Condiciones iniciales y de contorno

Papel de las condiciones de Cauchy y de contorno para fijar constantes y obtener soluciones físicas únicas.

Qué es

Una ecuación diferencial pura define una clase infinita de soluciones posibles (la solución general), caracterizada por constantes arbitrarias o funciones arbitrarias de integración. Para aislar la solución particular única que describe un fenómeno físico específico en un dominio delimitado, es imprescindible imponer restricciones auxiliares:

1. Condiciones Iniciales (Problema de Cauchy): Se especifican el estado del sistema y sus derivadas temporales en un único instante de tiempo de referencia $t = t_0$. $y(t_0) = y_0, \quad y'(t_0) = v_0, \quad \dots, \quad y^{(n-1)}(t_0) = y_0^{(n-1)}$ Para una EDO de orden $n$, se requieren exactamente $n$ condiciones en el mismo punto temporal $t_0$.
2. Condiciones de Contorno (Problema de Frontera / Dirichlet, Neumann, Robin): Se especifican los valores de la función o de sus derivadas espaciales en múltiples puntos espaciales diferentes que delimitan la frontera $\partial \Omega$ del dominio:
   • Dirichlet: Se fija el valor de la función incógnita en la frontera: $\left.u(\mathbf{x})\right|_{\partial \Omega} = f(\mathbf{x})$ (ejemplo: potencial electrostático de placas conductoras conectadas a tierra, $V = 0$).
   • Neumann: Se fija la derivada normal (el flujo) en la frontera: $\left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{\partial \Omega} = g(\mathbf{x})$ (ejemplo: pared térmicamente aislada, flujo de calor nulo $\nabla T \cdot \mathbf{n} = 0$).
   • Robin (Mixta): Se prescribe una combinación lineal del valor y de la derivada normal: $\left.\left(a u + b \frac{\partial u}{\partial n}\right)\right|_{\partial \Omega} = h(\mathbf{x})$ (ejemplo: enfriamiento convectivo superficial según la ley de Newton).

Por qué aparece en física

Las leyes fundamentales de la física son universales y locales: la ecuación de onda o las leyes de Maxwell se aplican por igual en el vacío interestelar que dentro de una guía de ondas de microondas. Lo que diferencia el sonido de una guitarra acústica del de una flauta travesera, o la radiación en una cavidad resonante de la propagación libre, son exclusivamente las fronteras materiales y cómo se excitó inicialmente el sistema.

• Sin condiciones iniciales, la ecuación del oscilador armónico $m \ddot{x} + k x = 0$ describe cualquier vibración posible; al fijar $x(0) = x_0$ y $\dot{x}(0) = 0$, se define de forma unívoca la oscilación física real.
• En electrostática, la ecuación de Laplace $\nabla^2 V = 0$ solo posee solución físicamente determinada cuando se establecen los potenciales o las densidades superficiales de carga en todos los conductores límite.

Idea visual o geométrica

• Problema de Cauchy (Inicial): Imagina el espacio de fases (posición vs. velocidad). Una condición inicial $(x_0, v_0)$ sitúa un punto de partida exacto en dicho espacio. La ecuación diferencial actúa como una brújula que guía al móvil a lo largo de una única trayectoria determinista continua en el tiempo.
• Problema de Contorno: Imagina una membrana elástica de tambor (ecuación de Poisson/Laplace). La condición de contorno de Dirichlet equivale a sujetar rígidamente el borde de la membrana a un marco metálico circular fijo con una altura $u = 0$. La superficie resultante es la forma de equilibrio que minimiza la energía elástica adaptándose rígidamente a los bordes.

Lenguaje simbólico mínimo

• Teorema de Existencia y Unicidad de Picard-Lindelöf para Cauchy: Si $f(t, y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son continuas en un rectángulo $R$ alrededor de $(t_0, y_0)$, el problema: $\frac{dy}{dt} = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0$ posee una solución única en un intervalo $(t_0 - \epsilon, t_0 + \epsilon)$.
• Problema de Sturm-Liouville (valores propios y contorno): $\frac{d}{dx}\left[p(x) \frac{dy}{dx}\right] + q(x) y = -\lambda w(x) y, \quad \alpha_1 y(a) + \alpha_2 y'(a) = 0, \quad \beta_1 y(b) + \beta_2 y'(b) = 0$ donde los autovalores discretos $\lambda_n$ generan los modos normales espaciales del sistema físico.

