Propagación de errores

Cálculo diferencial de propagación de errores sistemáticos y aleatorios en magnitudes físicas derivadas.

Qué es

La propagación de incertidumbres es el marco matemático riguroso que permite calcular cómo la variabilidad, dispersión o tolerancia experimental de una o varias magnitudes medidas directamente se transfiere a una magnitud física derivada calculada mediante una relación funcional $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$.

Se fundamenta en la aproximación de primer orden de Taylor alrededor de los valores esperados o medias muestrales de las variables independientes. Cuando las fluctuaciones son pequeñas respecto a los valores medios, la desviación de la magnitud dependiente respecto a su valor central se aproxima mediante una combinación lineal ponderada por las derivadas parciales de la función: $\Delta y \approx \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \Delta x_i$

Al calcular el valor cuadrático medio de esta desviación para variables aleatorias no correlacionadas, se obtiene la clásica fórmula de Gauss para la propagación de incertidumbres estándar: $\sigma_y = \sqrt{\sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right)^2 \sigma_{x_i}^2}$

Si existe correlación estadística entre las variables de entrada (por ejemplo, mediciones calibradas con el mismo instrumento o dependientes de la misma deriva térmica), es indispensable incorporar los términos de covarianza cruzada: $\sigma_y = \sqrt{\sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right)^2 \sigma_{x_i}^2 + 2 \sum_{i < j} \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} \operatorname{cov}(x_i, x_j)}$

Por qué aparece en física

En física casi ninguna magnitud de interés fundamental o ingenieril se mide de manera aislada o directa. Calculamos densidades $\rho = m / V$, módulos elásticos $E = (F L)/(A \Delta L)$, aceleraciones de la gravedad mediante péndulos $g = 4\pi^2 L / T^2$, o energías cinéticas $E_c = \frac{1}{2} m v^2$.

En cada uno de estos casos, las incertidumbres de las magnitudes primarias (la masa medida en balanza, la longitud medida con calibre, el tiempo medido con cronómetro) interactúan de forma no lineal. Sin la propagación de errores:

1. Sería imposible emitir una conclusión sobre la validez de una ley física o afirmar si una discrepancia experimental refuta una hipótesis teórica o es un mero artefacto del ruido instrumental.
2. No se podría saber qué instrumento aporta la mayor parte de la incertidumbre final (análisis de contribución de varianza), lo que impediría optimizar el diseño experimental.
3. Se cometería el gravísimo error de sumar cotas de error absolutas ingenuamente, sobrestimando la incertidumbre en unas ocasiones o subestimándola peligrosamente al omitir covarianzas.

Idea visual o geométrica

Geométricamente, una función multivariable $f(x_1, \dots, x_n)$ define una hipersuperficie en el espacio euclidiano. La incertidumbre de entrada para variables no correlacionadas define un hiperelipsoide o caja de dispersión centrada en $(\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n)$ con semiejes dados por las desviaciones estándar $\sigma_{x_i}$.

El gradiente $\nabla f = (\partial f/\partial x_1, \dots, \partial f/\partial x_n)$ representa el vector normal y la dirección de máxima variación de la función. La propagación lineal proyecta el hiperelipsoide de incertidumbre sobre el gradiente local. Cuanto más empinada sea la pendiente parcial respecto a una variable, mayor será la amplificación geométrica de su dispersión hacia la salida. Cuando existe covarianza, el elipsoide de incertidumbre está rotado respecto a los ejes de coordenadas principales, lo que altera sustancialmente la proyección sobre la superficie tangente.

Lenguaje simbólico mínimo

1. Fórmula general de Gauss (independientes): $\sigma_f^2 = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right)^2 \sigma_i^2$
2. Suma y resta lineal ($f = a x + b y$): $\sigma_f = \sqrt{a^2 \sigma_x^2 + b^2 \sigma_y^2}$ Las incertidumbres absolutas se suman en cuadratura ponderadas por sus coeficientes constantes.
3. Producto y cociente ($f = c x^a y^b$): $\frac{\sigma_f}{|f|} = \sqrt{a^2 \left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2 + b^2 \left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}$ Las incertidumbres relativas se combinan en cuadratura ponderadas por el exponente respectivo.
4. Término de covarianza con coeficiente de correlación $r_{xy}$: $\operatorname{cov}(x, y) = r_{xy} \sigma_x \sigma_y$ $\sigma_f^2 = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 \sigma_x^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 \sigma_y^2 + 2 \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y} r_{xy} \sigma_x \sigma_y$

Qué significa el resultado

El valor resultante $\sigma_y$ obtenido representa la desviación estándar estimada de la distribución de probabilidad de la magnitud de salida $y$. Cuando las fuentes de error de entrada son normales o se combinan múltiples fuentes independientes (activando el Teorema del Límite Central), el intervalo $[\bar{y} - \sigma_y, \bar{y} + \sigma_y]$ contiene el verdadero valor con un nivel de confianza estadístico aproximado del $68.3\%$ (para cobertura $k=1$), o bien $[\bar{y} - 2\sigma_y, \bar{y} + 2\sigma_y]$ para un nivel de confianza del $95.4\%$ ($k=2$).

