Residuos y chi cuadrado

Analiza residuos normalizados y chi cuadrado para evaluar la compatibilidad entre datos y modelo.

Contexto conceptual

Un ajuste experimental no termina cuando una curva parece pasar cerca de los puntos. La cuestión física real es si las diferencias entre cada $y_i$ y su $y_model_i$ son compatibles con la $\sigma_{i}$ declarada. El $r_i$ conserva el signo de esa diferencia y permite localizar sesgos; el $z_i$ expresa la separación en unidades comparables. El $chi2$ reúne todas esas discrepancias, mientras que el $chi2nu$ incorpora cuánta información independiente queda tras ajustar parámetros. La combinación de lectura local, gráfica y global permite distinguir fluctuaciones razonables de tendencias sistemáticas, incertidumbres mal estimadas o un modelo físico incompleto.

🟢 Nivel esencial

Cada punto experimental cuenta una pequeña historia. El $y_i$ dice qué ocurrió; el $y_model_i$ dice qué esperaba el modelo.

Su separación con signo es el $r_i$. Un valor positivo indica que el dato quedó por encima de la predicción y uno negativo, por debajo. Sin embargo, una separación de una unidad física puede ser enorme en un experimento preciso y despreciable en otro ruidoso. Por eso se divide por la $\sigma_{i}$ y se obtiene el $z_i$, que mide cuántas incertidumbres separan dato y modelo. El gráfico de estos valores frente a la $x_i$ debe parecer una nube sin tendencia alrededor de cero. Un estadístico cuadrático resume el conjunto, pero no conserva el orden ni el signo. Por eso nunca debe interpretarse sin mirar también el patrón $r_i$. Cuando el $chi2nu$ resulta próximo a uno, la dispersión observada coincide con la $\sigma_{i}$ declarada; valores mucho mayores sugieren un modelo incompleto o una incertidumbre subestimada, mientras que valores muy inferiores a uno suelen delatar una incertidumbre sobreestimada.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

Para cada condición experimental identificada por $x_i$, se compara el $y_i$ con el $y_model_i$. El convenio adoptado es observado menos predicho:

Residuo experimental

El $r_i$ conserva las unidades de la variable medida. Para comparar puntos con distinta precisión se introduce la $\sigma_{i}$:

Residuo normalizado

El $z_i$ es adimensional. Su signo mantiene la dirección de la discrepancia y su módulo expresa la separación en unidades de incertidumbre. La discrepancia global ponderada se obtiene sumando las contribuciones cuadráticas:

Chi cuadrado

Preguntas reales del alumno

¿Un $r_i$ cero demuestra que el modelo es correcto? No. Solo indica coincidencia en ese punto; otros datos o regiones pueden contradecirlo.

¿Por qué se eleva al cuadrado? Para evitar cancelaciones entre signos y penalizar con más fuerza las discrepancias grandes.

¿Un chi cuadrado reducido igual a uno es perfecto? No. Es una referencia condicionada por las hipótesis del error y los $\nu$.

¿Puede un valor muy pequeño ser malo? Sí. Puede indicar $\sigma_{i}$ sobreestimada, correlaciones o ajuste excesivamente flexible.

¿Qué miro primero? El gráfico de $z_i$, porque conserva posición y patrón. Después usa el $chi2nu$ como resumen.

Síntesis final

Los residuos muestran dónde y en qué dirección falla un modelo; su normalización indica si la discrepancia es relevante frente a la incertidumbre. El chi cuadrado resume el conjunto y el reducido incorpora la información efectiva. La compatibilidad física surge de combinar cifras, patrón gráfico, unidades, hipótesis y complejidad del ajuste.