Qué significa el resultado

El cumplimiento de las condiciones iniciales o de contorno garantiza que el modelo matemático representa un problema bien formulado en el sentido de Hadamard:

1. Existencia: Existe al menos una función que satisface la ecuación y las restricciones.
2. Unicidad: No existen dos estados físicos divergentes compatibles con los mismos datos experimentales de partida.
3. Estabilidad continua: Pequeñas perturbaciones infinitesimales en los datos iniciales o de frontera provocan solo pequeñas variaciones en la solución resultante.

Cuándo no debes usarlo

• Sobre-especificación de condiciones: Imponer más condiciones independientes que el orden del sistema genera incompatibilidad algebraica (no existe solución).
• Sub-especificación: Omitir condiciones deja grados de libertad indeterminados, imposibilitando realizar predicciones cuantitativas.
• Contornos abiertos en problemas elípticos: Resolver la ecuación de Laplace en un dominio sin cerrar completamente su frontera conduce a soluciones divergentes o indeterminadas.
• Sistemas caóticos con horizontes de Lyapunov: Aunque formalmente existe unicidad matemática, la sensibilidad extrema a las condiciones iniciales invalida las predicciones temporales a largo plazo ($t > t_{\text{Lyapunov}}$).

Resumen operativo

1. Cuenta el orden de las derivadas temporales ($n_t$) y espaciales ($n_x$).
2. Asigna exactamente $n_t$ condiciones iniciales en $t = t_0$.
3. Asigna exactamente $n_x$ condiciones de frontera en los extremos espaciales $x = a$ y $x = b$.
4. Clasifica el tipo de contorno: ¿Dirichlet (valor fijo), Neumann (derivada/flujo fijo) o Robin (convección/elástico)?
5. Plantea el sistema algebraico lineal o trascendente para despejar los coeficientes de la solución general.

Procedimiento: Imposición de Condiciones Iniciales y de Contorno

Antes de calcular

1. Verifica la dimensionalidad y el orden: Para una EDO de orden $n$, comprueba que dispones de exactamente $n$ datos independientes.
2. Distingue el tipo de problema:
   • Si todos los datos están en el mismo valor $t_0$, es un Problema de Valor Inicial (PVI).
   • Si los datos se reparten en dos o más puntos espaciales ($x = 0$ y $x = L$), es un Problema de Valores en la Frontera (PVF).
3. Obtén la solución general analítica: Resuelve previamente la ecuación homogénea e inhomogénea conservando todas las constantes de integración ($C_1, C_2, \dots, C_n$).

Paso 1: identifica el objeto matemático

Escribe con claridad el conjunto de ecuaciones de ligadura:

• Para PVI de segundo orden: $y(t_0) = y_0, \quad y'(t_0) = v_0$
• Para PVF de segundo orden en $[0, L]$:
  • Dirichlet: $y(0) = A, \quad y(L) = B$
  • Neumann: $y'(0) = 0, \quad y'(L) = \Phi$
  • Mixto: $y(0) = 0, \quad y'(L) + h y(L) = 0$

Paso 2: elige la operación

1. Deriva analíticamente la solución general tantas veces como requieran las condiciones auxiliares para obtener las expresiones simbólicas de $y'(t), y''(t)$, etc.
2. Sustituye las coordenadas del punto de aplicación ($t = t_0$ o $x = 0, L$) en las fórmulas simbólicas de la función y sus derivadas.
3. Plantea el sistema algebraico de ecuaciones lineales en las incógnitas $(C_1, C_2, \dots, C_n)$: $\mathbf{M} \mathbf{C} = \mathbf{Y}_0$

Paso 3: conserva unidades y signos

• Si $y(t)$ representa desplazamiento en metros, $C_1$ y $C_2$ deben ajustarse para que el término completo tenga dimensiones de metros.
• La derivada $y'(t_0) = v_0$ introduce factores dimensionales de las frecuencias angulares o constantes de amortiguamiento (ej. $\omega_0 C_2$). Asegúrate de dividir correctamente por dichas constantes al despejar.

