Números complejos para física

Álgebra compleja, fórmula de Euler, módulo, argumento y aplicaciones a ondas y oscilaciones.

Que es

Un número complejo es una entidad matemática de la forma $z = x + i y$, donde $x = \text{Re}(z)$ e $y = \text{Im}(z)$ son números reales e $i$ es la unidad imaginaria definida por la propiedad fundamental $i^2 = -1$. Geométricamente, los números complejos extienden la recta real al plano complejo o plano de Argand-Gauss, dotando a cada punto $(x, y)$ de una estructura algebraica donde es posible sumar, restar, multiplicar y dividir sin restricciones algebraicas.

Mediante la fórmula de Euler, $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, todo número complejo no nulo puede representarse en forma polar o exponencial: $z = r e^{i\theta}$, donde $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ representa el módulo o amplitud y $\theta = \arg(z) = \arctan(y/x)$ el argumento o fase. Esta representación exponencial convierte multiplicaciones y divisiones en sumas y restas de ángulos y productos de módulos, proporcionando una herramienta analítica extraordinaria para la física ondulatoria y oscilatoria.

Por qué aparece en física

Los números complejos aparecen en física no como entes ficticios, sino como la forma más elegante y compacta de empaquetar dos magnitudes físicas acopladas: una amplitud y una fase. En lugar de arrastrar combinaciones engorrosas de senos y cosenos mediante identidades trigonométricas en ecuaciones diferenciales lineales, el formalismo complejo linealiza la derivada temporal: cada derivación temporal de una señal armónica $e^{i\omega t}$ equivale a una simple multiplicación por $i\omega$.

Aparecen de forma ubicua en el oscilador armónico simple y amortiguado, en la teoría electromagnética y óptica (índice de refracción complejo con absorción, polarización), en circuitos de corriente alterna (impedancias complejas), en ondas acústicas y sísmicas, y de manera axiomática e irreducible en la mecánica cuántica, donde la función de onda $\psi(x,t)$ pertenece por necesidad intrínseca a un espacio de Hilbert complejo.

Idea visual o geométrica

Imagina el plano cartesiano donde el eje horizontal es la parte real y el eje vertical la parte imaginaria. Un número complejo $z$ es un vector con origen en $(0,0)$ y extremo en $(x,y)$. La suma de dos números complejos corresponde exactamente a la regla del paralelogramo para vectores bidimensionales.

Sin embargo, a diferencia de los vectores ordinarios, los números complejos admiten un producto interno natural con propiedades de rotación y dilatación: multiplicar un número cualquiera por $i = e^{i\pi/2}$ equivale a rotar su vector 90 grados en sentido antihorario sin modificar su longitud. Multiplicar por $r e^{i\theta}$ escala la longitud por $r$ y gira el vector un ángulo $\theta$. Por tanto, una oscilación armónica continua se visualiza como un vector de módulo constante que rota con velocidad angular $\omega$ en el plano complejo; la magnitud física real medible es simplemente la proyección de este vector sobre el eje horizontal real.

Lenguaje simbólico mínimo

• Forma binómica: $z = x + i y$, con $x = \text{Re}(z) \in \mathbb{R}$ e $y = \text{Im}(z) \in \mathbb{R}$.
• Unidad imaginaria: $i = \sqrt{-1}$, satisfaciendo $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$.
• Módulo o norma: $|z| = r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{z z^*}$.
• Argumento o fase: $\theta = \arg(z) = \text{atan2}(y, x)$.
• Conjugado complejo: $z^* = x - i y = r e^{-i\theta}$; la reflexión simétrica respecto al eje real.
• Identidad de Euler: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, con los casos notables $e^{i\pi} + 1 = 0$ y $e^{i\pi/2} = i$.
• Inverso multiplicativo: $\frac{1}{z} = \frac{z^*}{|z|^2} = \frac{x - i y}{x^2 + y^2}$.

