Simulación estadística

Monte Carlo, cadenas de Markov, modelos de espines, muestreo y sistemas de muchas partículas.

Idea general del tema

La física estadística computacional permite conectar la escala microscópica de partículas con la termodinámica macroscópica mediante muestreo probabilístico. En sistemas con $10^{23}$ estados posibles, la integración analítica es inviable; el método de Monte Carlo resuelve este desafío muestreando solo los microestados estadísticamente relevantes según la distribución de Boltzmann.

Este nodo agrupa generadores de números pseudoaleatorios, integración Monte Carlo multidimensional, muestreo por importancia con el algoritmo de Metropolis-Hastings y transiciones de fase en el modelo de Ising.

Que vas a comprender de verdad

Comprenderás la noción de equilibrio estadístico computacional: cómo una cadena de Markov satisface el balance detallado y converge al ensamble canónico independientemente del estado inicial.

Aprenderás a calcular la energía interna, la magnetización media, la susceptibilidad magnética y el calor específico $C_v$ a través de las fluctuaciones microscópicas de la simulación.

Ruta didáctica recomendada

1. Integración Monte Carlo: método de acierto-error, muestreo uniforme y reducción de varianza en espacios de alta dimensión.
2. Cadenas de Markov y Metropolis: balance detallado, probabilidad de aceptación $P = \min(1, e^{-\Delta E / k_B T})$ y tiempo de correlación.
3. El modelo de Ising 2D: retículo de espines ferromagnéticos, magnetización espontánea y fenómeno de rotura de simetría.
4. Análisis de transiciones de fase: detección de la temperatura crítica de Curie $T_c$, fluctuaciones y escalado de tamaño finito.

Criterio físico que debes adquirir

Aprender a distinguir el tiempo de termalización (tiempo necesario para alcanzar el equilibrio) de la fase de medición estática, calculando barras de error estadístico que descuenten la autocorrelación de los datos.

Conexión con problemas reales

• Física del estado sólido: ferromagnetismo, vidrios de espín y aleaciones metálicas.
• Química computacional y biología: ensambles conformacionales de polímeros y adsorción molecular.
• Finanzas cuantitativas y física nuclear: transporte de neutrones y estimación estocástica de riesgos.

Meta final del tema

Saber implementar simulaciones Monte Carlo completas con el algoritmo de Metropolis para calcular magnitudes termodinámicas y transiciones de fase.