Fase y fasores

Representación de oscilaciones sinusoidales mediante fasores complejos en circuitos y fenómenos ondulatorios.

Que es

Un fasor es un vector complejo bidimensional $\tilde{A} = A e^{i\phi}$ que representa de forma invariante y compacta una magnitud física que oscila sinusoidalmente con el tiempo: $a(t) = A \cos(\omega t + \phi) = \text{Re}[\tilde{A} e^{i\omega t}]$. En esta formulación, el fasor $\tilde{A}$ contiene toda la información estática del estado oscilatorio: su amplitud máxima $A$ y su desfase inicial $\phi$, mientras que el factor armónico común $e^{i\omega t}$ describe la rotación temporal continua a velocidad angular $\omega$.

La fase instantánea $\Phi(t) = \omega t + \phi$ determina la posición en el ciclo oscilatorio. La diferencia de fase o desfase entre dos señales de idéntica frecuencia, $\Delta\phi = \phi_1 - \phi_2$, determina de manera unívoca si interfieren constructivamente (en fase, $\Delta\phi = 2\pi m$), destructivamente (en oposición de fase, $\Delta\phi = (2m+1)\pi$) o en cuadratura ($\Delta\phi = \pm \pi/2$).

Por qué aparece en física

El método de los fasores surge en física porque resolver circuitos lineales de corriente alterna y problemas de interferencia de múltiples ondas sumando directamente funciones sinusoidales en el dominio temporal mediante identidades trigonométricas resulta extraordinariamente farragoso y propenso a errores de cálculo.

Al transformar funciones sinusoidales en vectores en el plano complejo, la suma de $N$ ondas de la misma frecuencia $\sum_{k=1}^N A_k \cos(\omega t + \phi_k)$ se reduce a la simple suma vectorial de sus fasores asociados $\tilde{A}_{\text{tot}} = \sum_{k=1}^N \tilde{A}_k$. Aparece de modo fundamental en la teoría de circuitos RLC, en la difracción e interferencia óptica (redes de difracción, interferómetro de Michelson, rendijas múltiples), en la acústica de salas y en la dinámica de vibraciones forzadas acopladas.

Idea visual o geométrica

Imagina una flecha de longitud fija $A$ con origen en el centro del plano complejo que gira en sentido antihorario con velocidad angular constante $\omega$. La proyección horizontal de esta flecha sobre el eje real describe con exactitud el vaivén sinusoidal de la magnitud física real medida en el laboratorio.

Al superponer dos oscilaciones, se unen los fasores punta con cola en el instante $t=0$, exactamente igual que en la suma de vectores geométricos ordinarios. El fasor resultante une el origen común con el extremo de la cadena poligonal; su longitud física es la amplitud neta resultante y su ángulo con el eje real es el desfase global del sistema.

Lenguaje simbólico mínimo

• Fasor de amplitud y fase: $\tilde{A} = A e^{i\phi} = A(\cos\phi + i\sin\phi)$.
• Relación temporal: $a(t) = \text{Re}[\tilde{A} e^{i\omega t}] = A \cos(\omega t + \phi)$.
• Derivada temporal fasorial: $\frac{d a(t)}{dt} \leftrightarrow i\omega \tilde{A} = \omega A e^{i(\phi + \pi/2)}$ (rotación de $+90^\circ$).
• Integral temporal fasorial: $\int a(t) dt \leftrightarrow \frac{\tilde{A}}{i\omega} = \frac{A}{\omega} e^{i(\phi - \pi/2)}$ (retraso de $-90^\circ$).
• Impedancias fasoriales: $Z_R = R$, $Z_L = i\omega L = \omega L e^{i\pi/2}$, $Z_C = \frac{1}{i\omega C} = \frac{1}{\omega C} e^{-i\pi/2}$.
• Superposición fasorial: $\tilde{A}_{\text{tot}} = \sum_k \tilde{A}_k$, con amplitud resultante $A_{\text{tot}} = |\tilde{A}_{\text{tot}}|$.