Que significa el resultado

Al resolver una ecuación física mediante variables complejas, el resultado final suele ser una función compleja $Z(t) = A e^{i(\omega t + \phi)}$. El significado físico de este resultado se extrae tomando su parte real, $\text{Re}[Z(t)] = A \cos(\omega t + \phi)$, la cual describe la trayectoria, el campo eléctrico, la corriente o el voltaje observado en el laboratorio.

El módulo $A$ representa la amplitud máxima alcanzable por la oscilación, mientras que el argumento $\phi$ establece el adelanto o retraso temporal relativo respecto a una referencia fijada. Si la frecuencia $\omega$ posee una parte imaginaria $\omega = \omega_0 + i\gamma$, el término se transforma en $e^{-\gamma t} e^{i\omega_0 t}$, indicando de inmediato que la señal oscila con frecuencia $\omega_0$ mientras su amplitud decae exponencialmente con constante de amortiguamiento $\gamma$.

Cuando no debes usarlo

No debes emplear el álgebra compleja lineal de superposición en sistemas regidos por ecuaciones no lineales (como el oscilador anarmónico o la óptica no lineal de medios con polarizabilidad de orden superior), pues en esos casos $\text{Re}(z_1 z_2) \neq \text{Re}(z_1) \text{Re}(z_2)$: el producto de dos partes reales no es igual a la parte real del producto complejo.

Tampoco debes olvidar tomar la parte real al calcular magnitudes energéticas cuadráticas: calcular la potencia eléctrica instantánea como $P(t) = \text{Re}[V(t) I^*(t)]$ o $P(t) = \text{Re}[V(t)] \cdot \text{Re}[I(t)]$ requiere aplicar rigurosamente las definiciones de promedio temporal, ya que el producto de fasores directos no produce la energía disipada instantánea real.

Resumen operativo

Convierte magnitudes oscilatorias reales $A \cos(\omega t + \phi)$ a su representación compleja equivalente $A e^{i\phi} e^{i\omega t}$. Realiza todas las operaciones algebraicas, sumas de ondas, diferenciaciones (sustituyendo $\frac{d}{dt} \to i\omega$) o integraciones (sustituyendo $\int dt \to \frac{1}{i\omega}$) en el dominio complejo. Al finalizar el análisis dinámico, toma la parte real de la solución o calcula el módulo al cuadrado para obtener densidades de probabilidad y flujos energéticos promedio.

Procedimiento

Antes de calcular

Identifica si el problema involucra magnitudes lineales oscilatorias (ondas, circuitos AC, osciladores) donde el formalismo complejo es aplicable.

Verifica si los datos vienen dados en forma cartesiana ($x + i y$) o polar ($r e^{i\theta}$), y fija una convención coherente de signo temporal (usualmente $e^{i\omega t}$ en física e ingeniería eléctrica o $e^{-i\omega t}$ en física cuántica y óptica teórica).

Paso 1: identifica el objeto matemático

Clasifica las magnitudes dadas: identifica si se trata de amplitudes escalares, impedancias, funciones de onda o fasores.

Separa con claridad la frecuencia angular $\omega$, la amplitud de pico $A$ y la fase inicial $\phi$.

Paso 2: elige la operación

Si debes sumar o restar señales de la misma frecuencia, conviene trabajar en forma cartesiana: suma partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí: $(x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)$.

Si debes multiplicar, dividir o elevar a potencias (por ejemplo, aplicar la ley de Ohm generalizada $\tilde{V} = \tilde{Z} \tilde{I}$ o la regla de De Moivre), convierte primero a forma polar: $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$.

Paso 3: conserva unidades y signos

Asegúrate de que el argumento $\theta$ esté expresado en radianes antes de operar con funciones trigonométricas o exponenciales.

Recuerda que el conjugado complejo cambia el signo de la parte imaginaria ($i \to -i$), lo cual invierte el sentido de la fase temporal.

Paso 4: calcula

Ejecuta el álgebra compleja simplificando las fracciones mediante la multiplicación por el conjugado del denominador: $\frac{w}{z} = \frac{w z^*}{|z|^2}$.

Si resuelves una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, sustituye la derivada temporal por el factor algebraico $i\omega$ y despeja la amplitud compleja resultante $\tilde{A}$.