Paso 4: calcula

1. Resuelve el sistema algebraico (por eliminación gaussiana, regla de Cramer o sustitución directa).
2. Para problemas de valores en la frontera que involucren frecuencias o modos propios (como cuerdas vibrantes), comprueba si el determinante del sistema debe anularse para admitir soluciones no triviales (ecuación de autovalores $\det \mathbf{M}(\lambda) = 0$).
3. Sustituye los valores particulares de las constantes $C_i$ en la expresión general.

Paso 5: interpreta el resultado

1. Comprobación directa: Evalúa la solución particular resultante en los puntos de frontera o iniciales. ¿Reproduce exactamente los datos de entrada?
2. Comportamiento físico: ¿La solución respeta los principios de conservación de energía o continuidad de flujo?
3. Singularidades: Si el determinante del sistema fue cero sin existir término fuente, el problema puede carecer de solución única (resonancia o autovalor puro).

Checklist de autocontrol

• ¿He derivado la función antes de sustituir el punto temporal o espacial?
• ¿Coincide el número de condiciones independientes con el orden de la ecuación?
• ¿Al sustituir $t = 0$ en la solución final obtengo exactamente $y_0$ y $v_0$?
• ¿Las unidades de todas las constantes despejadas son físicamente correctas?
• En problemas de contorno Neumann homogéneo ($y'(0)=0, y'(L)=0$), ¿he verificado la condición de compatibilidad integral de la fuente?

Ejemplos resueltos: Condiciones Iniciales y de Contorno

Ejemplo guiado paso a paso

Problema

Un oscilador armónico simple sin amortiguamiento de masa $m = 0.5\,\text{kg}$ y constante elástica $k = 50\,\text{N}/\text{m}$ se encuentra inicialmente desplazado $x(0) = 0.2\,\text{m}$ de su posición de equilibrio y se le imparte una velocidad inicial hacia el origen $v(0) = -2\,\text{m}/\text{s}$.

1. Escribe la ecuación diferencial y su solución general.
2. Determina la solución particular única imponiendo las condiciones iniciales de Cauchy.
3. Expresa la solución en forma de amplitud y fase $x(t) = A \cos(\omega_0 t - \phi)$.

Solución detallada

Paso 1: Solución general de la EDO La ecuación dinámica es: $m \ddot{x} + k x = 0 \implies \ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0$ Calculamos la frecuencia angular natural: $\omega_0^2 = \frac{k}{m} = \frac{50}{0.5} = 100\,\text{rad}^2/\text{s}^2 \implies \omega_0 = 10\,\text{rad}/\text{s}$ La solución general es: $x(t) = C_1 \cos(10 t) + C_2 \sin(10 t)$ Su derivada temporal (velocidad) es: $v(t) = \dot{x}(t) = -10 C_1 \sin(10 t) + 10 C_2 \cos(10 t)$

Paso 2: Imposición de las condiciones iniciales en $t = 0$ Evaluamos la posición en $t = 0$: $x(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 = 0.2\,\text{m}$ Evaluamos la velocidad en $t = 0$: $v(0) = -10 C_1 \sin(0) + 10 C_2 \cos(0) = 10 C_2 = -2\,\text{m}/\text{s} \implies C_2 = \frac{-2}{10} = -0.2\,\text{m}$ Por tanto, la solución particular en base trigonométrica canónica es: $x(t) = 0.2 \cos(10 t) - 0.2 \sin(10 t)\,\text{m}$