Asimismo, la descomposición de varianza $\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_{x_i}^2 / \sigma_y^2$ cuantifica exactamente qué porcentaje del error global es atribuible a cada instrumento experimental individual.

Cuándo no debes usarlo

1. Fluctuaciones grandes respecto al valor central: Si $\sigma_x / \bar{x}$ supera aproximadamente el $15\%-20\%$ y la función $f$ presenta una curvatura no lineal marcada (por ejemplo, $f(x) = 1/x^2$ o $f(x) = \exp(x)$), la aproximación lineal de Taylor colapsa. En tales casos la distribución de salida se vuelve fuertemente asimétrica y es imperativo emplear simulación Monte Carlo o cálculo exacto por transformación de variables aleatorias.
2. Singularidades y divisiones por cero: Si el intervalo de confianza de un denominador abarca o se aproxima peligrosamente al cero ($x \pm \sigma_x$ con $\bar{x} \sim \sigma_x$), la varianza formal de $1/x$ diverge a infinito y la fórmula de Gauss produce estimaciones delirantes o matemáticamente indefinidas.
3. Variables fuertemente correlacionadas tratadas como independientes: Si dos variables comparten una calibración sistemática común o derivan de la misma medición, ignorar la covarianza puede subestimar la incertidumbre en órdenes de magnitud o impedir la cancelación legítima de errores sistemáticos opuestos.

Resumen operativo

• Plantea la función matemática explícita $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$.
• Calcula todas las derivadas parciales analíticas $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ y evalúalas en los valores centrales medios $(\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n)$.
• Identifica si las magnitudes son independientes ($r_{ij} = 0$) o correlacionadas ($r_{ij} \neq 0$).
• Aplica la suma en cuadratura de Gauss con o sin covarianza según corresponda.
• Expresa el resultado final redondeando la incertidumbre a una o dos cifras significativas y truncando el valor medio a la misma posición decimal.

Procedimiento de Propagación de Errores e Incertidumbre

Antes de calcular

Antes de manipular fórmulas, cerciórate de que las variables de entrada cuentan con sus valores centrales $\bar{x}_i$ y sus incertidumbres estándar asociadas $\sigma_{x_i}$ expresadas en el mismo nivel de confianza (típicamente $1\sigma$, desviación estándar combinada según GUM / ISO). Verifica que las unidades físicas sean coherentes y determina si existe algún vínculo experimental o correlación cruzada entre las variables medidas.

Paso 1: identifica el objeto matemático

Escribe con absoluta claridad la función física que relaciona las variables de entrada con la magnitud final de salida: $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ Examina la estructura funcional:

• ¿Es una combinación lineal pura ($y = a x_1 + b x_2$)?
• ¿Es un producto de potencias o monomio ($y = C x_1^a x_2^b$)?
• ¿Es una función trascendente o multivariable compleja ($y = \ln(x) + \sin(k x) / z$)?

Paso 2: elige la operación

Determina la estrategia de derivación más eficiente:

• Para monomios y productos: Aplica el método de incertidumbre relativa logarítmica $\frac{\sigma_y}{|y|} = \sqrt{\sum a_i^2 (\sigma_i/x_i)^2}$, lo que ahorra derivaciones parciales largas.
• Para sumas y restas: Aplica la suma directa de varianzas ponderadas $\sigma_y = \sqrt{\sum a_i^2 \sigma_i^2}$.
• Para funciones generales: Calcula analíticamente las derivadas parciales individuales $\frac{\partial f}{\partial x_i}$.

Paso 3: conserva unidades y signos

Evalúa cada derivada parcial numéricamente en el punto de trabajo medio $(\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n)$.

• Cada derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ porta dimensiones físicas correspondientes a $[y] / [x_i]$.
• Al multiplicarla por la incertidumbre $\sigma_{x_i}$ (cuyas unidades son $[x_i]$), el producto $(\partial f / \partial x_i) \sigma_{x_i}$ adquiere de manera exacta las unidades de la magnitud de salida $[y]$.
• Conserva el signo algebraico de las derivadas parciales si existen términos de covarianza, ya que productos de signos opuestos con covarianza positiva restan varianza global.

