

Aparece en física de láseres de femtosegundos y óptica no lineal al propagar pulsos de luz ultracortos a través de prismas o fibras ópticas. Se calcula transformando el pulso al dominio de la frecuencia $\hat{E}(\omega)$, aplicando la fase espectral introducida por el medio dispersivo $e^{i \beta(\omega) z}$, y calculando la transformada inversa. El resultado predice con exactitud el ensanchamiento temporal del pulso y la aparición de "chirp" (modulación lineal de frecuencia donde los colores viajan a distintas velocidades). El error peligroso es asumir que la duración temporal del pulso permanece constante ignorando la dispersión de velocidad de grupo (GVD). Como control final, el alumno debe explicar cómo un par de rejillas de difracción introduce dispersión anómala negativa para recomprimir el pulso a su duración mínima inicial (técnica CPA galardonada con el Nobel).

2. Espectroscopía infrarroja por transformada de Fourier (FTIR)

Aparece en química física, astrofísica y ciencia de materiales para identificar enlaces moleculares y composición de muestras. Se calcula midiendo el interferograma temporal producido por un interferómetro de Michelson a medida que se desplaza un espejo móvil, y aplicando la transformada de Fourier computacional (FFT) a los datos. El resultado convierte el interferograma de interferencias luminosas en el espectro continuo de absorción infrarroja con altísima resolución y relación señal-ruido (ventaja de multiplexado de Fellgett). El error peligroso es no aplicar una función ventana al interferograma truncado en el recorrido finito del espejo, lo que introduce lóbulos espurios de difracción sinc alrededor de las líneas de absorción molecular. Como control final, el alumno debe relacionar la carrera total del espejo móvil con la resolución espectral máxima alcanzable en números de onda ($\text{cm}^{-1}$).

3. Principio de indeterminación de Heisenberg en mecánica cuántica

Aparece al describir el estado de una partícula cuántica libre mediante su función de onda espacial $\psi(x)$ y su función de onda en el espacio de momentos $\phi(p)$. Se calcula reconociendo que $\phi(p)$ es exactamente la transformada de Fourier espacial de $\psi(x)$: $\phi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int \psi(x) e^{-i p x/\hbar} dx$. El resultado demuestra que la relación de incertidumbre temporal-frecuencial $\Delta x \cdot \Delta k \ge 1/2$ se transforma directamente, mediante la relación de De Broglie $p = \hbar k$, en el principio de indeterminación fundamental de Heisenberg: $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$. El error peligroso es interpretar el principio de incertidumbre como una limitación técnica de los instrumentos de medida en lugar de una propiedad matemática intrínseca de los paquetes de ondas de Fourier. Como control final, el alumno debe demostrar que el paquete de ondas gaussiano es el único estado que minimiza exactamente el producto de incertidumbres.

4. Difracción de Fraunhofer en óptica y cristalografía de rayos X

Aparece al estudiar los patrones de difracción producidos por aberturas bidimensionales en el régimen de campo lejano o por redes cristalinas iluminadas por rayos X. Se calcula demostrando que el campo eléctrico difractado en la pantalla distante $E(u, v)$ es proporcional a la transformada de Fourier espacial bidimensional de la función de transmisión de la abertura $t(x, y)$. El resultado permite determinar la estructura atómica tridimensional de proteínas y cristales (como la célebre estructura del ADN por difracción de rayos X) a partir de los patrones de difracción registrados. El error peligroso es olvidar el "problema de la fase": los detectores solo registran la intensidad $|\hat{t}(u,v)|^2$, perdiendo la información de la fase compleja necesaria para invertir directamente la transformada y obtener la densidad electrónica. Como control final, el alumno debe calcular el patrón de difracción de una abertura circular de radio $R$ obteniendo la función de Bessel / disco de Airy $\frac{J_1(k R \theta)}{k R \theta}$.

