Simulación de N cuerpos

Integración numérica de sistemas gravitatorios con control de energía y paso temporal.

Contexto conceptual

Una simulación de N cuerpos sigue la evolución de varios objetos que interactúan gravitatoriamente. En cada instante se conocen $r_i$, $r_j$, masas y velocidades; a partir de ellas se calcula $F_ij$, luego $a_i$ y finalmente se actualizan posiciones y velocidades. El reto no es solo obtener órbitas plausibles, sino controlar cuánto se altera $E$ por la integración numérica. El parámetro decisivo es $dt$: si es demasiado grande, la simulación puede inventar precesiones, expulsiones o colisiones. Si es menor, aumenta el coste. La pregunta central es reconocer cómo disminuye $\epsilon _E$ al refinar el tiempo y cuándo deja de seguir la ley esperada.

🟢 Nivel esencial

En una simulación gravitatoria, cada cuerpo siente la atracción de los demás. El ordenador repite un ciclo: mide separaciones, calcula la interacción neta y avanza el sistema durante un pequeño $dt$. Cuanto menor es ese intervalo, mejor se resuelven las curvas orbitales y los encuentros cercanos. Sin embargo, reducirlo no arregla masas equivocadas, condiciones iniciales incoherentes ni una singularidad no tratada. La calidad se vigila mediante $E$, que debería permanecer casi constante en un sistema aislado. $\epsilon _E$ compara esa conservación entre ejecuciones. Un patrón regular al reducir el paso apoya la convergencia; una deriva, una meseta o saltos bruscos exigen revisar el integrador o el encuentro.

La energía y la forma orbital deben comprobarse juntas, porque cada diagnóstico por separado puede ocultar un defecto numérico distinto. Además, conviene revisar la trayectoria visual. Una órbita convincente puede acumular desfase, y una expulsión llamativa puede desaparecer al repetir el cálculo con mayor resolución. Por eso se comparan ejecuciones antes de aceptar una conclusión física.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

La interacción gravitatoria entre dos cuerpos se obtiene con:

Fuerza gravitatoria vectorial

La fuerza total sobre el cuerpo i se transforma en $a_i$ mediante:

Aceleración de un cuerpo

En Leapfrog, la actualización se separa en una velocidad escalonada y una nueva posición:

Actualización de velocidad Leapfrog

Actualización de posición Leapfrog

La energía cinética global se calcula con:

Energía cinética total

La energía potencial exige sumar pares únicos para evitar doble conteo:

Energía potencial gravitatoria total

Ambas contribuciones forman:

Energía mecánica total

Preguntas reales del alumno

¿Conservar energía significa que la órbita es exacta? No. Puede existir error de fase aunque la energía oscile poco.

¿Por qué Leapfrog usa $v_half$? El escalonamiento mejora la estructura geométrica del integrador y limita la deriva secular.

¿Qué pasa si $E_0$ es casi cero? El error relativo deja de ser estable; conviene normalizar con otra escala.

¿Por qué un encuentro cercano rompe la convergencia? Porque introduce una escala temporal mucho menor y una fuerza que cambia muy rápido.

¿Un paso adaptativo siempre es mejor? Resuelve encuentros eficientemente, pero puede perder algunas ventajas simplécticas si no se diseña con cuidado.

Síntesis final

La simulación de N cuerpos es fiable cuando la dinámica, las unidades y el integrador forman un conjunto coherente. Reducir $dt$ debe disminuir $\epsilon _E$ de forma predecible hasta que otra fuente domine. La convergencia convierte una órbita calculada en evidencia numérica.