Ecuaciones lineales de segundo orden

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden homogéneas y no homogéneas para osciladores físicos.

Qué es

Una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden es una relación de la forma: $a(x) \frac{d^2 y}{dx^2} + b(x) \frac{dy}{dx} + c(x) y = g(x)$ Dividiendo por el coeficiente principal $a(x) \neq 0$, se obtiene la forma normal canónica: $y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x)$ Si el término fuente exterior $f(x) = 0$, la ecuación es homogénea; si $f(x) \neq 0$, es inhomogénea (o forzada).

Para el caso fundamental de coeficientes constantes ($y'' + a y' + b y = 0$), la búsqueda de soluciones exponenciales de la forma $y(x) = e^{r x}$ conduce a la ecuación característica: $r^2 + a r + b = 0, \quad \text{con raíces } r_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$ Se distinguen tres regímenes fundamentales según el discriminante $\Delta = a^2 - 4b$:

1. $\Delta > 0$ (Raíces reales y distintas $r_1 \neq r_2$): Régimen sobreamortiguado. $y_h(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
2. $\Delta = 0$ (Raíz real doble $r_1 = r_2 = -a/2$): Régimen críticamente amortiguado. $y_h(x) = (C_1 + C_2 x) e^{r_1 x}$
3. $\Delta < 0$ (Raíces complejas conjugadas $r = \alpha \pm i\beta$): Régimen subamortiguado (oscilatorio). $y_h(x) = e^{\alpha x} \left(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)\right) = A e^{\alpha x} \cos(\beta x - \phi)$

Para la ecuación inhomogénea, el principio de superposición establece que la solución general es: $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$ donde $y_p(x)$ es una solución particular debida a la excitación forzada $f(x)$.

Por qué aparece en física

Las ecuaciones de segundo orden dominan la física clásica porque la segunda ley de Newton relaciona las fuerzas con la aceleración ($d^2 x / dt^2$).

• Oscilador armónico simple: $m \ddot{x} + k x = 0$ (la aproximación cuadrática universal de cualquier pozo de potencial estable en el equilibrio).
• Oscilador amortiguado y forzado: $m \ddot{x} + b \dot{x} + k x = F_0 \cos(\omega t)$ (suspensiones vehiculares, sismología, puentes bajo viento).
• Circuito RLC en serie: $L \ddot{q} + R \dot{q} + \frac{1}{C} q = V(t)$ (resonancia en telecomunicaciones).
• Ecuaciones de Bessel, Legendre y Hermite: Aparecen al separar variables en la ecuación de onda o de Schrödinger en coordenadas cilíndricas o esféricas.

Idea visual o geométrica

El espacio de soluciones de la ecuación homogénea es un espacio vectorial bidimensional. Cualquier solución es una combinación lineal de dos funciones linealmente independientes ${y_1(x), y_2(x)}$, las cuales forman una base fundamental. La independencia lineal de la base se garantiza mediante el determinante Wronskiano: $W(y_1, y_2)(x) = \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) \end{vmatrix} = y_1 y_2' - y_1' y_2 \neq 0$ Por la fórmula de Liouville-Abel, el Wronskiano evoluciona como: $W(x) = W(x_0) \exp\left(-\int_{x_0}^x p(\xi)\,d\xi\right)$ Si $p(x) > 0$ (amortiguamiento físico), el área que abarca cualquier par de trayectorias en el espacio de fases $(y, y')$ se contrae exponencialmente hacia el atractor de equilibrio en el origen $(0, 0)$.

Lenguaje simbólico mínimo

• Operador lineal de segundo orden: $L[y] = \frac{d^2 y}{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} + q(x) y$
• Teorema de Abel para el Wronskiano: $W'(x) + p(x) W(x) = 0 \implies W(x) = C e^{-\int p(x)\,dx}$
• Método de variación de parámetros (solución particular universal): $y_p(x) = -y_1(x) \int \frac{y_2(x) f(x)}{W(y_1, y_2)(x)}\,dx + y_2(x) \int \frac{y_1(x) f(x)}{W(y_1, y_2)(x)}\,dx$
• Factor de calidad y resonancia: $Q = \frac{\omega_0}{2 \gamma} = \frac{\sqrt{k m}}{b}$ En resonancia débilmente amortiguada ($Q \gg 1$), la amplitud en régimen permanente se amplifica por un factor proporcional a $Q$: $A_{\text{res}} \approx Q \frac{F_0}{k}$.

