Resonancia y modos en barras

Frecuencias naturales y patrones modales de vibración longitudinal, transversal y torsional en barras con distintas condiciones de contorno.

Contexto conceptual

Una barra elástica confinada por sus condiciones de contorno solo puede vibrar de forma estable a ciertas frecuencias discretas. Estas son las frecuencias naturales o frecuencias de resonancia. A cada frecuencia natural le corresponde un patrón espacial de vibración llamado modo normal.

El fenómeno fundamental es que las ondas viajeras que se propagan por la barra se reflejan en los extremos y al superponerse constructivamente forman ondas estacionarias. Solo cuando la longitud de la barra es un múltiplo adecuado de la semilongitud de onda, la superposición es constructivamente sostenida: eso define las frecuencias permitidas.

Este leaf trata los modos longitudinales (compresión-extensión a lo largo del eje), los torsionales (giro alrededor del eje) y menciona la conexión con los flexionales (tratados en detalle en el leaf de ondas flexionales en vigas). Las condiciones de contorno fundamentales son: extremo libre (esfuerzo nulo, desplazamiento máximo) y extremo fijo (desplazamiento nulo, esfuerzo máximo).

🟢 Nivel esencial

Cuando golpeas una barra metálica, vibra a ciertas frecuencias concretas: emite un sonido con tono definido. Esas frecuencias dependen de la longitud, del material y de cómo estén sujetos los extremos.

La frecuencia más baja se llama fundamental o primer armónico. Las siguientes se llaman armónicos superiores. Si la barra está libre por ambos extremos, los armónicos son múltiplos enteros de la fundamental (2f, 3f, 4f...). Si un extremo está fijo y el otro libre, solo aparecen armónicos impares (f, 3f, 5f...).

A mayor longitud, menor frecuencia: una barra larga suena más grave que una corta del mismo material. A mayor rigidez del material, mayor frecuencia: un acero suena más agudo que un polímero blando.

La idea clave es que la barra no elige cualquier movimiento: solo sobreviven los patrones que encajan con sus extremos. Por eso el sonido revela simultáneamente el material, la geometría y la forma de sujeción.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

Ondas estacionarias longitudinales

Una onda longitudinal viaja por la barra con velocidad $v_L$. Al llegar a un extremo se refleja. La superposición de la onda incidente y la reflejada crea una onda estacionaria si la frecuencia es adecuada.

Para una barra libre-libre, ambos extremos son antinodos de desplazamiento (nodos de esfuerzo). La condición de resonancia exige que la longitud contenga un número entero de semilongitudes de onda $\lambda_n$:

Frecuencia natural longitudinal de barra libre-libre

donde $n$ es el número de modo (1, 2, 3...), $v_L$ es la velocidad longitudinal y $L$ es la longitud.

La velocidad longitudinal en una barra delgada se calcula como:

Velocidad de onda longitudinal en barra delgada

donde $E$ es el módulo de Young y $\rho$ es la densidad del material.

Para una barra fijo-libre, el extremo empotrado es un nodo de desplazamiento y el extremo libre es un antinodo. Solo caben armónicos impares:

Frecuencia natural longitudinal de barra fijo-libre

La fundamental de la barra fijo-libre tiene la mitad de la frecuencia de la fundamental libre-libre de la misma longitud: la longitud de onda efectiva es cuatro veces la longitud de la barra frente a dos veces en el caso libre-libre.

Preguntas reales del alumno

¿Por qué una barra fijo-libre solo tiene armónicos impares? Porque el extremo fijo obliga a un nodo de desplazamiento y el libre a un antinodo. Para que ambas condiciones se cumplan simultáneamente, solo caben semiperíodos impares dentro de la longitud: un cuarto de longitud de onda (1er modo), tres cuartos (2do modo), cinco cuartos (3er modo), etc.

¿Puedo medir el módulo de Young midiendo la frecuencia de resonancia? Sí. Se mide la frecuencia fundamental de una barra de longitud y densidad conocidas, se usa la relación libre-libre para obtener $v_L$, y luego la relación de velocidad longitudinal para obtener $E$. Es la base del método de impulse excitation (norma ASTM E1876).

¿Por qué los modos torsionales tienen frecuencia menor que los longitudinales? Porque la velocidad torsional depende de $G$ y la longitudinal de $E$. En materiales comunes, la rigidez de cizalla es menor que la rigidez longitudinal; por tanto $v_T$ es menor que $v_L$. Menor velocidad con la misma longitud da menor frecuencia.

Síntesis final

Las frecuencias naturales de una barra son proporcionales a la velocidad de onda e inversamente proporcionales a la longitud. Las condiciones de contorno seleccionan que subconjunto de armónicos puede existir. Los modos longitudinales usan $v_L$, determinada por $E$ y $\rho$, y los torsionales usan $v_T$, determinada por $G$ y $\rho$. La estructura del espectro (equiespaciado o solo impares) es consecuencia directa de la simetría o asimetría de las condiciones de contorno. Conocer las frecuencias de resonancia permite determinar los módulos elásticos del material sin destruir la muestra.