Paso 4: calcula

Sustituye los valores en la expresión de Gauss: $\sigma_y = \sqrt{\sum_{i=1}^n \left( \left. \frac{\partial f}{\partial x_i} \right|_{\bar{x}} \cdot \sigma_{x_i} \right)^2 + 2 \sum_{i < j} \left. \frac{\partial f}{\partial x_i} \right|_{\bar{x}} \left. \frac{\partial f}{\partial x_j} \right|_{\bar{x}} \operatorname{cov}(x_i, x_j)}$ Calcula el valor central de la magnitud evaluando la función: $\bar{y} = f(\bar{x}_1, \bar{x}_2, \dots, \bar{x}_n)$

Paso 5: interpreta el resultado

• Presupuesto de incertidumbre: Identifica cuál de los sumandos cuadráticos $\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_i^2$ representa el mayor porcentaje del total. Ese término identifica el cuello de botella del experimento.
• Cifras significativas: Redondea la incertidumbre estándar $\sigma_y$ a una o como máximo dos cifras significativas (por convenio GUM).
• Ajusta el valor central $\bar{y}$ para que termine en el mismo orden decimal que la última cifra significativa de $\sigma_y$.
• Expresa el resultado como: $y = (\bar{y} \pm \sigma_y) \text{ [unidades] (nivel de confianza 68.3\%)}$

Checklist de autocontrol

• ¿Tienen todos los términos de la suma cuadrática las mismas dimensiones y unidades físicas?
• ¿He comprobado si las variables son independientes antes de anular los términos de covarianza?
• ¿He verificado que las incertidumbres relativas $\sigma_{x_i} / x_i$ sean lo bastante pequeñas ($< 15\%$) para validar la aproximación de primer orden?
• ¿Coincide el número de decimales del valor central con la posición de la incertidumbre redondeada?
• ¿He aplicado el cuadrado a los coeficientes de las derivadas y a las incertidumbres dentro de la raíz?

Ejemplo guiado: Densidad de una esfera sólida

Situación física

Se desea determinar la densidad volumétrica $\rho$ de una esfera metálica de precisión mediante la medición independiente de su masa $m$ en una balanza digital y de su diámetro $d$ utilizando un calibre Vernier. Los datos experimentales obtenidos son:

• Masa: $m = (145.20 \pm 0.05) \text{ g}$
• Diámetro: $d = (3.240 \pm 0.005) \text{ cm}$

Las dos mediciones son completamente independientes (instrumentos distintos).

Traducción matemática

La densidad se expresa en función de masa y diámetro como: $\rho(m, d) = \frac{m}{V} = \frac{m}{\frac{4}{3}\pi \left(\frac{d}{2}\right)^3} = \frac{6 m}{\pi d^3} = \frac{6}{\pi} m d^{-3}$ Al tratarse de una expresión potencial tipo monomio, la propagación relativa en cuadratura es óptima: $\left(\frac{\sigma_\rho}{\rho}\right)^2 = \left(1 \cdot \frac{\sigma_m}{m}\right)^2 + \left(-3 \cdot \frac{\sigma_d}{d}\right)^2 = \left(\frac{\sigma_m}{m}\right)^2 + 9 \left(\frac{\sigma_d}{d}\right)^2$

Cálculo paso a paso

1. Valor central de la densidad: $\bar{\rho} = \frac{6 \cdot 145.20}{\pi \cdot (3.240)^3} = \frac{871.20}{\pi \cdot 34.012224} = \frac{871.20}{106.8524} \approx 8.1533 \text{ g/cm}^3$
2. Incertidumbres relativas individuales: $\frac{\sigma_m}{m} = \frac{0.05}{145.20} \approx 0.0003443 \quad (0.0344\%)$ $\frac{\sigma_d}{d} = \frac{0.005}{3.240} \approx 0.0015432 \quad (0.1543\%)$
3. Ponderación y suma en cuadratura: $\left(\frac{\sigma_\rho}{\rho}\right)^2 = (0.0003443)^2 + 9 \cdot (0.0015432)^2 = 1.185 \times 10^{-7} + 9 \cdot 2.381 \times 10^{-6}$ $\left(\frac{\sigma_\rho}{\rho}\right)^2 = 1.185 \times 10^{-7} + 2.143 \times 10^{-5} = 2.155 \times 10^{-5}$ $\frac{\sigma_\rho}{\rho} = \sqrt{2.155 \times 10^{-5}} \approx 0.004642 \quad (0.464\%)$
4. Incertidumbre absoluta: $\sigma_\rho = \bar{\rho} \cdot 0.004642 = 8.1533 \cdot 0.004642 \approx 0.03785 \text{ g/cm}^3$

Lectura del resultado

Redondeando la incertidumbre a una cifra significativa: $\sigma_\rho = 0.04 \text{ g/cm}^3$ (o a dos cifras: $0.038 \text{ g/cm}^3$). El valor central ajustado es: $\rho = (8.15 \pm 0.04) \text{ g/cm}^3 \quad [\text{o } (8.153 \pm 0.038) \text{ g/cm}^3]$ El análisis revela que la medición del diámetro aporta el $99.4\%$ de la varianza total ($2.143 \times 10^{-5}$ frente a $1.185 \times 10^{-7}$). El factor multiplicador 3 del exponente al elevarse al cuadrado multiplica el peso de la incertidumbre relativa por 9. Para reducir el error de la densidad es inútil comprar una balanza más precisa; es imperativo mejorar la medida geométrica del diámetro.