Qué significa el resultado

1. Transitorio vs. Estacionario: La solución homogénea $y_h(t)$ describe la respuesta transitoria dependiente de las condiciones iniciales, la cual decae a cero si hay disipación ($a > 0$). La particular $y_p(t)$ describe el régimen estacionario permanente impuesto por el forzador externo.
2. Desfase de respuesta: En oscilaciones forzadas, la respuesta del sistema no está en fase con la fuerza impulsora: por debajo de la resonancia está casi en fase ($orque \approx 0$), en resonancia exacta desfasa $\pi/2$, y a frecuencias muy altas se opone en contrafase (desfase $\pi$).
3. Resonancia física: Cuando la frecuencia impulsora $\omega$ coincide con la frecuencia propia no amortiguada $\omega_0$, la transferencia de potencia de la fuente al sistema es óptima. En ausencia de fricción ($b = 0$), la amplitud crece linealmente sin límite ($t \sin(\omega_0 t)$), provocando catástrofes estructurales.

Cuándo no debes usarlo

• Amplitudes grandes en péndulos y resortes: La linealización $\sin\theta \approx \theta$ o la ley de Hooke lineal $F = -kx$ fallan para grandes oscilaciones, donde intervienen términos de Duffing $x^3$.
• Coeficientes dependientes de la solución: Ecuaciones no lineales como la de Van der Pol $\ddot{x} - \mu(1 - x^2)\dot{x} + x = 0$ no admiten superposición ni polinomio característico clásico.
• División por cero en variación de parámetros: El método requiere calcular el Wronskiano en el denominador; si $y_1$ e $y_2$ no son estrictamente independientes, el método diverge.

Resumen operativo

1. Normaliza a la forma $y'' + p y' + q y = f(x)$.
2. Resuelve la homogénea $y'' + p y' + q y = 0$ mediante la ecuación característica $r^2 + p r + q = 0$.
3. Identifica el régimen: sobreamortiguado (reales distintas), crítico (raíz doble) o subamortiguado (complejas). Escribe $y_h(x) = C_1 y_1 + C_2 y_2$.
4. Halla $y_p(x)$ para el término fuente $f(x)$:
   • Si $f(x)$ es polinomio, exponencial o trigonométrica, usa coeficientes indeterminados (aplicando la regla de modificación si $f(x)$ resuena con $y_h$).
   • Para funciones generales (tangentes, secantes, funciones arbitrarias), usa variación de parámetros.
5. Escribe la solución general completa $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$.
6. Aplica las condiciones iniciales sobre $y(t)$ e $y'(t)$ conjuntamente para despejar $C_1$ y $C_2$.

Procedimiento: Resolución de EDOs Lineales de Segundo Orden

Antes de calcular

1. Normaliza la ecuación: Asegúrate de que el coeficiente de $y''$ sea estrictamente 1: $y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x)$
2. Revisa los coeficientes: ¿Son constantes o variables? Si son constantes, puedes usar la ecuación característica de inmediato. Si son de la forma $x^2 y'' + \alpha x y' + \beta y = 0$, es una ecuación de Cauchy-Euler (usa $y = x^r$).
3. Identifica el término fuente: Clasifica $f(x)$ para decidir entre coeficientes indeterminados o variación de parámetros.