Que significa el resultado

El módulo del fasor resultante $|\tilde{A}_{\text{tot}}|$ define la amplitud de pico de la onda o señal combinada. Si sumamos dos señales de igual amplitud $A$ con desfase $\Delta\phi$, el módulo resultante es $2 A \cos(\Delta\phi/2)$. Si $\Delta\phi = 0$, la amplitud se duplica ($2A$) y la intensidad se cuadruplica ($4A^2$, interferencia constructiva pura). Si $\Delta\phi = \pi$, el fasor resultante es nulo (interferencia destructiva completa).

El argumento del fasor $\arg(\tilde{A}_{\text{tot}})$ indica la fase con la que oscilará el sistema respecto al reloj de referencia $t=0$. En circuitos eléctricos, el desfase entre el fasor de tensión $\tilde{V}$ y el de corriente $\tilde{I}$ determina el factor de potencia $\cos\phi$, que cuantifica qué fracción de la energía entregada se disipa en trabajo útil frente a la energía almacenada reactivamente en campos electromagnéticos.

Cuando no debes usarlo

No puedes aplicar el método fasorial para sumar ondas o señales que poseen frecuencias distintas ($\omega_1 \neq \omega_2$): fasores con velocidades angulares diferentes giran a ritmos distintos, por lo que su ángulo relativo cambia constantemente y no existe un único fasor estático resultante. En tales casos, se producen fenómenos de pulsación o batimiento que deben tratarse mediante análisis espectral o series de Fourier.

Tampoco debes utilizar fasores en sistemas no lineales (como diodos, inductancias saturables o medios ópticos de polarización no lineal), pues la respuesta de un elemento no lineal a una entrada sinusoidal genera armónicos de frecuencia múltiplo que rompen la unicidad de la frecuencia de trabajo.

Resumen operativo

Verifica que todas las señales compartan la misma frecuencia angular $\omega$. Convierte cada señal sinusoidal $A_k \cos(\omega t + \phi_k)$ a su fasor complejo $\tilde{A}_k = A_k e^{i\phi_k}$. Suma los fasores descomponiéndolos en componentes cartesianas: $X = \sum A_k \cos\phi_k$, $Y = \sum A_k \sin\phi_k$. Obtén la amplitud resultante como $A_{\text{tot}} = \sqrt{X^2 + Y^2}$ y la fase como $\phi_{\text{tot}} = \text{atan2}(Y, X)$. Reconstruye la señal física temporal como $A_{\text{tot}} \cos(\omega t + \phi_{\text{tot}})$.

Procedimiento

Antes de calcular

Verifica que todas las fuentes u oscilaciones involucradas en el problema operen estrictamente a la misma frecuencia angular $\omega$.

Elige una referencia común de fase (usualmente el fasor de la tensión de entrada o la primera onda que incide) asignándole fase inicial $\phi = 0$.

Paso 1: identifica el objeto matemático

Expresa cada magnitud sinusoidal como un fasor en forma polar: $\tilde{A}_k = A_k \angle \phi_k = A_k e^{i\phi_k}$.

Si alguna señal está dada en términos de seno, conviértela a coseno utilizando la identidad $\sin(\omega t) = \cos(\omega t - \pi/2)$ para mantener una base temporal coherente.

Paso 2: elige la operación

Para sumar ondas o corrientes en un nudo de Kirchhoff, convierte los fasores a coordenadas rectangulares: $X_k = A_k \cos\phi_k$, $Y_k = A_k \sin\phi_k$.

Para calcular impedancias equivalentes en serie o paralelo, opera con las reglas algebraicas complejas de suma y producto sobre suma.

Paso 3: conserva unidades y signos

Asegúrate de que los desfases $\phi_k$ estén en radianes si vas a programar el cálculo o evaluar funciones algebraicas analíticas.

