Introducción a cuántica numérica

Resolución numérica básica de estados cuánticos, energías y funciones de onda discretizadas.

Contexto conceptual

Resolver numéricamente un problema cuántico consiste en transformar una ecuación diferencial continua en un objeto discreto que pueda manejar un ordenador. La $x$ se sustituye por una malla, la $\psi$ por un conjunto de amplitudes y el operador de $E$ por un $H$ matricial. El resultado ya no es una fórmula cerrada, sino una colección de $E$ y $\psi _vec$ aproximados. La tarea esencial no termina al obtenerlos: hay que comprobar normalización, condiciones de contorno y convergencia al reducir $\Delta x$.

🟢 Nivel esencial

La idea básica es convertir el espacio continuo en una fila de puntos. En cada punto se almacena un valor de $\psi$, y la curvatura se aproxima comparando ese valor con sus dos vecinos inmediatos.

Con esos datos se construye un $H$. Sus autovalores son las posibles $E$ y sus autovectores describen los estados. Un estado ligado aparece localizado y suele decaer en los bordes del dominio. Los estados excitados presentan más nodos. La solución numérica debe normalizarse para que $P_tot$ sea próxima a uno. Después se repite el cálculo reduciendo $\Delta x$. Si la energía calculada y la forma de la onda permanecen estables, la solución converge. Una buena solución conserva su interpretación física al cambiar la resolución.

La estabilidad debe observarse tanto en el valor calculado como en la forma espacial. La malla es, por tanto, una aproximación física y no solo un formato de almacenamiento: su separación controla qué estructura espacial puede representarse, mientras sus fronteras deciden qué colas se conservan o se descartan.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

La ecuación física de partida relaciona curvatura, $V$, $m$, $ℏ$, $E$ y $\psi$.

Ecuación de Schrödinger estacionaria unidimensional

La curvatura se aproxima mediante una fórmula centrada que usa $\psi ᵢ₋₁$, $\psi ᵢ₊₁$ y $\Delta x$.

Segunda derivada por diferencias finitas

Esa aproximación genera una matriz tridiagonal de $K$. El $U$ se coloca normalmente en la diagonal y ambos términos forman el $H$.

Hamiltoniano discretizado por diferencias finitas

El problema diferencial se convierte entonces en un problema algebraico de autovalores.

Problema matricial de autovalores cuánticos

Preguntas reales del alumno

¿Por qué las energías salen discretas? Porque se resuelve un problema de autovalores con condiciones de contorno.

¿La función de onda negativa implica probabilidad negativa? No, la probabilidad usa el módulo cuadrado.

¿Una malla más fina siempre es mejor? Reduce truncamiento, pero aumenta coste y puede amplificar redondeo.

¿Normalizar garantiza que el estado sea correcto? No, también deben converger $E$, forma y bordes.

¿Cómo sé que comparo el mismo estado? Por nodos, paridad, forma y solapamiento.

Síntesis final

La cuántica numérica convierte la ecuación de Schrödinger en un problema matricial. Una solución fiable combina $E$ convergida, $\psi$ estable, normalización correcta, dominio suficiente y control explícito de $\Delta x$.