Integración de EDO

Integra EDO y evalúa precisión, estabilidad y coste numérico. Teoría, fórmulas, ejemplos resueltos y gráficas interactivas.

Contexto conceptual

Muchas leyes físicas se expresan como ecuaciones diferenciales: describen cómo cambia una magnitud a partir de su estado actual. Cuando no existe una solución analítica útil, se reemplaza la evolución continua por una secuencia de pasos numéricos. Esa sustitución introduce decisiones que no son neutras. El $h$ determina la resolución, el método de integración decide cómo se combinan las pendientes y el $N$ fija el coste básico. La cuestión central es distinguir una aproximación precisa de una solución aparentemente suave pero inestable. Para ello se comparan $y_num$, $y_ref$ y $E_g$, siempre dentro del intervalo definido por $t_0$ y $t_f$.

🟢 Nivel esencial

Integrar una EDO significa reconstruir cómo evoluciona $y$ a partir de su tasa instantánea $\frac{dy}{dt}$. El ordenador sustituye la evolución continua por una sucesión de intervalos. En cada uno estima hacia dónde cambia el sistema y avanza una pequeña cantidad de $t$.

Euler conserva la pendiente observada al comienzo de cada intervalo. Es fácil de entender y barato, aunque puede apartarse con rapidez de una trayectoria curva. Heun revisa esa primera predicción con información del extremo estimado. RK4 toma varias muestras internas y suele reproducir mejor la curvatura en problemas suaves. Los detalles algebraicos de esas correcciones se introducen en el nivel formal.

Reducir $h$ suele mejorar la aproximación, pero obliga a realizar más cálculos. Además, una curva suave no garantiza un resultado correcto: el algoritmo puede inventar oscilaciones, crecimiento o un ritmo de decaimiento equivocado. La comprobación básica consiste en repetir el cálculo con intervalos menores y observar si el resultado se estabiliza. Elegir un método exige equilibrar la escala física del fenómeno, la precisión necesaria y el coste disponible.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

La dinámica se expresa como una EDO de primer orden que relaciona $\frac{dy}{dt}$ con $t$ y $y$.

EDO de primer orden

Euler explícito avanza desde el estado actual usando la pendiente al inicio del intervalo.

Paso de Euler explícito

El resultado de esta actualización es $y_{n+1}$: una aproximación discreta tras un paso, no el valor exacto de la solución continua.

El método de Heun obtiene una predicción con $k_1$ y la corrige mediante $k_2$, de modo que usa información del principio y del final aproximado.

Paso de Heun

RK4 calcula cuatro pendientes, $k_1$, $k_2$, $k_3$ y $k_4$, evaluadas en distintos puntos del intervalo. Su combinación ponderada produce una aproximación de cuarto orden.

Paso de Runge-Kutta de cuarto orden

Preguntas reales del alumno

¿Un paso menor siempre es mejor? Hasta cierto punto. Reduce el error de truncamiento, pero aumenta coste y puede hacer visible el redondeo.

¿RK4 es siempre superior a Euler? No. Es más preciso en muchos problemas suaves, pero cuesta más y no resuelve por sí solo la rigidez.

¿Una gráfica suave garantiza que el resultado sea correcto? No. Una solución incorrecta puede ser suave. Hace falta una prueba de convergencia.

¿Qué significa que un método sea estable? Que no amplifica artificialmente perturbaciones numéricas en el régimen analizado.

¿Por qué comparar con la mitad del paso? Porque permite estimar si la solución se acerca a un límite y observar el orden efectivo del método.

Síntesis final

El $h$ controla resolución y coste; el método controla cómo se usa la información de la pendiente. Una solución fiable debe ser dimensionalmente coherente, estable y convergente. $E_g$ y la comparación por refinamiento convierten una curva calculada en una aproximación físicamente defendible.