Paso 3: Conversión a forma de amplitud y fase La amplitud $A$ y la fase $\phi$ satisfacen: $A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2} = \sqrt{0.2^2 + (-0.2)^2} = \sqrt{0.04 + 0.04} = \sqrt{0.08} = 0.2 \sqrt{2} \approx 0.2828\,\text{m}$ $\tan\phi = \frac{C_2}{C_1} = \frac{-0.2}{0.2} = -1$ Dado que $C_1 > 0$ y $C_2 < 0$, el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante: $\phi = -\frac{\pi}{4}\,\text{rad}$ Así, la solución final es: $x(t) = 0.2 \sqrt{2} \cos\left(10 t + \frac{\pi}{4}\right)\,\text{m}$

Ejemplo inverso

Problema

Una barra conductora de calor homogénea de longitud $L = 2\,\text{m}$ en estado estacionario satisface la ecuación de Laplace unidimensional $\frac{d^2 T}{dx^2} = 0$. Se observa experimentalmente que la distribución de temperatura a lo largo de la barra es: $T(x) = 100 - 35 x\,\left(^\circ\text{C}\right)$ Determina qué condiciones de contorno físicas (tipo y valores numéricos en $x = 0$ y $x = L$) se aplicaron en los extremos de la barra para producir este perfil térmico.

Solución detallada

Paso 1: Solución general de la ecuación estacionaria Integrando dos veces $\frac{d^2 T}{dx^2} = 0$: $\frac{dT}{dx} = C_1 \implies T(x) = C_1 x + C_2$ Comparando con la solución dada $T(x) = -35 x + 100$: $C_1 = -35\,^\circ\text{C}/\text{m}, \quad C_2 = 100\,^\circ\text{C}$

Paso 2: Evaluación en los extremos del dominio

• En el extremo izquierdo $x = 0$: $T(0) = 100\,^\circ\text{C}$ La derivada térmica (gradiente de temperatura) es: $\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0} = -35\,^\circ\text{C}/\text{m}$
• En el extremo derecho $x = L = 2\,\text{m}$: $T(2) = 100 - 35(2) = 30\,^\circ\text{C}$ $\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=2} = -35\,^\circ\text{C}/\text{m}$

Paso 3: Identificación de las condiciones de contorno posibles Este perfil físico puede ser generado por cualquiera de las siguientes combinaciones de contorno bien planteadas:

1. Condiciones de Dirichlet puras: Mantener el extremo $x = 0$ en un baño térmico a $T(0) = 100^\circ\text{C}$ y el extremo $x = 2\,\text{m}$ a $T(2) = 30^\circ\text{C}$.
2. Condiciones mixtas (Dirichlet en $x=0$ y Neumann en $x=L$): Fijar la temperatura $T(0) = 100^\circ\text{C}$ e imponer en $x = 2\,\text{m}$ un flujo de calor constante entrante por la ley de Fourier: $q_x = -k \frac{dT}{dx} = -k(-35) = 35 k\,\text{W}/\text{m}^2$

Errores comunes: Condiciones Iniciales y de Contorno

Error 1: Sustituir las condiciones iniciales en la solución antes de derivar

Al evaluar la condición sobre la derivada $\dot{x}(0) = v_0$, sustituir primero $t = 0$ en la expresión de posición y luego intentar derivar el número resultante.

• Corrección: La operación de derivación debe realizarse simbólicamente sobre la función variable $x(t)$. Una vez obtenida la expresión algebraica $\dot{x}(t)$, se evalúa en $t = 0$.

Error 2: Confundir condiciones de contorno de Dirichlet con Neumann

Asignar un valor constante a la función en la frontera cuando el enunciado físico especifica un flujo nulo o un extremo libre.

• Ejemplo: En una cuerda con extremo libre sin fricción, imponer $y(L) = 0$ (Dirichlet) en lugar de la tensión transversal nula $\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x=L} = 0$ (Neumann).
• Consecuencia: Cambia radicalmente los modos propios y las frecuencias de resonancia del sistema.

Error 3: Imponer condiciones de Cauchy a una ecuación elíptica (como Laplace)

Intentar resolver la ecuación de Laplace $\nabla^2 u = 0$ en un dominio espacial especificando simultáneamente el valor $u$ y la derivada normal $\frac{\partial u}{\partial n}$ en una porción de la frontera sin cerrar el dominio.