Error común evitado

Sumar linealmente los errores relativos: $\sigma_\rho / \rho = (\sigma_m/m) + 3(\sigma_d/d) = 0.00034 + 0.00463 = 0.00497$ en vez de sumar en cuadratura. La suma lineal asume correlación perfecta positiva de los peores casos, lo cual viola la estadística de variables independientes aleatorias.

Ejemplo inverso: Tolerancia requerida para medir la gravedad con un péndulo

Situación física

Se desea diseñar un experimento de laboratorio de física para medir la aceleración de la gravedad $g$ mediante un péndulo simple con un error relativo estricto no superior al $0.2\%$ (es decir, $\sigma_g / g \leq 0.002$). Se conoce la longitud nominal del hilo $L = 1.000 \text{ m}$ medida con una cinta calibrada con $\sigma_L = 0.001 \text{ m}$ ($0.1\%$).

Resultado dado

Incertidumbre global objetivo: $\frac{\sigma_g}{g} \leq 0.002$. Incertidumbre en la longitud: $\frac{\sigma_L}{L} = \frac{0.001}{1.000} = 0.001$.

Reconstrucción analítica

La relación teórica del periodo de pequeñas oscilaciones es $T = 2\pi \sqrt{L/g}$, de donde: $g = 4\pi^2 \frac{L}{T^2} = 4\pi^2 L T^{-2}$ La propagación de incertidumbre relativa en cuadratura establece: $\left(\frac{\sigma_g}{g}\right)^2 = \left(\frac{\sigma_L}{L}\right)^2 + 4 \left(\frac{\sigma_T}{T}\right)^2$ Despejando la tolerancia máxima admisible para el periodo $\sigma_T / T$: $4 \left(\frac{\sigma_T}{T}\right)^2 = \left(\frac{\sigma_g}{g}\right)^2 - \left(\frac{\sigma_L}{L}\right)^2$ $\frac{\sigma_T}{T} = \frac{1}{2} \sqrt{(0.002)^2 - (0.001)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \times 10^{-6} - 1 \times 10^{-6}} = \frac{\sqrt{3 \times 10^{-6}}}{2} \approx \frac{0.001732}{2} = 0.000866$

Para un periodo nominal $T \approx 2\pi \sqrt{1.0 / 9.81} \approx 2.006 \text{ s}$: $\sigma_T \leq 2.006 \cdot 0.000866 \approx 0.00174 \text{ s} = 1.74 \text{ ms}$

Qué pregunta física permite responder

¿Cuántas oscilaciones consecutivas $N$ deben cronometrarse si la reacción humana con cronómetro manual tiene una incertidumbre típica de $\Delta t_{\text{reacc}} \approx 0.15 \text{ s}$? Como el periodo medio de una oscilación medido en $N$ ciclos tiene una incertidumbre $\sigma_T = \frac{\sigma_{\text{cron}}}{N} = \frac{0.15}{N}$, imponemos: $\frac{0.15}{N} \leq 0.00174 \implies N \geq \frac{0.15}{0.00174} \approx 86.2$ Se deben registrar al menos 90 o 100 oscilaciones completas para que el cronometraje manual satisfaga el objetivo metrológico sin necesidad de foto-puertas electrónicas.

Verificación de límites

Si $\sigma_L / L \geq \sigma_g / g$, el radicando se vuelve negativo o cero, indicando físicamente que es matemáticamente imposible alcanzar la precisión deseada en $g$ sin mejorar antes la medición de longitud, aun disponiendo de un reloj atómico perfecto ($\sigma_T = 0$).

Errores comunes en Propagación de Errores e Incertidumbre

1. Sumar linealmente incertidumbres en lugar de sumar en cuadratura

Parece razonable porque uno tiende a pensar en el "peor escenario posible" donde todos los errores instrumentales conspiran en la misma dirección desfavorable. Falla porque para variables aleatorias e independientes, la probabilidad de que todas las mediciones alcancen simultáneamente sus valores extremos en la dirección más perjudicial es insignificante; las fluctuaciones positivas y negativas tienden a cancelarse parcialmente en media cuadrática. Se detecta cuando las barras de error experimentales reportadas resultan sustancialmente mayores que la dispersión observada al repetir el experimento globalmente. Se corrige sumando siempre los errores estándar en cuadratura mediante la raíz de la suma de cuadrados ponderada por las derivadas parciales. Mini-ejemplo: para $z = x + y$ con $\sigma_x = 3$ y $\sigma_y = 4$, el error combinado real es $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, no $3 + 4 = 7$.