Paso 5: interpreta el resultado

Extrae el módulo $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ para determinar la amplitud física resultante.

Calcula el desfase relativo $\phi = \text{atan2}(y, x)$ y escribe la señal física en el dominio temporal como $s(t) = |z| \cos(\omega t + \phi)$.

Checklist de autocontrol

• ¿Convertiste correctamente entre la forma binómica y polar comprobando el cuadrante de $\theta$?
• ¿Multiplicaste por el conjugado del denominador para eliminar la $i$ del divisor?
• ¿Tomaste la parte real al final para obtener la variable física real observable?
• ¿Verificaste que la unidad del módulo coincide con la unidad esperada de la magnitud física?

Ejemplo guiado

Situación física

Un circuito RLC serie alimentado por una tensión alterna $V(t) = V_0 \cos(\omega t)$ con $V_0 = 100\text{ V}$ y frecuencia angular $\omega = 1000\text{ rad/s}$ contiene una resistencia $R = 40\;\Omega$, una autoinducción $L = 0.05\text{ H}$ y un condensador $C = 25\;\mu\text{F}$. Se desea calcular la corriente estacionaria $I(t)$ que circula por el circuito.

Traducción matemática

Representamos la tensión mediante el fasor complejo $\tilde{V} = V_0 e^{i 0} = 100\text{ V}$. La impedancia compleja total del circuito es $\tilde{Z} = R + i\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)$. La corriente compleja se obtiene por la ley de Ohm: $\tilde{I} = \frac{\tilde{V}}{\tilde{Z}}$.

Calculo paso a paso

1. Calculamos la reactancia inductiva: $X_L = \omega L = 1000 \cdot 0.05 = 50\;\Omega$.
2. Calculamos la reactancia capacitiva: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{1000 \cdot 25 \times 10^{-6}} = 40\;\Omega$.
3. La reactancia neta es $X = X_L - X_C = 50 - 40 = 10\;\Omega$.
4. La impedancia compleja es $\tilde{Z} = 40 + 10 i\;\Omega$.
5. Módulo de la impedancia: $|\tilde{Z}| = \sqrt{40^2 + 10^2} = \sqrt{1600 + 100} = \sqrt{1700} \approx 41.23\;\Omega$.
6. Argumento de la impedancia: $\theta_Z = \arctan\left(\frac{10}{40}\right) = \arctan(0.25) \approx 0.245\text{ rad} \approx 14.04^\circ$.
7. Amplitud de corriente: $I_0 = \frac{V_0}{|\tilde{Z}|} = \frac{100}{41.23} \approx 2.425\text{ A}$.
8. Fase de la corriente: $\phi_I = 0 - \theta_Z = -0.245\text{ rad}$.

Lectura del resultado

La corriente física instantánea es $I(t) = 2.425 \cos(1000 t - 0.245)\text{ A}$. El signo negativo en la fase indica que la corriente retrasa respecto a la tensión en $14.04^\circ$ debido al predominio del efecto inductivo ($X_L > X_C$).

Error común evitado

Se evitó sumar algebraicamente las reactancias como escalares ordinarios ($40 + 50 + 40 = 130\;\Omega$), lo cual ignoraría los desfases geométricos de $\pm 90^\circ$ en los componentes reactivos.

Ejemplo inverso

Resultado dado

En un oscilador mecánico forzado en régimen estacionario, la posición compleja se obtiene como $\tilde{x} = -i \frac{F_0}{m \gamma \omega_0}$.

Que pregunta física permite responder

Permite determinar si el oscilador se encuentra en resonancia exacta de amplitud: como el factor $-i = e^{-i\pi/2}$ posee argumento $-\pi/2$, la posición se encuentra exactamente en cuadratura de fase (retrasada $90^\circ$) respecto a la fuerza impulsora, lo cual confirma la condición de resonancia para un oscilador ligeramente amortiguado y permite deducir el coeficiente de amortiguamiento $\gamma = \frac{F_0}{m \omega_0 |\tilde{x}|}$.