Presta atención a los signos: una señal que adelanta a la referencia lleva fase $+\phi$, mientras que una que retrasa lleva fase $-\phi$.

Paso 4: calcula

Suma las componentes cartesianas totales: $X_{\text{tot}} = \sum_{k=1}^N X_k$, $Y_{\text{tot}} = \sum_{k=1}^N Y_k$.

Calcula la amplitud del fasor resultante: $A_{\text{tot}} = \sqrt{X_{\text{tot}}^2 + Y_{\text{tot}}^2}$. Calcula la fase neta resultante: $\phi_{\text{tot}} = \text{atan2}(Y_{\text{tot}}, X_{\text{tot}})$.

Paso 5: interpreta el resultado

Escribe la ecuación temporal final de la magnitud física: $a_{\text{tot}}(t) = A_{\text{tot}} \cos(\omega t + \phi_{\text{tot}})$.

Evalúa si la amplitud resultante es coherente con los límites teóricos posibles (debe estar comprendida entre $|A_1 - A_2|$ y $A_1 + A_2$).

Checklist de autocontrol

• ¿Todas las señales tenían idéntica frecuencia angular $\omega$?
• ¿Convertiste todos los términos de seno a coseno antes de extraer las fases?
• ¿Usaste $\text{atan2}$ para no equivocar el cuadrante de la fase resultante?
• ¿El valor de la amplitud neta está dentro de los límites de interferencia permitidos?

Ejemplo guiado

Situación física

Dos ondas electromagnéticas coherentes de la misma frecuencia inciden sobre un sensor. Sus campos eléctricos en el punto de detección vienen descritos por $E_1(t) = 3 \cos(\omega t)\text{ V/m}$ y $E_2(t) = 4 \cos(\omega t + \pi/2)\text{ V/m}$. Se desea hallar el campo eléctrico total resultante $E(t)$.

Traducción matemática

Convertimos las dos señales a fasores complejos: $\tilde{E}_1 = 3 e^{i 0} = 3 + 0 i$ y $\tilde{E}_2 = 4 e^{i \pi/2} = 0 + 4 i$. El campo total se obtiene por superposición fasorial: $\tilde{E} = \tilde{E}_1 + \tilde{E}_2$.

Calculo paso a paso

1. Suma de componentes reales: $X = 3 + 0 = 3\text{ V/m}$.
2. Suma de componentes imaginarias: $Y = 0 + 4 = 4\text{ V/m}$.
3. Fasor resultante: $\tilde{E} = 3 + 4 i\text{ V/m}$.
4. Amplitud total: $E_0 = |\tilde{E}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\text{ V/m}$.
5. Fase resultante: $\phi = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.927\text{ rad} \approx 53.13^\circ$.

Lectura del resultado

El campo eléctrico resultante oscila como $E(t) = 5 \cos(\omega t + 0.927)\text{ V/m}$. Aunque la suma escalar directa de las amplitudes habría dado $3 + 4 = 7\text{ V/m}$, el desfase de $90^\circ$ (cuadratura de fase) hace que los fasores sean perpendiculares, produciendo una hipotenusa de $5\text{ V/m}$.

Error común evitado

Se evitó sumar las amplitudes como números reales ordinarios ($3 + 4 = 7$), olvidando que las fases relativas actúan como ángulos de vectores en el plano complejo.

Ejemplo inverso

Resultado dado

Al superponer dos señales de igual amplitud desconocida $A_0$ con un desfase de $120^\circ$ ($2\pi/3$), el detector registra una amplitud resultante neta de $10\text{ V}$.

Que pregunta física permite responder

Permite deducir la amplitud individual de las fuentes emisoras: mediante el diagrama fasorial, dos vectores de longitud $A_0$ que forman un ángulo de $120^\circ$ configuran un triángulo equilátero con el fasor resultante, de modo que $A_{\text{tot}} = 2 A_0 \cos(60^\circ) = A_0$. Por tanto, cada fuente individual emite exactamente $A_0 = 10\text{ V}$, permitiendo calibrar la potencia de emisión sin apagar ninguna de las dos fuentes.

