Osciladores no lineales

Modelado numérico de osciladores con restauración no lineal, amortiguamiento y forzamiento externo.

Contexto conceptual

Un oscilador no lineal no repite siempre el mismo ritmo con independencia de la amplitud. Su $x$ modifica la propia $F_r$, de modo que el periodo, la forma de la trayectoria y la respuesta al forzamiento pueden cambiar durante la evolución. Cuando además actúan $c$ y $F_0$, el sistema intercambia energía con el entorno y puede mostrar resonancia desplazada, saltos de amplitud, multestabilidad o caos. La física computacional permite seguir esa evolución resolviendo paso a paso cómo cambian $v$ y $a$ con el $t$. La pregunta central no es solo cuánto oscila, sino qué mecanismo organiza cada régimen observado.

🟢 Nivel esencial

El rasgo decisivo es que la $F_r$ ya no crece de forma estrictamente proporcional al $x$. Por eso una oscilación grande puede comportarse de manera distinta de una pequeña. El $\alpha$ determina si el sistema se vuelve más resistente o más flexible al aumentar la amplitud.

El $c$ representa pérdidas, mientras la $F_0$ controla el aporte externo. La respuesta observada nace de la competencia entre restauración, disipación y excitación. Puede deformarse respecto a una sinusoidal, cambiar de ritmo o saltar entre dos regímenes estables aunque los parámetros finales sean los mismos. Ese último comportamiento revela dependencia de la historia y de las condiciones iniciales.

Para estudiar el movimiento se simulan muchos ciclos y se separa la etapa inicial de la respuesta tardía. Después se comparan la señal temporal, la trayectoria en el espacio de fases y muestras tomadas siempre en la misma fase de la excitación. Una irregularidad visual no demuestra caos: primero debe mantenerse al refinar el cálculo y al prolongar la observación.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

El modelo de referencia es el oscilador de Duffing, que equilibra inercia, amortiguamiento viscoso, restauración lineal, restauración cúbica y excitación sinusoidal:

Ecuación de Duffing

La parte conservativa se resume mediante la fuerza:

Fuerza restauradora no lineal

Su signo debe interpretarse con el convenio del eje. El término asociado a $k$ domina cerca del origen, mientras el término gobernado por $\alpha$ gana importancia cuando aumenta $x$. La estructura energética se obtiene con:

Energía potencial de Duffing

La magnitud resultante es $U$, que combina las contribuciones cuadrática y cuártica del desplazamiento.

y la suma instantánea de energía cinética y potencial con:

Energía mecánica

Preguntas reales del alumno

¿Una señal irregular es siempre caótica? No. Puede ser un transitorio largo, una superposición cuasiperiódica o un error de integración.

¿Por qué cambia el periodo con la amplitud? Porque la contribución del término cúbico modifica la rigidez efectiva.

¿Puede haber varias respuestas con los mismos parámetros? Sí. Distintas condiciones iniciales pueden conducir a atractores diferentes.

¿Cómo sé si el paso temporal es adecuado? Repite la simulación con un paso menor y comprueba que amplitud, fase y estructura del atractor convergen.

¿La energía debe conservarse? Solo en ausencia de amortiguamiento y forzamiento.

¿Qué diferencia hay entre frecuencia de forzamiento y frecuencia de respuesta? La primera pertenece a la excitación; la segunda emerge del movimiento y puede ser igual, múltiplo, submúltiplo o incluso no periódica.

Síntesis final

Un oscilador no lineal transforma amplitud, disipación y forzamiento en una dinámica rica. La simulación fiable exige modelo físico, control numérico y lectura gráfica conjunta. Lo importante no es solo obtener una curva, sino reconocer qué mecanismo produce su forma y cuándo el modelo deja de ser suficiente.