Errores frecuentes

Error 1: olvidar el cuadrante al calcular el argumento con arctan

Parece razonable calcular $\theta = \arctan(y/x)$ directamente con la calculadora para cualquier número complejo. Falla porque la función arcotangente usual devuelve valores restringidos al intervalo $(-\pi/2, \pi/2)$, ignorando si $x$ es negativo y ubicando erróneamente puntos del segundo y tercer cuadrante en el cuarto o primer cuadrante. Se detecta dibujando el punto $(x,y)$ en el plano complejo y comprobando si el signo de $x$ es negativo. Se corrige utilizando la función $\text{atan2}(y, x)$ o sumando $\pi$ radianes cuando $x < 0$. Mini-ejemplo: para $z = -1 + i$, $\arctan(1/(-1)) = -45^\circ$, pero el ángulo físico correcto es $-45^\circ + 180^\circ = 135^\circ$.

Error 2: distribuir incorrectamente el conjugado complejo en productos y cocientes

Parece razonable pensar que el conjugado solo afecta a los términos aislados con $i$ explícita y olvidar conjugar factores dentro de un producto o denominador. Falla porque $(z_1 z_2)^* = z_1^* z_2^*$ y $(z_1/z_2)^* = z_1^*/z_2^*$; ignorar el conjugado en una de las partes altera drásticamente la fase final. Se detecta revisando si cada número complejo individual fue sustituido por su conjugado. Se corrige aplicando la regla $(A B)^* = A^* B^*$ de forma sistemática. Mini-ejemplo: si $z = \frac{1}{1 + i\omega}$, su conjugado es $z^* = \frac{1}{1 - i\omega}$, no $\frac{1}{1 + i\omega}$.

Error 3: calcular magnitudes no lineales directamente con fasores complejos

Parece razonable multiplicar dos cantidades complejas $\tilde{A} e^{i\omega t}$ y $\tilde{B} e^{i\omega t}$ para hallar su producto físico instantáneo (como potencia instantánea $p(t) = v(t) i(t)$). Falla porque $\text{Re}(\tilde{A}) \cdot \text{Re}(\tilde{B}) \neq \text{Re}(\tilde{A} \tilde{B})$; el producto de fasores directos genera términos de frecuencia doble $e^{i 2\omega t}$ que no representan la parte real del producto. Se detecta cuando una potencia calculada parece ser compleja en lugar de un valor real oscilante con promedio temporal bien definido. Se corrige tomando primero las partes reales antes de multiplicar, o usando la fórmula del producto fasorial promediado $\frac{1}{2} \text{Re}(\tilde{A} \tilde{B}^*)$. Mini-ejemplo: si $v(t) = \cos(\omega t)$ e $i(t) = \cos(\omega t)$, el producto real es $\cos^2(\omega t) = \frac{1}{2}(1 + \cos(2\omega t))$, mientras que $\text{Re}(e^{i\omega t} e^{i\omega t}) = \cos(2\omega t)$, perdiendo el término constante disipativo de $1/2$.

Error 4: confundir el signo de la fase temporal según la convención adoptada

Parece razonable intercambiar libremente $e^{i\omega t}$ con $e^{-i\omega t}$ asumiendo que solo cambia una convención arbitraria sin consecuencias. Falla porque cambiar el signo de la exponencial temporal invierte el significado físico de atraso o adelanto de fase, y transforma una onda que se propaga hacia la derecha ($e^{i(kx - \omega t)}$) en una onda hacia la izquierda si no se ajusta correlativamente el vector de onda espacial. Se detecta verificando si una señal retardada en el tiempo $t - t_0$ lleva el signo de fase esperado. Se corrige fijando desde el inicio del documento la convención temporal elegida y manteniéndola en todas las derivaciones. Mini-ejemplo: con convención $e^{i\omega t}$, una reactancia inductiva positiva $+i\omega L$ adelanta la tensión; con convención $e^{-i\omega t}$, la misma relación requeriría $-i\omega L$.