Errores frecuentes

Error 1: mezclar funciones seno y coseno sin homogeneizar la referencia de fase

Parece razonable tomar la fase que aparece dentro del paréntesis sin importar si la función está escrita como seno o como coseno. Falla porque $\sin(\omega t) = \cos(\omega t - \pi/2)$; ignorar este desfase intrínseco de $90^\circ$ introduce un error sistemático de cuadratura en el fasor. Se detecta revisando si las ecuaciones de partida mezclan términos en $\sin$ y $\cos$. Se corrige convirtiendo sistemáticamente todas las señales a la función coseno antes de extraer el fasor. Mini-ejemplo: para $v(t) = 5 \sin(\omega t)$, el fasor correcto es $5 e^{-i\pi/2} = -5i$, no $5 e^{i 0} = 5$.

Error 2: intentar sumar fasores de frecuencias angulares distintas

Parece razonable sumar dos tensiones fasoriales de $50\text{ Hz}$ y $60\text{ Hz}$ como si fueran vectores fijos en el plano complejo. Falla porque cada fasor gira con una velocidad angular distinta ($\\omega_1 \neq \omega_2$), lo que significa que el ángulo relativo entre ellos no es constante sino que varía continuamente con el tiempo $\Delta\Phi(t) = (\omega_1 - \omega_2)t$. Se detecta verificando si el problema declara valores distintos de $\omega$. Se corrige manteniendo las señales separadas en el dominio temporal o utilizando el análisis espectral de Fourier. Mini-ejemplo: sumar $10 \cos(100 t)$ y $10 \cos(200 t)$ no produce un único fasor resultante de amplitud fija.

Error 3: sumar módulos directamente despreciando la interferencia fasorial

Parece razonable estimar la amplitud total de dos ondas sumando sus amplitudes individuales $A_{\text{tot}} = A_1 + A_2$. Falla porque la suma escalar solo es válida en el caso particular de interferencia constructiva pura (desfase nulo); para cualquier otro ángulo, la interferencia reduce la amplitud. Se detecta cuando la amplitud calculada excede el valor vectorial $\sqrt{X^2 + Y^2}$. Se corrige sumando siempre las proyecciones cartesianas de los fasores antes de calcular el módulo. Mini-ejemplo: si $A_1 = 3$ y $A_2 = 4$ con $\Delta\phi = 90^\circ$, la amplitud real es $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, no $3 + 4 = 7$.

Error 4: confundir adelanto con retraso de fase en el signo exponencial

Parece razonable asociar un retraso temporal $t - t_0$ con un signo positivo de fase en la forma exponencial. Falla porque al evaluar $\cos(\omega(t - t_0)) = \cos(\omega t - \omega t_0)$, un retraso físico temporal corresponde estrictamente a una fase inicial negativa $-\phi_0$. Se detecta comprobando si el pico de la señal retrasada ocurre a tiempos positivos mayores que el de la referencia. Se corrige aplicando la regla: retraso temporal equivale a fase negativa ($-\omega t_0$), y adelanto equivale a fase positiva ($+\omega t_0$). Mini-ejemplo: una corriente que retrasa $30^\circ$ respecto a la tensión tiene fasor $\tilde{I} = I_0 e^{-i \pi/6}$.

Error 5: olvidar el factor 1/2 en el cálculo de potencia fasorial promedio

Parece razonable calcular la potencia activa promedio como el producto simple de los módulos de los fasores de pico $V_0 I_0 \cos\phi$. Falla porque el promedio temporal del producto de dos funciones armónicas $\cos^2(\omega t)$ introduce un factor de $\frac{1}{2}$. Se detecta cuando la potencia calculada con valores de pico duplica la potencia medida por un vatímetro real. Se corrige utilizando la fórmula $P = \frac{1}{2} V_0 I_0 \cos\phi$ si se emplean amplitudes de pico, o $P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos\phi$ con valores eficaces. Mini-ejemplo: con $V_0 = 100\text{ V}$ e $I_0 = 2\text{ A}$ en fase, la potencia real es $\frac{1}{2}(100)(2) = 100\text{ W}$, no $200\text{ W}$.