2. Tratar variables dependientes como independientes

Parece razonable porque resulta tentador descomponer una fórmula larga en bloques sintácticos sencillos y aplicar fórmulas estándar a cada bloque por separado. Falla porque si la misma variable física aparece en múltiples partes de la fórmula (como en $f = x / (x + y)$ o en diferencias de lecturas de la misma regla), los bloques están fuertemente correlacionados y omitir la covarianza genera errores monumentales. Se detecta si una variable con el mismo símbolo matemático aparece en más de un término de la función sin que se hayan calculado derivadas parciales directas respecto a las variables primarias. Se corrige derivando analíticamente la función completa respecto a las variables primarias verdaderamente independientes, o calculando la matriz de covarianza completa. Mini-ejemplo: para $f = x - x$, tratar las dos $x$ como independientes daría $\sigma_f = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_x^2} = \sigma_x \sqrt{2}$, cuando físicamente $x - x \equiv 0$ de forma exacta y su incertidumbre es estrictamente cero.

3. Olvidar elevar al cuadrado las derivadas o los exponentes en fórmulas relativas

Parece razonable porque el formalismo algebraico es denso y es fácil confundir $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 \sigma_x^2$ con $\frac{\partial f}{\partial x} \sigma_x^2$ o confundir el exponente de una potencia con un factor lineal fuera de la raíz. Falla porque arruina la homogeneidad dimensional: el término dentro de la raíz dejaría de tener unidades de $[y]^2$. Se detecta inmediatamente realizando un análisis dimensional término a término dentro del radicando. Se corrige verificando que todo factor de sensibilidad esté elevado al cuadrado al entrar bajo el signo radical de Gauss. Mini-ejemplo: en $y = x^3$, la incertidumbre relativa es $\sigma_y / y = 3 (\sigma_x / x)$, por lo que en cuadratura su contribución es $3^2 (\sigma_x / x)^2 = 9 (\sigma_x / x)^2$, nunca $3 (\sigma_x / x)^2$.

4. Emplear aproximación lineal de Taylor con incertidumbres relativas grandes

Parece razonable porque la fórmula de Gauss se enseña de forma universal como "la fórmula de propagación". Falla porque la fórmula de Gauss trunca la serie de Taylor en el término lineal de primer orden $\Delta f \approx f' \Delta x$. Si $\sigma_x / x > 20\%$ y la segunda derivada $f''(x)$ es significativa, el término cuadrático $\frac{1}{2} f''(x) (\Delta x)^2$ deja de ser despreciable y sesga el valor medio y la dispersión. Se detecta evaluando el cociente $\frac{\frac{1}{2} |f''(\bar{x})| \sigma_x^2}{|f'(\bar{x})| \sigma_x}$. Si este cociente supera el $5\%$, la propagación lineal es inválida. Se corrige recurriendo a métodos de simulación numérica de Monte Carlo o transformaciones exactas de densidades de probabilidad. Mini-ejemplo: si $x = 1.0 \pm 0.8$ y se calcula $y = 1/x$, la fórmula lineal da $\bar{y} = 1.0$ y $\sigma_y = 0.8$, pero valores de $x$ cercanos a cero disparan $y$ a infinito y generan una distribución asimétrica cuyo valor esperado real es mucho mayor que 1.

5. Inconsistencia entre decimales del valor medio y de la incertidumbre

Parece razonable porque las calculadoras científicas muestran 8 o 10 dígitos y existe la inercia de transcribir todos los dígitos en el informe. Falla porque afirmar que un valor es $g = (9.814352 \pm 0.2) \text{ m/s}^2$ es un sinsentido científico: si hay incertidumbre en las décimas ($0.2$), los dígitos de las milésimas y millonésimas carecen por completo de significado físico. Se detecta comparando la última posición decimal del valor medio con la de la incertidumbre. Se corrige redondeando primero la incertidumbre estándar a una cifra significativa (o dos si el primer dígito es 1 o 2) y ajustando el valor medio al mismo orden de magnitud decimal. Mini-ejemplo: $12.3456 \pm 0.4321$ se redondea a $12.3 \pm 0.4$ (o $12.35 \pm 0.43$).

Regla rápida de detección

Antes de dar por buena una propagación de incertidumbres, somete el cálculo a esta regla triple:

1. Dimensiones: ¿Tiene la incertidumbre calculada exactamente las mismas unidades físicas que el valor central?
2. Jerarquía: ¿La variable con mayor incertidumbre relativa y mayor exponente domina el resultado final?
3. Sentido común: ¿Si la incertidumbre de una variable tiende a cero, el resultado converge al caso univariable esperado?