Error 5: dividir números complejos sin multiplicar por el conjugado del denominador

Parece razonable intentar simplificar $\frac{x_1 + i y_1}{x_2 + i y_2}$ dividiendo partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí: $\frac{x_1}{x_2} + i \frac{y_1}{y_2}$. Falla porque la división en el cuerpo de los complejos exige un denominador estrictamente real, y los componentes cartesianos se mezclan en una suma cruzada. Se detecta cuando el denominador sigue conteniendo unidades imaginarias. Se corrige multiplicando numerador y denominador por el conjugado $x_2 - i y_2$, obteniendo en el divisor la norma real $x_2^2 + y_2^2$. Mini-ejemplo: $\frac{1}{1+i} = \frac{1-i}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{2} = 0.5 - 0.5i$, completamente distinto de $1/1 + i/1 = 1 + i$.

Regla rápida de detección

Si el denominador de una expresión contiene $i$, si un cálculo de energía o potencia da un resultado imaginario, o si el ángulo polar calculado con arcotangente no coincide con el cuadrante visible en el plano $(x,y)$, hay un error en la manipulación del álgebra compleja.

Aplicaciones físicas

1. Circuitos de corriente alterna e impedancia compleja

Aparece al resolver redes eléctricas excitadas por fuentes sinusoidales donde intervienen resistencias, condensadores y bobinas. Se calcula asociando a cada componente su impedancia compleja: $Z_R = R$, $Z_L = i\omega L$ y $Z_C = \frac{1}{i\omega C}$, reduciendo ecuaciones integro-diferenciales a simple álgebra lineal de Ohm y Kirchhoff. El resultado da la relación de amplitudes y el ángulo de desfase entre la tensión aplicada y la corriente resultante. El error peligroso es sumar las reactancias como escalares reales en lugar de respetar la cuadratura de fase imaginaria. Como control final, el alumno debe explicar por qué una bobina pura adelanta la tensión en $90^\circ$ mientras un condensador la retrasa.

2. Oscilador armónico amortiguado y forzado

Aparece al modelar oscilaciones mecánicas con fricción viscosa bajo fuerzas armónicas externas $F(t) = F_0 e^{i\omega t}$. Se calcula proponiendo una solución particular de la forma $x(t) = \tilde{x}_0 e^{i\omega t}$, lo que convierte la ecuación diferencial de segundo orden en una ecuación algebraica para la amplitud compleja $\tilde{x}_0$. El resultado da la curva de resonancia en frecuencia y la curva de desfase mecánico entre la fuerza impulsora y el desplazamiento. El error peligroso es descartar la parte imaginaria de la posición compleja antes de calcular la velocidad por derivación temporal. Como control final, el alumno debe verificar que en resonancia de velocidad la velocidad está en fase con la fuerza impulsora.

3. Ondas electromagnéticas y medios absorbentes

Aparece al estudiar la propagación de luz y microondas en medios conductores o dieléctricos disipativos. Se calcula definiendo un índice de refracción complejo $\tilde{n} = n + i\kappa$, donde $n$ gobierna la velocidad de fase y $\kappa$ el coeficiente de extinción o absorción. El resultado da un factor espacial de onda plana $e^{i\tilde{k} x} = e^{-\kappa \frac{\omega}{c} x} e^{i n \frac{\omega}{c} x}$, describiendo simultáneamente la oscilación espacial y la atenuación exponencial de la amplitud según la ley de Beer-Lambert. El error peligroso es confundir el coeficiente de atenuación de amplitud con el de intensidad lumínica, que es el doble por depender del cuadrado de la amplitud. Como control final, el alumno debe justificar la relación entre la conductividad eléctrica y la parte imaginaria del índice de refracción.

4. Óptica ondulatoria y polarización de la luz

Aparece al describir el estado de polarización (lineal, circular o elíptica) de una onda electromagnética transversal mediante vectores de Jones complejos $\begin{pmatrix} E_{0x} e^{i\phi_x} \\ E_{0y} e^{i\phi_y} \end{pmatrix}$. Se calcula determinando la diferencia de fase $\Delta\phi = \phi_y - \phi_x$ entre las componentes ortogonales del campo eléctrico. El resultado predice la elipse descrita por el vector campo eléctrico a lo largo de un ciclo temporal. El error peligroso es asumir que amplitudes ortogonales iguales garantizan polarización circular sin comprobar si el desfase relativo es estrictamente de $\pm 90^\circ$. Como control final, el alumno debe explicar por qué un desfase de cero produce una onda linealmente polarizada inclinada.