Paso 1: identifica el objeto matemático

Escribe la ecuación característica homogénea asociada: $r^2 + p r + q = 0$ Calcula las raíces algebraicas: $r_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$

Paso 2: elige la operación

2A. Construcción de la solución homogénea $y_h(x)$

• Caso 1: Discriminante positivo ($p^2 - 4q > 0$): Dos raíces reales distintas $r_1 \neq r_2$: $y_h(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
• Caso 2: Discriminante nulo ($p^2 - 4q = 0$): Una raíz real doble $r = -p/2$: $y_h(x) = (C_1 + C_2 x) e^{r x}$
• Caso 3: Discriminante negativo ($p^2 - 4q < 0$): Raíces complejas conjugadas $r = \alpha \pm i\beta$ (con $\alpha = -p/2$, $\beta = \frac{\sqrt{4q - p^2}}{2}$): $y_h(x) = e^{\alpha x}\left(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)\right)$

2B. Búsqueda de la solución particular $y_p(x)$

• Método de coeficientes indeterminados:
  • Si $f(x) = P_n(x)$ (polinomio): ensaya $y_p(x) = x^s (A_n x^n + \dots + A_0)$.
  • Si $f(x) = e^{a x}$: ensaya $y_p(x) = A x^s e^{a x}$.
  • Si $f(x) = \cos(\omega x)$ o $\sin(\omega x)$: ensaya $y_p(x) = x^s (A \cos(\omega x) + B \sin(\omega x))$. (Donde $s$ es el menor entero no negativo tal que ningún término de $y_p$ esté duplicado en $y_h$).
• Método de variación de parámetros (general):
  1. Calcula el Wronskiano: $W(x) = y_1 y_2' - y_1' y_2$.
  2. Calcula: $u_1(x) = -\int \frac{y_2(x) f(x)}{W(x)}\,dx, \quad u_2(x) = \int \frac{y_1(x) f(x)}{W(x)}\,dx$
  3. Forma $y_p(x) = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x)$.

Paso 3: conserva unidades y signos

• Si $\omega = \sqrt{k/m}$, sus unidades son $\text{rad}/\text{s}$.
• Al derivar $y_p(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$, no olvides el factor $\omega$ de la regla de la cadena ni los signos alternantes de las derivadas trigonométricas.

Paso 4: calcula

1. Agrupa la solución general total: $y(t) = y_h(t) + y_p(t)$
2. Deriva $y(t)$ analíticamente para obtener la expresión formal de $y'(t)$.
3. Sustituye $t = 0$ y resuelve el sistema algebraico para despejar las constantes $C_1$ y $C_2$.

Paso 5: interpreta el resultado

1. ¿Presenta resonancia ($s > 0$)? Si la frecuencia de excitación coincide con la frecuencia propia y no hay disipación, comprueba el factor secular $t \sin(\omega t)$.
2. Comprueba el régimen transitorio: si hay amortiguamiento, $y_h(t) \to 0$ cuando $t \to \infty$, quedando únicamente el régimen permanente $y_p(t)$.

Checklist de autocontrol

• ¿He verificado el discriminante de la ecuación característica?
• ¿He multiplicado por $x$ (o $x^2$) en coeficientes indeterminados si el término forzador coincide con una raíz de la homogénea?
• ¿He aplicado las condiciones iniciales a la suma $(y_h + y_p)$ y NO solo a $y_h$?
• ¿El Wronskiano es estrictamente distinto de cero en todo el intervalo?
• ¿Las unidades de amplitud y frecuencia angular son físicamente coherentes?

Ejemplos resueltos: Ecuaciones Lineales de Segundo Orden

Ejemplo guiado paso a paso

Problema

Un oscilador mecánico amortiguado y forzado está constituido por una masa $m = 1\,\text{kg}$, un amortiguador viscoso con coeficiente $b = 2\,\text{N}\cdot\text{s}/\text{m}$ y un muelle con constante $k = 5\,\text{N}/\text{m}$. El sistema está sometido a una fuerza externa oscilatoria $F(t) = 10 \cos(t)\,\text{N}$. En el instante inicial $t = 0$, el oscilador se encuentra en reposo en el origen: $x(0) = 0\,\text{m}$, $\dot{x}(0) = 0\,\text{m}/\text{s}$.

1. Formula la EDO normalizada del movimiento.
2. Encuentra la solución homogénea $x_h(t)$ e identifica el régimen de amortiguamiento.
3. Determina la solución particular en régimen permanente $x_p(t)$ por coeficientes indeterminados.
4. Halla la solución general completa que satisface las condiciones iniciales.

