Propagación de incertidumbres

Propagación de incertidumbres mediante sensibilidades y covarianzas. Teoría, fórmulas, ejemplos resueltos y gráficas interactivas.

Contexto conceptual

Muchas magnitudes físicas no se miden directamente. Se calculan a partir de longitudes, tiempos, masas, tensiones u otras entradas que ya tienen incertidumbre. Esa incertidumbre no desaparece al aplicar una fórmula: se transforma según la sensibilidad de la salida a cada entrada. La propagación estudia esa transformación. La pregunta clave no es solo cuánto vale una magnitud derivada, sino qué variables dominan su incertidumbre, cómo influyen las correlaciones y cuándo la aproximación lineal deja de ser válida. El resultado debe distinguir incertidumbres absolutas, relativas y covarianzas, siempre con unidades coherentes.

🟢 Nivel esencial

Una magnitud derivada depende de varias entradas y cada una transmite su incertidumbre de manera distinta.

Si una entrada cambia poco pero la salida responde mucho, esa entrada tiene gran sensibilidad y puede dominar el resultado. $c_x$ y $c_z$ describen esa respuesta local. Las incertidumbres $u_x$ y $u_z$ se ponderan primero por esas sensibilidades. Si las entradas son independientes, las contribuciones se combinan en cuadratura para obtener $u_y$. Si están relacionadas, $\sigma_{xz}$ puede aumentar o reducir la varianza total. En productos, cocientes y potencias suele ser más claro comparar incertidumbres relativas, es decir, fracciones respecto al valor nominal. El signo de una derivada indica dirección del cambio, pero la incertidumbre permanece como amplitud no negativa. Propagar correctamente permite identificar qué medida conviene mejorar. La comparación entre contribuciones guía una mejora experimental eficiente: solo merece la pena reducir la incertidumbre de la entrada que realmente domina el presupuesto total, no la que resulta más fácil de mejorar en el laboratorio.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

Para una única entrada, la incertidumbre estándar de salida se obtiene mediante:

Propagación para una variable

Esta relación multiplica $u_x$ por el valor absoluto de $c_x$. Cuando intervienen dos entradas independientes, sus contribuciones ponderadas se combinan con:

Propagación para entradas independientes

Si existe dependencia estadística, debe incorporarse $\sigma_{xz}$ mediante:

Propagación con covarianza

Preguntas reales del alumno

¿Por qué se usan derivadas? Porque describen cuánto cambia localmente la salida cuando cambia una entrada.

¿Una derivada negativa produce incertidumbre negativa? No. Solo indica dirección; la amplitud se toma no negativa.

¿Cuándo uso incertidumbre relativa? En productos, cocientes y potencias, siempre que los valores nominales no sean cero.

¿Qué hace la covarianza? Describe si dos entradas fluctúan juntas y modifica la varianza total.

¿Siempre sirve la propagación lineal? No. Falla cerca de singularidades, con incertidumbres grandes o funciones muy curvas.

¿Cómo sé qué variable mejorar? Compara las contribuciones ponderadas por sensibilidad y actúa sobre la dominante.

Síntesis final

La incertidumbre de una magnitud derivada nace de las incertidumbres de entrada, pero su peso lo decide la sensibilidad del modelo. La independencia permite combinar en cuadratura; la correlación exige covarianzas. La validez depende de unidades coherentes, linealización local y lectura física del resultado.