Ondas flexionales en vigas

Propagación dispersiva de ondas de flexión en vigas elásticas según la teoría de Euler-Bernoulli.

Contexto conceptual

Cuando se golpea una barra metálica o un raíl de tren, la perturbación no se propaga como una onda simple con velocidad constante. Las ondas de flexión —también llamadas ondas transversales de curvatura— son inherentemente dispersivas: su velocidad de propagación depende de la frecuencia. Las componentes de alta frecuencia viajan más rápido que las de baja frecuencia, haciendo que un pulso inicialmente compacto se ensanche progresivamente al recorrer la viga.

Este fenómeno es la razón por la que un golpe en un raíl suena diferente según la distancia al punto de impacto: el oyente percibe primero las componentes agudas (alta frecuencia, alta velocidad) y después las graves (baja frecuencia, baja velocidad). Comprender la dispersión flexional es fundamental en acústica estructural, diseño de instrumentos musicales, análisis de vibraciones en maquinaria y control de ruido en edificios.

Este leaf presenta la teoría clásica de Euler-Bernoulli, que describe la propagación de ondas de flexión en vigas esbeltas, y establece las relaciones entre frecuencia, número de onda, velocidades de fase y de grupo, y los parámetros geométricos y materiales de la sección.

🟢 Nivel esencial

Una onda de flexión es una perturbación transversal que viaja a lo largo de una viga, produciendo curvatura local. A diferencia de las ondas longitudinales (compresión-tracción), aquí el desplazamiento es perpendicular al eje de la viga.

La propiedad más importante de las ondas flexionales es su dispersión: la velocidad con que se propagan depende de la frecuencia. Las componentes de alta frecuencia viajan más rápido. Esto contrasta con las ondas en una cuerda ideal, que viajan todas a la misma velocidad sin importar su frecuencia.

La velocidad de propagación de la flexión depende de tres factores:

• La rigidez a la flexión de la viga, que combina la elasticidad del material con la forma de la sección transversal. Una viga más rígida propaga ondas más rápido.
• La masa distribuida de la viga. Una viga más pesada propaga ondas más lento.
• La frecuencia de la onda. A mayor frecuencia, mayor velocidad.

Existen dos velocidades relevantes:

• La velocidad de fase: la velocidad a la que se mueve un patrón de crestas y valles.
• La velocidad de grupo: la velocidad a la que viaja la energía. En vigas, la velocidad de grupo es exactamente el doble de la velocidad de fase.

[!NOTE] Las ondas de flexión son siempre más lentas que las ondas longitudinales en el mismo material. A 1 kHz en una barra de acero de 5 mm, la velocidad de fase flexional es de unos 217 m/s, frente a 5100 m/s para la onda longitudinal.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

La relación de dispersión de Euler-Bernoulli establece la conexión entre frecuencia angular $\omega$ y número de onda $k$:

Relación de dispersión flexional (Euler-Bernoulli)

Esta relación cuadrática ($\omega$ proporcional al cuadrado del número de onda) es la fuente de toda la dispersión. La velocidad de fase se define como el cociente entre frecuencia angular y número de onda:

Velocidad de fase de la onda flexional (Euler-Bernoulli)

La dependencia con la raíz cuadrada de $\omega$ confirma que ondas de mayor frecuencia se propagan más rápido. La velocidad de grupo, definida como la derivada de $\omega$ respecto a $k$, resulta exactamente el doble de la velocidad de fase:

Velocidad de grupo de la onda flexional

La relación 2:1 entre velocidad de grupo y velocidad de fase es una consecuencia directa de la dispersión cuadrática y constituye una firma diagnóstica del modelo de Euler-Bernoulli.

Preguntas reales del alumno

¿Por qué la velocidad de fase flexional depende de la frecuencia mientras que la longitudinal no? Porque la fuerza restauradora en flexión involucra la cuarta derivada espacial, que introduce dispersión. En ondas longitudinales la fuerza depende solo de la segunda derivada y no hay dispersión.

¿Puede la velocidad de fase flexional superar la velocidad longitudinal? No físicamente. El modelo de Euler-Bernoulli predice crecimiento ilimitado, pero es un artefacto: a frecuencias altas la deformación por cortante limita la velocidad a unos 3100 m/s en acero.

¿Por qué la velocidad de grupo es mayor que la de fase? Porque la curva de $\omega$ frente al número de onda es convexa. La tangente (velocidad de grupo) siempre tiene mayor pendiente que la secante desde el origen (velocidad de fase).

¿Para qué sirve conocer la velocidad de grupo? Para calcular tiempos de llegada de energía. Un golpe a 10 m con velocidad de grupo de 500 m/s llega en 20 ms. La velocidad de fase no da esta información porque no transporta energía.

Síntesis final

Las ondas de flexión en vigas son inherentemente dispersivas: su velocidad de propagación crece con la raíz cuadrada de la frecuencia. La velocidad de grupo es exactamente el doble de la velocidad de fase en el modelo de Euler-Bernoulli, reflejando la dispersión cuadrática. Los parámetros de control son la rigidez EI y la masa lineal $\rho A$, y el modelo es válido mientras la longitud de onda sea muy superior al espesor de la sección.