Regla rápida de detección

Si la amplitud de la suma de dos señales supera la suma de sus módulos, si intentas representar con un solo fasor dos frecuencias diferentes, o si omites el desfase de $-90^\circ$ al convertir de seno a coseno, hay un fallo en el planteamiento fasorial.

Aplicaciones físicas

1. Análisis de circuitos de corriente alterna y redes eléctricas

Aparece al calcular tensiones, corrientes y potencias en redes eléctricas sinusoidales de distribución. Se calcula representando impedancias ($R$, $i\omega L$, $1/i\omega C$) y fuentes de alimentación como fasores, resolviendo las ecuaciones de mallas y nudos mediante álgebra lineal. El resultado da el factor de potencia $\cos\phi$ y determina la compensación reactiva necesaria mediante bancos de condensadores. El error peligroso es omitir el signo del desfase entre tensión e intensidad, confundiendo potencia inductiva con capacitiva. Como control final, el alumno debe comprobar que la adición de condensadores en paralelo reduce la corriente total suministrada por la red manteniendo constante la potencia activa disipada.

2. Interferencia de doble rendija y redes de difracción

Aparece al modelar el patrón de intensidad luminosa generado por múltiples fuentes coherentes en el experimento de Young o en redes de difracción. Se calcula sumando una serie de $N$ fasores iguales con un desfase sucesivo constante $\delta = \frac{2\pi}{\lambda} d \sin\theta$. El resultado da la clásica función de intensidad $I(\theta) = I_0 \left(\frac{\sin(N\delta/2)}{\sin(\delta/2)}\right)^2$. El error peligroso es asumir que la intensidad máxima crece linealmente con el número de rendijas ($N$) en lugar de cuadráticamente ($N^2$) en los máximos principales. Como control final, el alumno debe explicar mediante el polígono cerrado de fasores por qué la intensidad se anula en los mínimos adyacentes a cada máximo principal.

3. Oscilaciones forzadas y resonancia mecánica

Aparece al estudiar la respuesta estacionaria de puentes, edificios y motores sometidos a vibraciones periódicas externas. Se calcula planteando la fuerza impulsora fasorial $\tilde{F} = F_0 e^{i\omega t}$ y resolviendo para la amplitud compleja $\tilde{x}_0 = \frac{F_0/m}{(\omega_0^2 - \omega^2) + i\gamma\omega}$. El resultado da la amplitud máxima de deformación y muestra que el desplazamiento retrasa exactamente $90^\circ$ respecto a la fuerza impulsora en resonancia. El error peligroso es calcular la amplitud en resonancia despreciando el término de amortiguamiento imaginario, lo que predeciría una amplitud infinita físicamente irreal. Como control final, el alumno debe trazar la trayectoria del fasor posición en el plano complejo a medida que la frecuencia varía desde cero hasta valores muy superiores a la frecuencia propia.

4. Líneas de transmisión y ondas estacionarias

Aparece en ingeniería de telecomunicaciones y física de radiofrecuencia al estudiar la reflexión de ondas electromagnéticas en cables coaxiales y guías de onda. Se calcula sumando el fasor de la onda incidente y el fasor de la onda reflejada: $\tilde{V}(z) = V^+ e^{-i k z} + V^- e^{i k z}$. El resultado predice la relación de onda estacionaria (ROE o SWR) y la impedancia vista en cualquier punto de la línea. El error peligroso es olvidar que el coeficiente de reflexión en una carga no adaptada es complejo, introduciendo un desfase angular que desplaza la posición espacial de los vientres y nodos de tensión. Como control final, el alumno debe explicar por qué una terminación en cortocircuito produce un nodo de tensión exacto en el extremo de la línea.

