Diferencias finitas

Aproxima derivadas y ecuaciones de campo mediante valores discretos en una malla.

Contexto conceptual

Muchos campos físicos, como la temperatura, el potencial eléctrico o el desplazamiento de una cuerda, se describen mediante funciones continuas. Sin embargo, un ordenador no manipula una infinitud de puntos: trabaja con una colección discreta de nodos. Las diferencias finitas construyen un puente entre ambos mundos. Sustituyen derivadas por combinaciones de $u_{i-1}$, $u_i$ y $u_{i+1}$, separados por un $h$. La pregunta decisiva no es solo si el cálculo produce un número, sino cuánto se aproxima ese número al operador continuo. Esa discrepancia es el $E_T$, y su evolución al refinar la malla revela la calidad real del método.

🟢 Nivel esencial

Una diferencia finita estima cómo cambia un campo comparando muestras cercanas de la malla. Si el valor a la derecha supera al valor central, la $u'$ estimada suele ser positiva; si es menor, suele ser negativa.

Para reconocer curvatura se compara el valor central con sus dos vecinos, lo que permite estimar la $u''$. El $h$ controla el detalle: una malla fina distingue variaciones pequeñas, mientras una malla gruesa las suaviza o incluso las oculta. Reducir el paso suele disminuir el $E_T$, pero la rapidez depende del orden del método. Un esquema de orden mayor aprovecha mejor el refinamiento, aunque puede exigir más nodos, más cuidado en las fronteras y mayor coste. La meta es encontrar una zona donde la solución converge de forma predecible.

Elegir un esquema unilateral, centrado o de orden superior no es solo una cuestión de precisión: también determina cuántos vecinos hacen falta y cómo se tratan los nodos próximos a una frontera. Un esquema centrado suele preferirse cuando ambos vecinos están disponibles, mientras que cerca de un borde puede ser necesario recurrir a una fórmula unilateral aunque su $E_T$ sea mayor.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

La aproximación unilateral de la $u'$ utiliza $u_i$, $u_{i+1}$ y $h$:

Diferencia hacia delante de primer orden

La aproximación centrada incorpora $u_{i-1}$ y $u_{i+1}$ a ambos lados del nodo. La simetría cancela términos de menor orden de la expansión de Taylor y mejora la precisión:

Diferencia centrada de segundo orden

Para estimar la $u''$, el stencil de tres puntos compara el valor central con la suma de los vecinos:

Segunda derivada centrada

El comportamiento asintótico del $E_T$ se resume mediante una ley de escala que contiene la $C$, el $h$ y el $p$:

Escalado del error de truncamiento

Preguntas reales del alumno

¿Una malla más fina siempre es mejor? No. Reduce el $E_T$ en un esquema consistente, pero aumenta coste y puede hacer visibles redondeo o inestabilidad.

¿Por qué la fórmula centrada suele ser más precisa? Porque usa información simétrica y cancela ciertos términos de la expansión local.

¿El $E_T$ es el error de la simulación? Solo es una parte. También existen errores de modelado, frontera, iteración, datos y redondeo.

¿Cómo sé si alcanzo el orden esperado? Construye una gráfica log-log de error frente a $h$ y busca una pendiente estable.

¿Por qué aparece el $CFL$ en un tema espacial? Porque en ecuaciones evolutivas el refinamiento espacial cambia la relación entre transporte físico y avance temporal.

Síntesis final

Las diferencias finitas convierten operadores continuos en relaciones nodales. Su fiabilidad depende de suavidad, malla, fronteras y estabilidad. El $E_T$ disminuye con $h$ según el $p$ solo en el régimen adecuado. Refinar bien significa verificar convergencia, no simplemente multiplicar nodos.