Error, estabilidad y convergencia

Analiza error numérico, estabilidad y convergencia mediante refinamiento y comparación con referencias.

Contexto conceptual

Una simulación puede producir números suaves, gráficos atractivos y resultados reproducibles, pero seguir siendo incorrecta. Para decidir si una solución es fiable hay que separar tres preguntas: cuánto difiere de una referencia, si pequeñas perturbaciones crecen durante el cálculo y si el resultado mejora al refinar la discretización. El $E_a$ y el $E_r$ miden discrepancias; $G$ diagnostica estabilidad; $p$ describe cómo disminuye $E$ al reducir $h$. La fiabilidad surge cuando estas piezas son coherentes entre sí y con el modelo físico.

🟢 Nivel esencial

El error mide la distancia entre $u_h$ y $u_r$. Puede expresarse en unidades físicas mediante $E_a$ o compararse con la escala del problema mediante $E_r$.

La estabilidad pregunta qué ocurre con una pequeña perturbación: si aumenta paso tras paso, el cálculo puede quedar dominado por ruido numérico. La convergencia pregunta si el resultado mejora al reducir $h$. Una solución fiable debe mostrar errores decrecientes, comportamiento estable y un patrón de refinamiento reproducible. Un único valor no basta. También hay que mantener la misma norma, referencia, modelo y tolerancia del solver. Si el error deja de bajar, pueden dominar el solver, el redondeo o el modelo físico, no necesariamente la malla. Por eso cada refinamiento debe verse como un experimento controlado: solo cambia la resolución y se observa si la tendencia esperada continúa. La comparación entre varias resoluciones revela si la mejora es sistemática o accidental.

Antes de aceptar cualquier cifra de error conviene preguntarse frente a qué referencia se mide, con qué norma y bajo qué condiciones del solver, porque el mismo número puede representar un resultado excelente o insuficiente según ese contexto.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

El error absoluto se define mediante:

Error absoluto

La amplitud de la ley asintótica está determinada por la $C$, que depende del método, la regularidad y la norma elegida.

La comparación normalizada utiliza:

Error relativo

Cuando el método entra en régimen asintótico, el error de discretización sigue una ley potencial:

Ley de convergencia de orden p

El exponente $p$ se estima comparando $E_1$, $E_2$, $h_1$ y $h_2$. En una gráfica log-log, la pendiente del tramo recto representa el orden observado.

Preguntas reales del alumno

¿Un error pequeño garantiza que el modelo es correcto? No. Solo garantiza cercanía a la referencia elegida.

¿Estable significa exacto? No. Significa que las perturbaciones no crecen de forma incontrolada.

¿Por qué necesito más de dos mallas? Porque dos puntos siempre producen una pendiente, incluso fuera del régimen asintótico.

¿Qué significa una meseta? Que otra fuente de error domina o que la referencia ya no permite medir mejoras.

¿Un orden mayor siempre es mejor? Reduce error más rápido en régimen asintótico, pero puede tener mayor coste o constante de error.

Síntesis final

Una solución fiable no se reconoce por una sola cifra. Debe mostrar error bien definido, estabilidad frente a perturbaciones, convergencia bajo refinamiento y un presupuesto que separe discretización, solver, redondeo y modelo. La evidencia reproducible importa más que la suavidad visual.