Aplicaciones físicas de Propagación de Errores e Incertidumbre

1. Determinación de la constante elástica en ensayos de tracción

Aparece al ensayar materiales en ingeniería mecánica para caracterizar el módulo de Young $E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{F \cdot L_0}{A_0 \cdot \Delta L}$, donde se registran la fuerza $F$ aplicada por una celda de carga, la longitud inicial $L_0$, el área transversal $A_0 = \frac{\pi d^2}{4}$ medida con micrómetro y la elongación $\Delta L$ medida con extensómetro láser. Se calcula aplicando la regla de potencias: $\left(\frac{\sigma_E}{E}\right)^2 = \left(\frac{\sigma_F}{F}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_{L_0}}{L_0}\right)^2 + 4\left(\frac{\sigma_d}{d}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_{\Delta L}}{\Delta L}\right)^2$. El resultado da la tolerancia del módulo elástico que certifica si una aleación de titanio o acero cumple con los criterios de seguridad estructural aeronáutica. El error peligroso es despreciar el factor cuadrático en el diámetro del espécimen cilíndrico ($4 (\sigma_d/d)^2$): un error de medición de apenas el $1\%$ en el calibre del hilo o probeta se transforma en una incertidumbre del $2\%$ en el módulo elástico, que puede ocultar la fatiga del material. Como control final se verifica que la incertidumbre de la elongación $\Delta L$ domine para deformaciones pequeñas y se compara el resultado con probetas de referencia calibradas.

2. Termodinámica: determinación del calor específico en calorimetría

Aparece al medir el calor específico $c_x$ de un sólido desconocido mediante el método de las mezclas en un calorímetro de agua: $c_x = \frac{(m_w c_w + C_{\text{cal}})(T_{\text{eq}} - T_w)}{m_x (T_x - T_{\text{eq}})}$. Se calcula evaluando las derivadas parciales respecto a las masas $m_x, m_w$, la capacidad del calorímetro $C_{\text{cal}}$ y, fundamentalmente, las lecturas térmicas $T_{\text{eq}}, T_w, T_x$. El resultado da el calor específico del material con sus límites de confianza para discernir entre elementos con calores específicos próximos (como plomo frente a oro). El error peligroso es asumir que las tres temperaturas medidas con el mismo sensor termométrico son independientes sin revisar la deriva de calibración sistemática, o no advertir que si $(T_{\text{eq}} - T_w)$ es muy pequeño, la resta de temperaturas amplifica catastróficamente el error relativo del calorímetro. Como control final se diseña el experimento para que la elevación de temperatura $(T_{\text{eq}} - T_w)$ sea de al menos $10\text{ K}$, manteniendo el error relativo térmico por debajo del $2\%$.

3. Astrofísica: cálculo de la luminosidad estelar a partir del paralaje

Aparece al estimar la luminosidad absoluta $L = 4\pi d^2 F$ de una estrella lejana midiendo el flujo radiativo aparente $F$ en telescopio y la distancia $d = 1/p$, donde $p$ es el ángulo de paralaje trigonométrico medido por satélites astrométricos (como Gaia). Se calcula sustituyendo $L = 4\pi F p^{-2}$, lo que conduce a: $\frac{\sigma_L}{L} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_F}{F}\right)^2 + 4 \left(\frac{\sigma_p}{p}\right)^2}$. El resultado da el rango admisible de emisión energética estelar para clasificar la estrella en el diagrama Hertzsprung-Russell y estimar su masa y edad evolutiva. El error peligroso es aplicar la fórmula cuando el paralaje es comparable a su propia incertidumbre ($p / \sigma_p < 5$, el conocido sesgo no lineal de Lutz-Kelker), lo que introduce una asimetría salvaje donde la propagación lineal gaussiana subestima enormemente la luminosidad real. Como control final se filtran las fuentes astrométricas exigiendo $p / \sigma_p \geq 10$ antes de aplicar la propagación lineal estándar.

4. Óptica: distancia focal mediante la ecuación de lentes delgadas

Aparece en bancos ópticos al determinar la distancia focal $f$ de una lente convergente midiendo la posición del objeto $s$ y la posición de la imagen nítida $s'$ proyectada sobre una pantalla: $\frac{1}{f} = \frac{1}{s} + \frac{1}{s'}$, de donde $f = \frac{s s'}{s + s'}$. Se calcula aplicando la derivada implícita a la forma inversa: $-\frac{\sigma_f}{f^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{s^2}\right)^2 \sigma_s^2 + \left(-\frac{1}{s'^2}\right)^2 \sigma_{s'}^2}$, lo que resulta en $\sigma_f = f^2 \sqrt{\frac{\sigma_s^2}{s^4} + \frac{\sigma_{s'}^2}{s'^4}}$. El resultado da el margen de error focal necesario para fabricar objetivos fotográficos o microscopios acromáticos. El error peligroso es propagar sobre la fórmula $f = \frac{s s'}{s + s'}$ tratando el numerador y el denominador como independientes, lo cual ignora la fuerte correlación inducida por la presencia simultánea de $s$ y $s'$ y duplica artificialmente el error estimado. Como control final se verifica que cuando el objeto se ubica en el doble de la distancia focal ($s = s' = 2f$), la incertidumbre se reduce simétricamente a $\sigma_f = \frac{1}{4}\sqrt{\sigma_s^2 + \sigma_{s'}^2}$.