• Consecuencia: El problema de Cauchy para ecuaciones elípticas es célebremente mal formulado en el sentido de Hadamard (inestable ante cualquier ruido infinitesimal en los datos de frontera).

Error 4: Olvidar que la condición inicial debe aplicarse a la solución completa (homogénea + particular)

En ecuaciones forzadas inhomogéneas $L[y] = g(t)$, ajustar las constantes $C_1, C_2$ utilizando únicamente la solución homogénea $y_h(t)$ y luego sumarle al final la solución particular $y_p(t)$.

• Consecuencia: Como $y_p(0) \neq 0$ en general, la suma total ya no cumplirá la condición inicial requerida: $y(0) = y_h(0) + y_p(0) \neq y_0$. Las constantes deben despejarse siempre sobre $y(t) = y_h(t) + y_p(t)$.

Error 5: No verificar la condición de compatibilidad en problemas puros de Neumann

En la ecuación de Poisson estacionaria $\nabla^2 u = f(\mathbf{x})$ con condiciones de Neumann puras $\nabla u \cdot \mathbf{n} = g$ en toda la frontera cerrada $\partial \Omega$:

• Por el teorema de la divergencia: $\int_{\Omega} f\,dV = \int_{\partial \Omega} g\,dS$.
• Si los datos $f$ y $g$ no satisfacen esta igualdad integral global, no existe ninguna solución matemática admisible (el flujo neto generado no puede escapar).

Regla rápida de control

Para comprobar la consistencia: sustituye el valor numérico obtenido para las constantes en la solución general, calcula $y(t_0)$ y $y'(t_0)$ y comprueba que coinciden exactamente con los datos iniciales. Si no coinciden, el error se cometió al despejar el sistema algebraico.

Aplicaciones físicas: Condiciones Iniciales y de Contorno

1. Guías de onda electromagnéticas y cavidades resonantes

En guías de onda metálicas huecas, las ecuaciones de Maxwell para las componentes de campo $E_z$ y $B_z$ se reducen a la ecuación de Helmholtz bidimensional: $\nabla_t^2 \psi + k_c^2 \psi = 0$

• Para modos TM (eléctrico transversal): la componente tangencial del campo eléctrico debe anularse en las paredes conductoras perfectas, lo que impone una condición de Dirichlet homogénea: $\left.E_z\right|_{\text{pared}} = 0$.
• Para modos TE (magnético transversal): el campo magnético normal debe anularse, lo que impone una condición de Neumann homogénea: $\left.\frac{\partial B_z}{\partial n}\right|_{\text{pared}} = 0$. Estas condiciones de contorno cuantizan los números de onda de corte $k_c$, determinando las bandas de frecuencia que pueden propagarse sin atenuación en enlaces de telecomunicaciones y radares.

2. Pozos de potencial cuánticos y confinamiento de partículas

En mecánica cuántica, una partícula atrapada en un pozo de potencial infinito unidimensional entre $x = 0$ y $x = L$ está sujeta a la anulación estricta de su función de onda en las paredes impenetrables: $\psi(0) = 0, \quad \psi(L) = 0 \quad \text{(Condiciones de Dirichlet)}$ La imposición de estas fronteras espaciales sobre la solución oscilatoria libre $\psi(x) = A \sin(k x) + B \cos(k x)$ fuerza la cuantización del momento lineal $k_n = \frac{n\pi}{L}$ y genera la discretización de los niveles de energía $E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}$, principio operativo de puntos cuánticos y láseres de semiconductores.

3. Balística determinista y trayectorias orbitales

El lanzamiento de una sonda interplanetaria requiere formular un problema de Cauchy en seis dimensiones (tres coordenadas espaciales y tres componentes de velocidad en el instante de encendido final del cohete propulsor $t_0$): $\mathbf{r}(t_0) = \mathbf{r}_0, \quad \dot{\mathbf{r}}(t_0) = \mathbf{v}_0$ La precisión milimétrica del encuentro con otro planeta a millones de kilómetros demuestra la validez del teorema de existencia y unicidad en sistemas dinámicos gravitatorios.