5. Fundamentos de la función de onda en mecánica cuántica

Aparece en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo $i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H}\psi$. Se calcula determinando estados estacionarios $\psi(x,t) = \phi(x) e^{-i E t/\hbar}$, donde la fase compleja evoluciona a velocidad angular $\omega = E/\hbar$. El resultado da la densidad de probabilidad observable mediante el producto con el conjugado complejo $\rho(x) = \psi^* \psi = |\psi|^2$. El error peligroso es interpretar $\psi$ como una magnitud físicamente medible en un voltímetro o detector clásico, en vez de entender que solo las combinaciones bilineales conjugadas $\psi^* \psi$ y los valores esperados son observables reales. Como control final, el alumno debe demostrar que la probabilidad total $\int |\psi|^2 dx = 1$ permanece constante en el tiempo gracias a que el hamiltoniano es hermítico.

Practica

Nivel 1: reconocimiento

Expresa los siguientes números complejos en forma polar $r e^{i\theta}$ y dibújalos cualitativamente en el plano complejo: a) $z_1 = 1 + i$ b) $z_2 = -3$ c) $z_3 = -2i$ d) $z_4 = -\sqrt{3} + i$

Ejercicio: Para $z_4$, comprueba que el ángulo pertenece al segundo cuadrante calculando correctamente su argumento en radianes.

Nivel 2: aplicación directa

Realiza las siguientes operaciones algebraicas complejas y expresa el resultado final en forma binómica $x + i y$: a) $(3 + 4i)(1 - 2i)$ b) $\frac{5 + 5i}{3 - 4i}$ c) $(1 + i)^8$ utilizando la fórmula de Euler y el teorema de De Moivre.

Ejercicio: Halla el módulo y el conjugado de $\frac{2 + i}{1 - 3i}$.

Nivel 3: elección de herramienta

Dos ondas luminosas coherentes de la misma frecuencia inciden sobre un detector con intensidades relativas $I_1 = A_1^2$ e $I_2 = A_2^2$ y un desfase relativo $\Delta\phi$.

Ejercicio: Plantea la superposición de campos como la suma de dos fasores complejos $\tilde{E}_1 = A_1$ y $\tilde{E}_2 = A_2 e^{i\Delta\phi}$. Demuestra algebraicamente que la intensidad total $|\tilde{E}_1 + \tilde{E}_2|^2$ es igual a $A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\Delta\phi)$ sin necesidad de recurrir a identidades trigonométricas de sumas de cosenos.

Nivel 4: interpretación física

En un plasma conductor, la relación de dispersión para ondas electromagnéticas transversales conduce a una constante de propagación compleja $k = \beta + i \alpha$.

Ejercicio: Sustituye $k$ en la expresión espacial de la onda plana $e^{i k x}$ y explica físicamente qué representan $\beta$ y $\alpha$ sobre la velocidad de fase y la distancia de atenuación (longitud de penetración) en el plasma.

Nivel 5: error intencionado

Un estudiante intenta calcular la potencia media consumida por una carga compleja cuya tensión es $\tilde{V} = 100 e^{i 0}$ y cuya corriente es $\tilde{I} = 5 e^{-i \pi/3}$. El estudiante escribe: $P = \text{Re}(\tilde{V} \cdot \tilde{I}) = 100 \cdot 5 \cos(-\pi/3) = 250\text{ W}$.

Ejercicio: Analiza por qué la fórmula correcta para potencia activa debe incluir el conjugado de la corriente $\frac{1}{2} \text{Re}(\tilde{V} \tilde{I}^*)$ o trabajar con valores eficaces, identifica el factor $1/2$ omitido en amplitudes de pico y explica qué habría ocurrido si la fase de la tensión no fuera cero.