Métodos de campo

Métodos numéricos para campos, ecuaciones en derivadas parciales y condiciones de contorno.

Idea general del tema

Los métodos de campo permiten resolver ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) que gobiernan la física de medios continuos: electrostática (Poisson y Laplace), difusión de calor (Fourier), propagación electromagnética (Maxwell y ecuación de onda) y mecánica cuántica (Schrödinger dependiente del tiempo). Su base es la discretización del espacio-tiempo en mallas o retículos donde las derivadas continuas se convierten en operadores matriciales algebraicos.

Este nodo agrupa métodos de relajación estática (Gauss-Seidel, SOB), esquemas explícitos e implícitos para difusión (Crank-Nicolson) y métodos FDTD (Finite-Difference Time-Domain) para ondas.

Que vas a comprender de verdad

Comprenderás la condición de estabilidad de Courant-Friedrichs-Lewy ($c \Delta t \le \Delta x$), por qué los métodos explícitos para difusión exigen pasos temporales diminutos ($\Delta t < \Delta x^2 / 2D$) y cómo los esquemas implícitos garantizan estabilidad incondicional.

Aprenderás a aplicar condiciones de contorno físicas (Dirichlet, Neumann y fronteras absorbentes).

Ruta didáctica recomendada

1. Ecuaciones elípticas (Poisson/Laplace): método de diferencias finitas en 2D, relajación sucesiva y cálculo de líneas de campo y blindajes electrostáticos.
2. Ecuaciones parabólicas (Difusión): ecuación del calor 1D/2D, esquemas FTCS vs Crank-Nicolson y conservación de flujo térmico.
3. Ecuaciones hiperbólicas (Ondas): propagación de pulsos elásticos y electromagnéticos, reflexión en extremos y dispersión numérica.
4. Ecuación de Schrödinger 1D: propagación de paquetes de ondas cuánticas, tunelamiento a través de barreras y dispersión.

Criterio físico que debes adquirir

Comprender que la velocidad de propagación de la información numérica en la malla debe ser al menos tan rápida como la velocidad física de propagación de la onda para evitar divergencias exponenciales.

Conexión con problemas reales

• Diseño de guías de onda, antenas y resonadores ópticos con FDTD.
• Simulaciones de enfriamiento térmico de componentes microelectrónicos.
• Modelado de barreras de potencial y pozos cuánticos en nanoelectrónica.

Meta final del tema

Capacidad para modelar y simular sistemas físicos gobernados por ecuaciones de Poisson, difusión, ondas y Schrödinger en 1D y 2D.