4. Aislamiento térmico y diseño arquitectónico bioclimático

El modelado de transferencia térmica en cerramientos de edificios combina múltiples tipos de contorno:

• Condición de Dirichlet en muros en contacto con el terreno (temperatura casi constante $T = 15^\circ\text{C}$).
• Condición de Neumann en barreras adiabáticas reflectantes de alta reflectancia térmica (flujo de calor $\frac{\partial T}{\partial n} = 0$).
• Condición de Robin en las fachadas expuestas al viento exterior, donde el flujo conductivo interno se equilibra con la convección ambiental: $-k \frac{\partial T}{\partial n} = h_{\text{conv}} (T - T_{\text{aire}})$.

5. Acústica de instrumentos de viento y tubos sonoros

El aire en el interior de un tubo de órgano satisface la ecuación de ondas acústicas unidimensional:

• En un extremo cerrado: el desplazamiento del aire está impedido físicamente, imponiendo un nodo de desplazamiento $y = 0$ y un antinodo de sobrepresión (condición de Neumann para la presión $p$).
• En un extremo abierto: la presión acústica coincide con la presión atmosférica exterior constante, imponiendo un nodo de sobrepresión $p = 0$ (condición de Dirichlet). La combinación de tubo abierto-abierto vs. abierto-cerrado define si el instrumento genera todos los armónicos o únicamente los armónicos impares (como el clarinete).

Conexión interdisciplinar

Las condiciones de contorno gobiernan desde la modelización computacional del flujo sanguíneo en la aorta en biomecánica (condiciones de acoplamiento de impedancia en las ramificaciones arteriales) hasta la predicción sismológica de ondas superficiales de Rayleigh y Love atrapadas entre la corteza terrestre y la atmósfera libre.

Práctica guiada: Condiciones Iniciales y de Contorno

Ejercicio 1: Modos propios de una cuerda tensa con extremos fijos

Una cuerda de guitarra de longitud $L = 0.65\,\text{m}$ y densidad lineal $\mu$ sometida a tensión $T$ satisface la ecuación de Helmholtz espacial para sus modos normales de oscilación: $X''(x) + k^2 X(x) = 0$ con extremos rígidamente sujetos: $X(0) = 0$ y $X(L) = 0$ (Condiciones de Dirichlet homogéneas).

1. Escribe la solución general de la EDO espacial.
2. Impón las condiciones de contorno y demuestra que solo existen soluciones no nulas para ciertos valores discretos $k_n$ (autovalores).
3. Determina las frecuencias de resonancia si la velocidad de propagación es $v = 400\,\text{m}/\text{s}$.

Solución

1. Solución general trigonométrica: $X(x) = A \cos(k x) + B \sin(k x)$
2. En $x = 0$: $X(0) = A \cos(0) + B \sin(0) = A = 0 \implies X(x) = B \sin(k x)$ En $x = L$: $X(L) = B \sin(k L) = 0$ Para obtener una solución físicamente no trivial ($B \neq 0$), es obligatorio que: $\sin(k L) = 0 \implies k_n L = n \pi \implies k_n = \frac{n \pi}{L}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$
3. Dado que $k_n = \frac{\omega_n}{v} = \frac{2 \pi f_n}{v}$: $f_n = \frac{v k_n}{2 \pi} = \frac{n v}{2 L} = n \frac{400}{2 \times 0.65} = n \frac{400}{1.30} \approx n \times 307.69\,\text{Hz}$ El fundamental es $f_1 \approx 307.7\,\text{Hz}$ y los armónicos son múltiplos enteros exactos.

Ejercicio 2: Conducción térmica en una aleta de refrigeración (Condición de Robin)

La temperatura $\theta(x) = T(x) - T_{\text{amb}}$ a lo largo de una aleta disipadora delgada obedece: $\theta''(x) - m^2 \theta(x) = 0, \quad m = 2\,\text{m}^{-1}$ en el intervalo $x \in [0, L]$ con $L = 1\,\text{m}$. En la base ($x = 0$), se fija la temperatura de un microprocesador $\theta(0) = 50\,^\circ\text{C}$. En el extremo libre ($x = L$), el calor se disipa por convección según la condición de Robin: $\theta'(L) + h_c \theta(L) = 0, \quad h_c = 1\,\text{m}^{-1}$

1. Escribe la solución general en términos de funciones hiperbólicas $\cosh(m x)$ y $\sinh(m x)$.
2. Plantea el sistema para las constantes e halla la distribución analítica $\theta(x)$.

