Ondas longitudinales en barras

Propagación no dispersiva de ondas de compresión-tracción en barras esbeltas y sus aplicaciones.

Contexto conceptual

Cuando se golpea un extremo de una barra metálica, la perturbación viaja a lo largo de ella como una onda de compresión y tracción. A diferencia de las ondas de flexión, estas ondas longitudinales son no dispersivas en el modelo de barra esbelta: todas las frecuencias viajan a la misma velocidad. Este hecho las convierte en el caso más sencillo de propagación ondulatoria en sólidos y en la referencia natural para comparar con fenómenos dispersivos.

La velocidad de estas ondas depende exclusivamente de dos propiedades del material: su rigidez axial (módulo de Young $E$) y su densidad volumétrica ($\rho$). La geometría de la sección transversal no influye en la velocidad, aunque sí determina la impedancia mecánica y, por tanto, cómo se refleja y transmite la onda en las discontinuidades.

Este leaf trata las ondas longitudinales en barras esbeltas (dimensión transversal mucho menor que la longitud de onda). Es el complemento directo del leaf de ondas flexionales: mientras que allí la cuarta derivada espacial produce dispersión cuadrática, aquí la segunda derivada produce propagación sin dispersión.

🟢 Nivel esencial

Una barra larga y delgada puede considerarse como una cadena de resortes microscópicos. Cuando se comprime un extremo, cada capa empuja a la siguiente y la perturbación avanza. La velocidad a la que avanza esta perturbación es la velocidad de onda longitudinal $c_b$.

Lo esencial es que esta velocidad depende solo del material:

• Materiales rígidos (alto $E$) transmiten rápido porque los "resortes internos" son duros.
• Materiales densos (alta $\rho$) transmiten más lento porque hay más inercia que mover.

La relación es una raíz cuadrada: $c_b$ crece con la raíz de la rigidez y decrece con la raíz de la densidad.

Valores típicos:

• Acero: aproximadamente 5100 m/s
• Aluminio: aproximadamente 5090 m/s
• Cobre: aproximadamente 3750 m/s
• Vidrio: aproximadamente 5200 m/s
• Madera (longitudinal a la fibra): 3000–5000 m/s
• Polímeros: 1000–2500 m/s

La propiedad fundamental: un pulso de compresión recorre la barra sin deformarse. Su forma se mantiene idéntica independientemente de la distancia recorrida (siempre que no haya amortiguamiento ni discontinuidades). Esto es consecuencia directa de la ausencia de dispersión.

La impedancia mecánica $Z$ es la magnitud que controla que ocurre cuando la onda encuentra un cambio: otra barra, un extremo libre, un empotramiento o una unión. Se calcula como el producto de densidad, área de sección y velocidad de onda.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

La ecuación de onda para desplazamientos longitudinales u(X,t) en una barra esbelta es:

Velocidad de onda longitudinal en barra esbelta

Esta formula se obtiene del equilibrio de Newton aplicado a un elemento infinitesimal de la barra, combinado con la ley de Hooke:

• La fuerza neta sobre un elemento de longitud dx es la diferencia de esfuerzos en sus dos caras: dF igual a A·d(sigma)/dx·dx
• El esfuerzo es sigma igual a E·(du/dx) (Hooke)
• La aceleración del elemento es rho·A·dx·(d²u/dt²) (Newton)
• Igualando: E·(d²u/dx²) igual a rho·(d²u/dt²)

La solución de esta ecuación de onda tiene velocidad de propagación $c_b$ igual a la raíz cuadrada de $E$ entre $\rho$.

Preguntas reales del alumno

¿Por qué la velocidad no depende del área de la sección? Porque al aumentar el área se incrementan simultáneamente la fuerza restauradora (más material rígido) y la inercia (más masa). Ambos efectos se cancelan exactamente, dejando la velocidad invariante.

¿Por qué acero y aluminio tienen velocidades casi iguales? Porque E/rho del acero (210e9/7850 aproximadamente 2.68e7) y del aluminio (70e9/2700 aproximadamente 2.59e7) son valores muy próximos. La alta rigidez del acero compensa su alta densidad.

¿Es lo mismo que la velocidad del sonido? Solo en el sentido de que ambas son velocidades de onda. Pero la velocidad del sonido en aire se debe a la compresibilidad del gas, mientras que en una barra se debe a la rigidez de Young. Además, en un sólido infinito la velocidad difiere (ondas P) porque el confinamiento lateral cambia el módulo efectivo.

¿Qué pasa cuando la onda llega al extremo de la barra? Si el extremo es libre, la onda se refleja con inversión de esfuerzo (compresión vuelve como tracción). Si está empotrado, se refleja sin inversión. En ambos casos la velocidad de partícula se invierte o no según la condición de contorno.

Síntesis final

Las ondas longitudinales en barras esbeltas son el caso canónico de propagación no dispersiva en sólidos. Su velocidad depende solo de E y rho, es independiente de la frecuencia y de la geometría de la sección. La impedancia mecánica (rho·A·$c_b$) controla la reflexión y transmisión en discontinuidades. El modelo es valido mientras la longitud de onda sea mucho mayor que las dimensiones transversales.