5. Acústica arquitectónica e interferencia destructiva en recintos

Aparece al diseñar auditorios y sistemas de reducción activa de ruido (auriculares con cancelación de ruido). Se calcula generando una onda sonora secundaria cuyo fasor de presión acústica $\tilde{p}_{\text{anti}}$ sea idéntico en amplitud pero con un desfase de $180^\circ$ ($\\pi$ radianes) respecto a la onda de ruido incidente: $\tilde{p}_{\text{anti}} = -\tilde{p}_{\text{ruido}}$. El resultado produce una extinción por interferencia destructiva casi perfecta en la zona auditiva. El error peligroso es no tener en cuenta el retardo temporal en el procesamiento digital, lo que introduce un desfase parásito dependiente de la frecuencia que puede convertir la cancelación en amplificación no deseada. Como control final, el alumno debe evaluar el límite de frecuencia superior para el cual el control activo de ruido sigue siendo eficaz antes de que la longitud de onda sea comparable a la distancia espacial entre micrófonos y altavoces.

Practica

Nivel 1: reconocimiento

Determina el fasor asociado a cada una de las siguientes señales temporales y dibújalo en el plano complejo: a) $v_1(t) = 12 \cos(50 t + \pi/4)\text{ V}$ b) $v_2(t) = 8 \sin(50 t)\text{ V}$ (recuerda convertir a coseno) c) $v_3(t) = -5 \cos(50 t)\text{ V}$

Ejercicio: Identifica cuál de las tres señales está más adelantada en el tiempo respecto a la referencia $\cos(50 t)$.

Nivel 2: aplicación directa

En un nudo de un circuito de alterna confluyen dos corrientes sinusoidales de $60\text{ Hz}$: $i_1(t) = 10 \cos(\omega t)\text{ A}$ e $i_2(t) = 10 \cos(\omega t - \pi/3)\text{ A}$.

Ejercicio: Utiliza fasores para hallar la corriente total resultante $i_{\text{tot}}(t) = i_1(t) + i_2(t)$, calculando su amplitud de pico y su ángulo de desfase en grados.

Nivel 3: elección de herramienta

Se tienen tres ondas sonoras de la misma frecuencia con amplitudes $A_1 = A_0$, $A_2 = A_0$ y $A_3 = A_0$ y desfases sucesivos de $\Delta\phi = 2\pi/3$ ($120^\circ$).

Ejercicio: Plantea la suma vectorial de los tres fasores correspondientes. Demuestra geométricamente y analíticamente por qué la amplitud total resultante es estrictamente cero (interferencia destructiva total por simetría trifásica).

Nivel 4: interpretación física

En un experimento de difracción de Fraunhofer por una rendija simple de anchura $a$, la amplitud resultante se obtiene integrando infinitos fasores diferenciales distribuidos uniformemente sobre un arco circular en el plano complejo.

Ejercicio: Explica a partir del diagrama fasorial por qué el primer mínimo de difracción ocurre cuando la diferencia de fase total entre los extremos de la rendija es $\beta = 2\pi$, haciendo que la cadena de fasores forme una circunferencia completa cerrada.

Nivel 5: error intencionado

Un técnico suma dos tensiones de alterna: $v_1(t) = 100 \cos(100 t)\text{ V}$ y $v_2(t) = 100 \cos(200 t)\text{ V}$ mediante fasores. Escribe $\tilde{V}_1 = 100 \angle 0^\circ$, $\tilde{V}_2 = 100 \angle 0^\circ$ y concluye que la tensión resultante es $v(t) = 200 \cos(150 t)\text{ V}$.

Ejercicio: Explica por qué este procedimiento es conceptualmente incorrecto, por qué no es posible sumar fasores que rotan a frecuencias angulares diferentes ($\\omega_1 \neq \omega_2$) y describe la naturaleza real de la señal resultante (batimiento o modulación de amplitud).