Mecánica analítica

Formulación lagrangiana y hamiltoniana de la mecánica basada en el principio de mínima acción.

Idea general del tema

La mecánica analítica reformula la mecánica de Newton con energías en lugar de fuerzas. Se elige un conjunto de coordenadas que describen la configuración del sistema y las ecuaciones del movimiento se deducen de una sola función escalar, sin necesidad de calcular las fuerzas de ligadura.

El bloque parte de las coordenadas generalizadas y de las ligaduras, desarrolla la formulación de Lagrange, basada en energías cinética y potencial, y la de Hamilton, que trabaja con posiciones y momentos, y termina aplicándolas al oscilador, al péndulo y a problemas con ligaduras.

Qué vas a comprender de verdad

Al terminar sabrás elegir coordenadas adaptadas a un problema, escribir el lagrangiano, obtener las ecuaciones del movimiento y relacionar simetrías con magnitudes conservadas.

También sabrás cuándo esta formulación simplifica un problema frente al método vectorial.

Ruta didáctica recomendada

1. Coordenadas generalizadas: coordenadas que describen la configuración sin redundancia.
2. Ligaduras y grados de libertad: restricciones geométricas y número de grados de libertad.
3. Principio de D'Alembert y trabajo virtual: equilibrio y dinámica con trabajo virtual, sin fuerzas de ligadura ideales.
4. Formulación lagrangiana: función de Lagrange L = T − U y ecuaciones de Lagrange.
5. Formulación hamiltoniana: momentos conjugados, hamiltoniano y ecuaciones de Hamilton.
6. Ligaduras avanzadas: ligaduras no holónomas y su tratamiento.
7. Aplicaciones de la mecánica analítica: oscilador armónico, péndulo, pequeñas oscilaciones y sistemas con ligaduras resueltos con estas herramientas.

Criterio físico que debes adquirir

El criterio esencial es contar los grados de libertad y escoger tantas coordenadas independientes como ellos. Si las ligaduras son holónomas e ideales, las fuerzas de ligadura no aparecen en las ecuaciones. Un resultado es correcto si reproduce el de Newton para el mismo problema.

Conexión con problemas reales

• robótica y mecanismos articulados.
• dinámica de satélites y de cuerpos rígidos.
• mecánica cuántica.
• optimización y control.

Objetivo final del tema

El objetivo final es plantear y resolver la dinámica de sistemas con ligaduras mediante las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana, y relacionar simetrías con conservaciones.