Solución detallada

Paso 1: Formulación y normalización Por la segunda ley de Newton: $m \ddot{x} + b \dot{x} + k x = F(t) \implies 1 \ddot{x} + 2 \dot{x} + 5 x = 10 \cos(t)$ La ecuación está normalizada con $p = 2$, $q = 5$ y $f(t) = 10 \cos(t)$.

Paso 2: Solución homogénea $x_h(t)$ Planteamos la ecuación característica: $r^2 + 2 r + 5 = 0$ Calculamos las raíces: $r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2 i$ Como las raíces son complejas conjugadas con $\alpha = -1$ y $\beta = 2$, el oscilador se encuentra en régimen subamortiguado. La solución homogénea es: $x_h(t) = e^{-t}\left(C_1 \cos(2 t) + C_2 \sin(2 t)\right)$

Paso 3: Solución particular $x_p(t)$ por coeficientes indeterminados El término forzador es $f(t) = 10 \cos(t)$ (frecuencia $\omega = 1\,\text{rad}/\text{s}$, que no coincide con $\beta = 2$, por lo que no hay resonancia, $s = 0$). Proponemos: $x_p(t) = A \cos(t) + B \sin(t)$ Derivamos: $\dot{x}_p(t) = -A \sin(t) + B \cos(t)$ $\ddot{x}_p(t) = -A \cos(t) - B \sin(t)$ Sustituimos en la EDO original $\ddot{x}_p + 2 \dot{x}_p + 5 x_p = 10 \cos(t)$: $\left(-A \cos t - B \sin t\right) + 2\left(-A \sin t + B \cos t\right) + 5\left(A \cos t + B \sin t\right) = 10 \cos(t)$ Agrupamos términos en $\cos(t)$ y $\sin(t)$: $\cos(t) \left(-A + 2 B + 5 A\right) + \sin(t) \left(-B - 2 A + 5 B\right) = 10 \cos(t)$ $(4 A + 2 B) \cos(t) + (-2 A + 4 B) \sin(t) = 10 \cos(t)$ Igualando coeficientes: $\begin{cases} 4 A + 2 B = 10 \\ -2 A + 4 B = 0 \implies A = 2 B \end{cases}$ Sustituyendo $A = 2 B$ en la primera ecuación: $4(2 B) + 2 B = 10 \implies 10 B = 10 \implies B = 1$ $A = 2(1) = 2$ Por tanto, la solución en régimen permanente es: $x_p(t) = 2 \cos(t) + \sin(t)\,\text{m}$

Paso 4: Solución completa y ajuste de condiciones iniciales La solución general es: $x(t) = x_h(t) + x_p(t) = e^{-t}\left(C_1 \cos(2 t) + C_2 \sin(2 t)\right) + 2 \cos(t) + \sin(t)$ Calculamos la derivada $\dot{x}(t)$: $\dot{x}(t) = -e^{-t}\left(C_1 \cos(2 t) + C_2 \sin(2 t)\right) + e^{-t}\left(-2 C_1 \sin(2 t) + 2 C_2 \cos(2 t)\right) - 2 \sin(t) + \cos(t)$ Aplicamos las condiciones iniciales en $t = 0$:

1. $x(0) = 0$: $0 = e^0 (C_1 \cdot 1 + 0) + 2 \cdot 1 + 0 = C_1 + 2 \implies C_1 = -2$
2. $\dot{x}(0) = 0$: $0 = -(C_1) + (2 C_2) - 0 + 1 = -(-2) + 2 C_2 + 1 = 3 + 2 C_2 \implies C_2 = -\frac{3}{2} = -1.5$ La solución particular definitiva es: $x(t) = e^{-t}\left(-2 \cos(2 t) - 1.5 \sin(2 t)\right) + 2 \cos(t) + \sin(t)\,\text{m}$

Ejemplo inverso

Problema

Se observa que la respuesta libre de una viga elástica vibrante de masa unitaria viene dada por la función: $y(t) = (3 + 4 t) e^{-5 t}$

1. Identifica el régimen dinámico de amortiguamiento y reconstruye la ecuación diferencial lineal homogénea que describe las oscilaciones de dicha viga.
2. Determina los valores físicos de la constante elástica equivalente $k$ y del coeficiente de amortiguamiento viscoso $b$.