5. Electromagnetismo: cálculo de resistividad de un conductor

Aparece en física del estado sólido para medir la resistividad $\rho$ de una muestra conductora prismática mediante el método de cuatro puntas: $\rho = R \cdot \frac{w \cdot t}{L}$, donde $R$ es la resistencia calculada como $V/I$, $w$ es el ancho, $t$ el espesor y $L$ la separación entre contactos de voltaje. Se calcula combinando todas las incertidumbres relativas: $\frac{\sigma_\rho}{\rho} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_V}{V}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_I}{I}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_w}{w}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_t}{t}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_L}{L}\right)^2}$. El resultado da la resistividad intrínseca del material para contrastar con modelos cuánticos de conducción de Drude-Sommerfeld. El error peligroso es omitir que en láminas delgadas (thin films), el espesor $t$ suele ser de unos pocos micrómetros o nanómetros medido por perfilometría o elipsometría, con incertidumbres relativas que superan con creces a todas las demás variables combinadas. Como control final se realiza un análisis de balance de varianza para confirmar qué porcentaje del error global proviene de la metrología de espesor antes de publicar el valor de resistividad.

Práctica guiada: Propagación de Errores e Incertidumbre

Nivel 1: reconocimiento

Identifica la fórmula de propagación correspondiente para las siguientes funciones de variables aleatorias independientes $x$ e $y$ con incertidumbres $\sigma_x$ y $\sigma_y$:

1. $f(x, y) = 3 x - 5 y$
2. $g(x, y) = x^2 \sqrt{y}$
3. $h(x) = \ln(x)$

Solución:

1. Por combinación lineal: $\sigma_f = \sqrt{3^2 \sigma_x^2 + (-5)^2 \sigma_y^2} = \sqrt{9 \sigma_x^2 + 25 \sigma_y^2}$.
2. Por producto de potencias ($g = x^2 y^{1/2}$): $\frac{\sigma_g}{g} = \sqrt{4 \left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2 + \frac{1}{4} \left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}$.
3. Derivando $h'(x) = 1/x$: $\sigma_h = \left|\frac{1}{x}\right| \sigma_x = \frac{\sigma_x}{x}$ (la incertidumbre absoluta del logaritmo es idéntica a la incertidumbre relativa del argumento).

Nivel 2: aplicación directa

La ley de Ohm establece que la potencia disipada en una resistencia eléctrica es $P = I^2 R$. En un ensayo de laboratorio se miden:

• Intensidad de corriente: $I = (2.00 \pm 0.04) \text{ A}$
• Resistencia: $R = (50.0 \pm 0.5) \,\Omega$

Calcula la potencia disipada $\bar{P}$ y su incertidumbre estándar $\sigma_P$.

Solución:

1. Valor central: $\bar{P} = (2.00)^2 \cdot 50.0 = 4.00 \cdot 50.0 = 200.0 \text{ W}$.
2. Incertidumbres relativas: $\sigma_I / I = 0.04 / 2.00 = 0.02$ ($2\%$); $\sigma_R / R = 0.5 / 50.0 = 0.01$ ($1\%$).
3. Propagación relativa: $\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^2 = (2 \cdot 0.02)^2 + (1 \cdot 0.01)^2 = (0.04)^2 + (0.01)^2 = 0.0016 + 0.0001 = 0.0017$.
4. $\frac{\sigma_P}{P} = \sqrt{0.0017} \approx 0.04123$ ($4.12\%$).
5. Incertidumbre absoluta: $\sigma_P = 200.0 \cdot 0.04123 \approx 8.25 \text{ W}$.
6. Expresión final: $P = (200 \pm 8) \text{ W}$ o $(200.0 \pm 8.2) \text{ W}$.

Nivel 3: elección de herramienta

Se mide la diferencia de potencial térmico en un termopar: $V = \alpha (T_2 - T_1)$, donde $\alpha = (40.0 \pm 0.2) \,\mu\text{V/K}$, $T_2 = (373.15 \pm 0.10) \text{ K}$ y $T_1 = (273.15 \pm 0.10) \text{ K}$. ¿Qué método de propagación es preferible: el método general multivariable o una combinación modular de pasos?