5. Procesamiento sísmico y prospección geofísica de hidrocarburos

Aparece en geofísica de exploración al cartografiar estratos geológicos subterráneos y detectar bolsas de agua o hidrocarburos mediante ondas elásticas reflejadas. Se calcula emitiendo un pulso acústico o sismo inducido (vibroseis), registrando las trazas temporales en cientos de geófonos y procesando las señales en el dominio de Fourier para eliminar el ruido de baja frecuencia y las ondas superficiales de Rayleigh. El resultado (migración sísmica en frecuencia-número de onda $f-k$) reubica los reflectores en su posición espacial verdadera en el subsuelo. El error peligroso es muestrear las trazas con un intervalo temporal demasiado grande, provocando "aliasing" espectral que repliega frecuencias altas sobre bajas haciendo imposible la interpretación geológica. Como control final, el alumno debe aplicar el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon para determinar la frecuencia de muestreo mínima requerida para evitar aliasing.

Practica

Nivel 1: reconocimiento

A partir de la propiedad de reciprocidad temporal-frecuencial $\Delta t \cdot \Delta \omega \ge 1/2$, indica cuál de las siguientes señales requerirá un mayor ancho de banda en un canal de telecomunicaciones: a) Un pulso rectangular de duración $1\text{ ms}$. b) Un pulso rectangular de duración $1\text{ ns}$. c) Un pulso rectangular de duración $10\text{ fs}$ generado por un láser de femtosegundos.

Ejercicio: Ordena los tres pulsos de menor a mayor ancho de banda espectral justificando la respuesta.

Nivel 2: aplicación directa

Calcula la transformada de Fourier de la función exponencial decreciente unilateral $f(t) = e^{-a t} u(t)$, donde $a > 0$ y $u(t)$ es la función escalón de Heaviside.

Ejercicio: Evalúa la integral directa $\int_0^\infty e^{-(a + i\omega)t} dt$, obtén la expresión compleja $\hat{f}(\omega) = \frac{1}{a + i\omega}$ y calcula su espectro de amplitud $|\hat{f}(\omega)|$ y su espectro de potencia $|\hat{f}(\omega)|^2$.

Nivel 3: elección de herramienta

Se tiene un filtro paso-bajo analógico de primer orden con respuesta al impulso $h(t) = \frac{1}{R C} e^{-t/(R C)} u(t)$ excitado por una señal de entrada $x(t) = e^{-t / \tau} u(t)$.

Ejercicio: Explica por qué es mucho más rápido resolver la salida $y(t)$ mediante transformadas de Fourier y el teorema de convolución $\hat{y}(\omega) = \hat{h}(\omega) \hat{x}(\omega)$ que calculando la integral de convolución temporal $(h * x)(t)$ directamente.

Nivel 4: interpretación física

Aplica el teorema de Parseval $\int_{-\infty}^\infty |f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty |\hat{f}(\omega)|^2 d\omega$ a la función exponencial decreciente $f(t) = e^{-a t} u(t)$ cuya transformada es $\hat{f}(\omega) = \frac{1}{a + i\omega}$.

Ejercicio: Calcula la integral temporal $\int_0^\infty e^{-2at} dt = \frac{1}{2a}$ y demuestra que la integral espectral $\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{a^2 + \omega^2}$ produce exactamente el mismo valor $\frac{1}{2a}$, verificando la conservación rigurosa de la energía total.

Nivel 5: error intencionado

Un estudiante intenta calcular la transformada de Fourier de la función constante $f(t) = 1$ para todo $t$ escribiendo: $\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^\infty 1 \cdot e^{-i\omega t} dt = \left[ \frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega} \right]_{-\infty}^\infty$. El estudiante concluye que la integral no existe porque la exponencial oscila en el infinito sin converger a ningún valor.

Ejercicio: Explica por qué la función constante no es integrable en el sentido clásico de Riemann pero sí posee transformada de Fourier en el sentido de las distribuciones templadas, y deduce por qué su transformada es exactamente $2\pi \delta(\omega)$, donde $\delta$ es la delta de Dirac.