Ajuste lineal y no lineal

Ajuste de modelos lineales y no lineales a datos experimentales con incertidumbre.

Contexto conceptual

En física experimental, una nube de puntos no es todavía una ley. Cada dato combina respuesta del sistema, resolución instrumental, fluctuaciones y posibles sesgos. Ajustar un modelo significa proponer una relación entre $x$ y $y$, estimar sus parámetros y comprobar si la discrepancia entre datos y predicción es compatible con $\sigma_{i}$. La decisión no consiste en elegir la curva más vistosa, sino la explicación más simple que conserve significado físico, respete unidades y no deje patrones en $r_i$. Un modelo lineal describe sensibilidad constante; uno no lineal permite que la respuesta cambie de ritmo. La comparación exige mirar simultáneamente parámetros, residuos, dominio experimental y calidad de medida.

🟢 Nivel esencial

Un ajuste transforma una colección de medidas en una relación interpretable. Primero se representa $y$ frente a $x$ y se observa si la tendencia parece recta, curvada o dividida en regiones.

En un modelo lineal, $m$ expresa cuánto cambia la respuesta por cada unidad de entrada, mientras $b$ describe el nivel de partida extrapolado. Un modelo no lineal permite que esa sensibilidad cambie con la entrada. La elección no debe basarse solo en una puntuación global. También se examina $r_i$: si los valores positivos y negativos aparecen dispersos sin dibujo y son compatibles con la incertidumbre de medida, el modelo puede ser adecuado; si forman una curva, un abanico o bandas, falta física o la incertidumbre está mal descrita. Esta lectura inicial separa una tendencia visible de una discrepancia sistemática. Un buen ajuste también debe seguir siendo razonable si se elimina un único punto ordinario: si el resultado cambia drásticamente, el modelo o el propio dato deben revisarse antes de aceptar los parámetros obtenidos.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

El modelo lineal representa una respuesta con tasa constante y posible offset:

Modelo lineal

La estimación de $m$ mediante mínimos cuadrados ordinarios minimiza la suma de cuadrados verticales. Su relación operativa se expresa con:

Pendiente por mínimos cuadrados

Cuando la respuesta sigue un escalamiento, el modelo potencial introduce $A$ y $n$:

Modelo potencial

Preguntas reales del alumno

¿La curva con mayor $R2$ es siempre mejor? No. Puede ganar por añadir flexibilidad y, aun así, dejar residuos estructurados o parámetros sin significado.

¿Por qué mirar $r_i$ si la curva parece buena? Porque el ojo se deja dominar por la escala global. Los residuos amplifican desviaciones pequeñas y revelan patrones.

¿Un $chi2nu$ cercano a uno demuestra que el modelo es correcto? Solo indica compatibilidad con las incertidumbres bajo ciertas hipótesis. No demuestra causalidad ni unicidad.

¿Cuándo conviene un modelo no lineal? Cuando existe fundamento físico, curvatura persistente o cambio de sensibilidad que el modelo lineal no absorbe.

¿Puedo linealizar una ley potencial con logaritmos? Sí, si los datos admiten la transformación y se tratan correctamente las incertidumbres; la transformación cambia la estructura del error.

¿Qué hago con un dato atípico? Investigar su origen. Eliminarlo sin criterio puede ocultar física o fabricar un ajuste artificialmente limpio.

Síntesis final

Elegir entre ajuste lineal y no lineal exige más que comparar curvas. Hay que unir unidades, parámetros, $r_i$, $\sigma_{i}$, métricas globales y mecanismo físico. El mejor modelo es el más sencillo que explica la dependencia observada sin patrones residuales, conserva significado y declara con honestidad su dominio de validez.