Solución: El método modular en 2 pasos es óptimo:

1. Define la variable intermedia $\Delta T = T_2 - T_1$. Como es una resta de variables independientes: $\sigma_{\Delta T} = \sqrt{\sigma_{T_2}^2 + \sigma_{T_1}^2} = \sqrt{0.10^2 + 0.10^2} = \sqrt{0.02} \approx 0.1414 \text{ K}$. Valor central: $\Delta T = 100.00 \text{ K}$.
2. Ahora $V = \alpha \cdot \Delta T$ es un producto simple de dos variables independientes: $\frac{\sigma_V}{V} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_\alpha}{\alpha}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_{\Delta T}}{\Delta T}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{0.2}{40.0}\right)^2 + \left(\frac{0.1414}{100.0}\right)^2} = \sqrt{(0.005)^2 + (0.001414)^2} = \sqrt{2.5 \times 10^{-5} + 2.0 \times 10^{-6}} = \sqrt{2.7 \times 10^{-5}} \approx 0.005196$ Valor central: $\bar{V} = 40.0 \times 100.0 = 4000 \,\mu\text{V}$. Incertidumbre: $\sigma_V = 4000 \times 0.005196 \approx 20.8 \,\mu\text{V} \approx 21 \,\mu\text{V}$. Resultado: $V = (4000 \pm 21) \,\mu\text{V}$.

Nivel 4: interpretación física

Dos resistencias nominales idénticas $R_1 = (100 \pm 1)\,\Omega$ y $R_2 = (100 \pm 1)\,\Omega$ se conectan en paralelo: $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$. Calcula la incertidumbre de $R_{eq}$ considerando que fueron medidas de forma independiente. Explica por qué la incertidumbre de la combinación en paralelo es menor que la de cualquiera de las resistencias individuales.

Solución: Valor central: $R_{eq} = \frac{100 \times 100}{200} = 50\,\Omega$. Derivadas parciales: $\frac{\partial R_{eq}}{\partial R_1} = \frac{R_2^2}{(R_1 + R_2)^2} = \frac{100^2}{200^2} = \frac{1}{4} = 0.25$. Por simetría, $\frac{\partial R_{eq}}{\partial R_2} = 0.25$. Aplicando Gauss: $\sigma_{R_{eq}} = \sqrt{(0.25 \times 1)^2 + (0.25 \times 1)^2} = \sqrt{0.0625 + 0.0625} = \sqrt{0.125} \approx 0.354\,\Omega$ Resultado: $R_{eq} = (50.0 \pm 0.4)\,\Omega$. Interpretación física: En paralelo, la corriente se divide entre ambas ramas. Si una resistencia fluctúa al alza y la otra a la baja, el efecto global tiende a compensarse parcialmente. Matemáticamente, las derivadas parciales son $1/4$, lo que atenúa la transferencia de fluctuaciones individuales a la resistencia equivalente.

Nivel 5: error intencionado

Un estudiante calcula la incertidumbre del cociente $f = \frac{x}{x + y}$ para $x = (10.0 \pm 0.5)$ e $y = (10.0 \pm 0.5)$. El estudiante procede así: "Calculo la incertidumbre relativa de $x$ como $0.5/10 = 0.05$. Calculo el denominador $z = x + y = 20.0 \pm \sqrt{0.5^2 + 0.5^2} = 20.0 \pm 0.707$. Como es un cociente $f = x/z$, sumo en cuadratura sus incertidumbres relativas: $\frac{\sigma_f}{f} = \sqrt{(0.05)^2 + (0.707/20)^2} = \sqrt{0.0025 + 0.00125} = \sqrt{0.00375} \approx 0.0612$ ($6.12\%$)". Encuentra el fallo conceptual del estudiante y calcula el valor correcto.

Fallo conceptual: La variable $x$ aparece tanto en el numerador como en el denominador. Por lo tanto, el numerador $x$ y el denominador $z = x + y$ no son independientes; tienen una correlación positiva perfecta respecto a las fluctuaciones de $x$. Aplicar la fórmula de cociente para variables independientes asumiendo que $x$ y $z$ no interactúan ignora por completo la covarianza y sobrestima la incertidumbre.

Cálculo riguroso correcto: Calculamos las derivadas parciales de $f(x, y)$ respecto a las variables primarias independientes $x$ e $y$: $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 \cdot (x + y) - x \cdot 1}{(x + y)^2} = \frac{y}{(x + y)^2} = \frac{10.0}{(20.0)^2} = \frac{10}{400} = 0.025$ $\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{x}{(x + y)^2} = -\frac{10.0}{(20.0)^2} = -0.025$ Como $x$ e $y$ son independientes: $\sigma_f = \sqrt{(0.025 \cdot 0.5)^2 + (-0.025 \cdot 0.5)^2} = \sqrt{(0.0125)^2 + (0.0125)^2} = 0.0125 \cdot \sqrt{2} \approx 0.01768$ El valor central es $\bar{f} = 10 / 20 = 0.5$. La incertidumbre relativa real es $\sigma_f / \bar{f} = 0.01768 / 0.5 = 0.03536$ ($3.54\%$), casi la mitad del $6.12\%$ que calculó erróneamente el estudiante.