Solución detallada

Paso 1: Identificación de raíces de la ecuación característica La solución contiene un término de la forma $(C_1 + C_2 t) e^{r t}$ con $r = -5$. Esto corresponde a una raíz real doble de multiplicidad 2: $r_1 = r_2 = -5$ Por consiguiente, el sistema se encuentra exactamente en régimen de amortiguamiento crítico.

Paso 2: Reconstrucción del polinomio característico y de la EDO El polinomio mónico asociado es: $(r - (-5))^2 = (r + 5)^2 = r^2 + 10 r + 25 = 0$ Asociando $r^2 \leftrightarrow \ddot{y}$, $r \leftrightarrow \dot{y}$ y $1 \leftrightarrow y$: $\ddot{y} + 10 \dot{y} + 25 y = 0$

Paso 3: Identificación de los parámetros físicos La ecuación estándar para un oscilador de masa $m = 1\,\text{kg}$ es: $m \ddot{y} + b \dot{y} + k y = 0 \implies \ddot{y} + \frac{b}{m} \dot{y} + \frac{k}{m} y = 0$ Igualando coeficientes con $m = 1\,\text{kg}$: $\frac{b}{m} = 10 \implies b = 10\,\text{N}\cdot\text{s}/\text{m}$ $\frac{k}{m} = 25 \implies k = 25\,\text{N}/\text{m}$ Comprobación del discriminante de amortiguamiento crítico: $b^2 - 4 m k = 10^2 - 4(1)(25) = 100 - 100 = 0$ El sistema confirma amortiguamiento crítico perfecto.

Errores comunes: Ecuaciones Lineales de Segundo Orden

Error 1: Ignorar la resonancia en coeficientes indeterminados

Si el término forzador es $f(x) = \cos(\omega x)$ y $\omega$ coincide con la frecuencia propia del sistema no amortiguado, ensayar $y_p = A \cos(\omega x) + B \sin(\omega x)$ sin multiplicar por $x$.

• Consecuencia: Al sustituir en la ecuación, los términos se cancelan mutuamente ($0 = \cos(\omega x)$), resultando en un sistema incompatible. Debe multiplicarse por $x$ (o $x^2$).

Error 2: Ajustar las condiciones iniciales únicamente sobre la solución homogénea

Determinar $C_1$ y $C_2$ a partir de $y_h(0) = y_0$ e $y_h'(0) = v_0$ antes de sumar la solución particular $y_p$.

• Corrección: Las condiciones iniciales fijan el estado del sistema real completo: $y(0) = y_h(0) + y_p(0) = y_0, \quad y'(0) = y_h'(0) + y_p'(0) = v_0$

Error 3: Olvidar el factor $x$ en la segunda solución de raíces dobles

Cuando la ecuación característica tiene una raíz doble $r_1 = r_2 = r$, escribir $y_h = C_1 e^{r x} + C_2 e^{r x} = (C_1 + C_2) e^{r x} = K e^{r x}$.

• Consecuencia: Se reduce el espacio de soluciones a una sola dimensión, violando el teorema fundamental de dimensión dos. La base correcta es ${e^{r x}, x e^{r x}}$.

Error 4: Errores de signo en la pseudofrecuencia subamortiguada

Al resolver $r = \alpha \pm i\beta$, confundir la atenuación temporal $e^{\alpha t}$ con $e^{+\alpha t}$ cuando $\alpha = -p/2 < 0$.

• Consecuencia: Transforma un sistema físicamente disipativo estable en una oscilación exponencial divergente que viola la conservación de la energía.

Error 5: No normalizar la ecuación al usar variación de parámetros

En $a(x) y'' + b(x) y' + c(x) y = g(x)$, utilizar directamente $f(x) = g(x)$ en las integrales de variación de parámetros sin dividir antes por $a(x)$.

• Corrección: La fórmula de variación de parámetros presupone $y'' + p y' + q y = f(x)$, por lo que es obligatorio tomar $f(x) = \frac{g(x)}{a(x)}$.

Regla rápida de control

Para comprobar si tu solución $y(t) = y_h(t) + y_p(t)$ es correcta: en $t \to \infty$, para cualquier sistema con amortiguamiento positivo, la solución transitoria $y_h(t)$ debe extinguirse por completo, dejando únicamente la respuesta particular permanente $y_p(t)$.