Solución

1. Solución general hiperbólica: $\theta(x) = C_1 \cosh(m x) + C_2 \sinh(m x)$ Su derivada es: $\theta'(x) = m C_1 \sinh(m x) + m C_2 \cosh(m x)$
2. En la base $x = 0$: $\theta(0) = C_1 \cosh(0) + C_2 \sinh(0) = C_1 = 50\,^\circ\text{C}$ En $x = L = 1\,\text{m}$, con $m = 2$ y $h_c = 1$: $\theta'(1) + 1 \cdot \theta(1) = 0$ $\left[2(50) \sinh(2) + 2 C_2 \cosh(2)\right] + \left[50 \cosh(2) + C_2 \sinh(2)\right] = 0$ $C_2 \left[2 \cosh(2) + \sinh(2)\right] = -50 \left[2 \sinh(2) + \cosh(2)\right]$ Evaluando $\cosh(2) \approx 3.7622$ y $\sinh(2) \approx 3.6269$: $C_2 [2(3.7622) + 3.6269] = -50 [2(3.6269) + 3.7622]$ $C_2 [7.5244 + 3.6269] = -50 [7.2538 + 3.7622] \implies C_2(11.1513) = -50(11.0160) = -550.8$ $C_2 = -\frac{550.8}{11.1513} \approx -49.39\,^\circ\text{C}$ Por tanto: $\theta(x) = 50 \cosh(2 x) - 49.39 \sinh(2 x)\,\left(^\circ\text{C}\right)$

Ejercicio 3: Problema de Cauchy para un circuito RLC críticamente amortiguado

Un circuito $RLC$ sin fuente con amortiguamiento crítico obedece: $\ddot{q} + 2\gamma \dot{q} + \gamma^2 q = 0$ con $\gamma = 100\,\text{s}^{-1}$. Inicialmente el condensador almacena una carga $q(0) = 5\,\text{mC} = 5 \times 10^{-3}\,\text{C}$ y el circuito se cierra con corriente nula $i(0) = \dot{q}(0) = 0$.

1. Determina la solución general para el caso de raíces reales dobles.
2. Encuentra la carga $q(t)$ y la corriente $i(t) = -\dot{q}(t)$ en todo instante $t > 0$.
3. Calcula el instante de corriente máxima de descarga.

Solución

1. Raíz doble característica $r = -\gamma = -100$: $q(t) = (C_1 + C_2 t) e^{-\gamma t}$
2. En $t = 0$: $q(0) = C_1 = 5 \times 10^{-3}\,\text{C}$ Derivando $q(t)$: $\dot{q}(t) = C_2 e^{-\gamma t} - \gamma (C_1 + C_2 t) e^{-\gamma t} = \left[(C_2 - \gamma C_1) - \gamma C_2 t\right] e^{-\gamma t}$ Imponiendo $\dot{q}(0) = 0$: $C_2 - \gamma C_1 = 0 \implies C_2 = \gamma C_1 = 100 \times 5 \times 10^{-3} = 0.5\,\text{C}/\text{s}$ Así: $q(t) = (5 \times 10^{-3} + 0.5 t) e^{-100 t}\,\text{C}$ La corriente saliente $i(t) = -\dot{q}(t) = \gamma C_2 t e^{-\gamma t} = 100(0.5) t e^{-100 t} = 50 t e^{-100 t}\,\text{A}$.
3. Máximo de corriente $\frac{di}{dt} = 0$: $\frac{di}{dt} = 50 e^{-100 t}(1 - 100 t) = 0 \implies t_{\text{max}} = \frac{1}{100}\,\text{s} = 10\,\text{ms}$ $i_{\text{max}} = 50(0.01) e^{-1} = \frac{0.5}{e} \approx 0.184\,\text{A}$