Fundamentos computacionales

Modelado, discretización, error numérico, estabilidad, convergencia, escalado y validación física.

Idea general del tema

Los fundamentos computacionales proporcionan las herramientas numéricas esenciales que sustentan cualquier simulación en física: aritmética de coma flotante IEEE 754, cálculo de errores por discretización frente a redondeo, algoritmos de resolución de ecuaciones trascendentes e integración numérica adaptativa. La física computacional comienza entendiendo las limitaciones de precisión de una máquina digital y cómo formular algoritmos estables.

Este nodo agrupa el análisis de errores, métodos iterativos (Newton-Raphson, bisección), cuadratura numérica (trapecio, Simpson, Gauss-Legendre) y diferenciación por diferencias finitas centradas.

Que vas a comprender de verdad

Comprenderás cómo el tamaño de paso $h$ en una derivada o integral numérica compite entre el error de truncamiento del método matemático (dominante a $h$ grande) y el error de redondeo por cancelación catastrófica (dominante a $h$ muy pequeño).

Aprenderás a optimizar el paso óptimo $h_{\text{opt}}$ y a utilizar métodos de extrapolación de Richardson para alcanzar alta precisión.

Ruta didáctica recomendada

1. Aritmética y error de redondeo: precisión simple vs doble, epsilon de máquina y pérdida de cifras significativas.
2. Ceros de funciones físicas: resolución de estados ligados cuánticos y potenciales interatómicos con bisección y Newton-Raphson.
3. Derivación numérica: esquemas hacia adelante, hacia atrás y centrados de orden $\mathcal{O}(h^2)$ y $\mathcal{O}(h^4)$.
4. Integración numérica y cuadratura: fórmulas de Newton-Cotes y cuadratura de Gauss con pesos óptimos para potenciales continuos.

Criterio físico que debes adquirir

Saber diagnosticar cuándo un cálculo falla por condicionamiento matemático del problema frente a fallo del algoritmo numérico.

Conexión con problemas reales

• Cálculo de potenciales efectivos gravitatorios y moleculares.
• Determinación numérica de energías de corte y frecuencias propias.
• Evaluación de integrales de acción y funciones de partición en física estadística.

Meta final del tema

Dominar las técnicas numéricas elementales para calcular derivadas, integrales y raíces de ecuaciones físicas con control de error cuantitativo.