Aplicaciones físicas: Ecuaciones Lineales de Segundo Orden

1. Ingeniería sísmica y disipadores de masa sintonizada (TMD)

Los rascacielos modernos (como el Taipei 101) emplean osciladores de segundo orden gigantescos suspendidos cerca de la cúspide. La interacción entre la estructura primaria y el péndulo sintonizado se modela como un sistema lineal forzado de segundo orden: $M \ddot{X} + (B + b) \dot{X} + (K + k) X - b \dot{x} - k x = F_{\text{viento}}(t)$ Al sintonizar la frecuencia propia del disipador a la frecuencia fundamental del edificio, la energía de vibración se transfiere al amortiguador secundario, reduciendo las oscilaciones peligrosas provocadas por terremotos y tifones.

2. Suspensión vehicular y confort en automoción

El modelo de "cuarto de vehículo" describe el movimiento vertical de la carrocería ($m$) acoplada a la rueda mediante un muelle de rigidez $k$ y un amortiguador hidráulico $b$: $m \ddot{z} + b \dot{z} + k z = b \dot{z}_r(t) + k z_r(t)$ donde $z_r(t)$ es el perfil de rugosidad de la carretera. Se diseña un factor de amortiguamiento $\zeta = \frac{b}{2\sqrt{km}} \approx 0.7$ (ligeramente subamortiguado) para minimizar la aceleración transmitida a los pasajeros y optimizar el agarre del neumático.

3. Telecomunicaciones: filtros de radiofrecuencia y sintonizadores RLC

La sintonización de estaciones de radio y telefonía móvil se fundamenta en la curva de resonancia de circuitos $RLC$ serie: $L \ddot{q} + R \dot{q} + \frac{1}{C} q = V_0 \cos(\omega t)$ La corriente eficaz máxima ocurre a la frecuencia de resonancia $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$. El ancho de banda $\Delta \omega = \frac{R}{L} = \frac{\omega_0}{Q}$ define la selectividad del receptor para rechazar canales de comunicación adyacentes.

4. Microscopía de fuerza atómica (AFM)

En el modo de oscilación dinámico (tapping mode), un micropalanca de silicio se hace vibrar piezoeléctricamente cerca de su frecuencia de resonancia natural: $m^* \ddot{z} + \frac{m^* \omega_0}{Q} \dot{z} + k^* z = F_0 \cos(\omega t) + F_{\text{van der Waals}}(z)$ Los cambios en la amplitud y en el ángulo de desfase causados por los gradientes de fuerza interatómica permiten cartografiar la topografía de superficies y moléculas individuales a escala subnanométrica.

5. Acústica arquitectónica y absorción resonante de Helmholtz

Un resonador de Helmholtz (como el cuello de una botella o las trampas de graves en estudios de grabación) actúa como un sistema masa-resorte acústico de segundo orden: $m_{\text{aire}} \ddot{\xi} + R_{\text{rad}} \dot{\xi} + K_{\text{cavidad}} \xi = p_{\text{ext}}(t) S$ donde el aire en el cuello actúa como masa oscilante y el volumen de la cavidad como muelle neumático, absorbiendo selectivamente frecuencias de resonancia acústica no deseadas.

Conexión interdisciplinar

Las EDOs de segundo orden se extienden a la estabilidad de lazos de control realimentado en ingeniería mecatrónica (mediante criterios de Routh-Hurwitz), el análisis modal de puentes colgantes frente a vórtices de Von Kármán y la dinámica de osciladores biológicos circadianos.

Práctica guiada: Ecuaciones Lineales de Segundo Orden

Ejercicio 1: Resonancia pura en un oscilador sin amortiguamiento

Un oscilador de masa $m = 2\,\text{kg}$ y constante elástica $k = 32\,\text{N}/\text{m}$ se somete a una fuerza periódica armónica en resonancia exacta: $F(t) = 8 \cos(4 t)\,\text{N}$. El sistema parte del reposo: $x(0) = 0\,\text{m}$, $\dot{x}(0) = 0\,\text{m}/\text{s}$.

