Lagrangiano

Coordenadas generalizadas, lagrangiano y ecuaciones de Euler-Lagrange para sistemas con ligaduras.

Idea general del tema

La formulación lagrangiana resume la dinámica de un sistema en una sola función, L = T − U, diferencia entre la energía cinética y la potencial escritas con coordenadas generalizadas. Las ecuaciones de Lagrange dan una ecuación por coordenada, sin fuerzas de ligadura ideales.

El tema escribe T y U en coordenadas adecuadas, obtiene las ecuaciones del movimiento con d/dt(∂L/∂q̇) − ∂L/∂q = 0 y presenta, a modo de introducción, el teorema de Noether: toda simetría continua del lagrangiano implica una magnitud conservada. Antes de las ecuaciones se justifica el principio variacional de la acción, y al final se muestra cómo el routhiano reduce el problema eliminando las coordenadas cíclicas.

Qué vas a comprender de verdad

Al terminar sabrás escribir el lagrangiano de un sistema, derivar sus ecuaciones del movimiento y reconocer coordenadas cíclicas, cuyo momento conjugado se conserva.

También sabrás relacionar simetrías de traslación, de rotación y temporal con momento lineal, angular y energía.

Ruta didáctica recomendada

1. Energía cinética y potencial: expresión de T y U en coordenadas generalizadas, incluyendo ligaduras.
2. Principio variacional y acción: el movimiento real hace estacionaria la acción, de lo que se deducen las ecuaciones de Euler-Lagrange.
3. Ecuaciones de Lagrange: aplicación de las ecuaciones de Euler-Lagrange a sistemas concretos.
4. Simetrías y conservaciones: simetría del lagrangiano y magnitud conservada: una primera idea del teorema de Noether.
5. Routhiano y coordenadas cíclicas: eliminación de coordenadas cíclicas mediante sus momentos conservados.

Criterio físico que debes adquirir

El criterio esencial es escribir T y U antes de derivar, y comprobar el resultado con un caso conocido, como el péndulo simple, que debe dar θ̈ = −(g/l) sen θ. Si una coordenada no aparece en L, su momento conjugado es una constante del movimiento.

Conexión con problemas reales

• mecanismos articulados y robots.
• péndulos acoplados.
• movimiento de partículas en campos.
• teoría clásica de campos.

Objetivo final del tema

El objetivo final es obtener las ecuaciones del movimiento de un sistema a partir de su lagrangiano y vincular simetrías con magnitudes conservadas.