1. Calcula la frecuencia angular natural $\omega_0$ y escribe la solución homogénea.
2. Aplica coeficientes indeterminados con regla de modificación para hallar la solución particular secular $x_p(t)$.
3. Escribe la trayectoria completa $x(t)$ y describe el crecimiento de su envolvente.

Solución

1. Frecuencia natural: $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = 4\,\text{rad}/\text{s}$ EDO normalizada: $\ddot{x} + 16 x = 4 \cos(4 t)$. Solución homogénea: $x_h(t) = C_1 \cos(4 t) + C_2 \sin(4 t)$
2. Dado que el forzador tiene frecuencia $\omega = 4 = \omega_0$, entra en resonancia pura ($s = 1$): $x_p(t) = t \left(A \cos(4 t) + B \sin(4 t)\right)$ Derivando y sustituyendo en $\ddot{x}_p + 16 x_p = 4 \cos(4 t)$, se cancelan los términos en $t$ y queda: $-8 A \sin(4 t) + 8 B \cos(4 t) = 4 \cos(4 t) \implies A = 0, \quad B = \frac{4}{8} = 0.5$ $x_p(t) = 0.5 t \sin(4 t)\,\text{m}$
3. Con $x(0) = 0 \implies C_1 = 0$; $\dot{x}(0) = 0 \implies 4 C_2 + 0 = 0 \implies C_2 = 0$. La solución completa es: $x(t) = 0.5 t \sin(4 t)\,\text{m}$ La envolvente crece linealmente $\pm 0.5 t$, conduciendo a fallo estructural por fatiga.

Ejercicio 2: Circuito RLC subamortiguado con escalón de tensión

Un circuito $RLC$ serie con $L = 0.1\,\text{H}$, $R = 20\,\Omega$ y $C = 100\,\mu\text{F} = 10^{-4}\,\text{F}$ se conecta a una batería continua $V_0 = 12\,\text{V}$ en $t = 0$. Inicialmente el condensador está descargado $q(0) = 0\,\text{C}$ y no circula corriente $i(0) = \dot{q}(0) = 0\,\text{A}$.

1. Formula la EDO para la carga $q(t)$.
2. Determina el factor de atenuación $\alpha$ y la pseudofrecuencia oscilatoria $\omega_d$.
3. Encuentra la carga máxima que alcanzará el condensador durante el primer sobreimpulso.

Solución

1. Ecuación dinámica: $L \ddot{q} + R \dot{q} + \frac{1}{C} q = V_0 \implies \ddot{q} + \frac{R}{L} \dot{q} + \frac{1}{L C} q = \frac{V_0}{L}$ $\ddot{q} + 200 \dot{q} + 10^5 q = 120$
2. Raíces del polinomio característico: $r^2 + 200 r + 100000 = 0 \implies r = -100 \pm \sqrt{10000 - 100000} = -100 \pm 300 i$ Atenuación $\alpha = 100\,\text{s}^{-1}$, pseudofrecuencia $\omega_d = 300\,\text{rad}/\text{s}$. Solución particular constante: $q_p = \frac{120}{10^5} = 1.2 \times 10^{-3}\,\text{C} = C V_0$.
3. Carga general: $q(t) = e^{-100 t}\left(C_1 \cos(300 t) + C_2 \sin(300 t)\right) + 1.2 \times 10^{-3}$ Con $q(0) = 0 \implies C_1 = -1.2 \times 10^{-3}$. Con $\dot{q}(0) = 0 \implies -100 C_1 + 300 C_2 = 0 \implies C_2 = \frac{1}{3} C_1 = -0.4 \times 10^{-3}$. $q(t) = 1.2 \times 10^{-3} \left[1 - e^{-100 t} \left(\cos(300 t) + \frac{1}{3} \sin(300 t)\right)\right]$ El primer sobreimpulso máximo ocurre en la primera semioscilación de corriente nula ($300 t = \pi \implies t_1 = \frac{\pi}{300}\,\text{s}$): $q_{\text{max}} = 1.2 \times 10^{-3}\left(1 + e^{-100 \pi / 300}\right) = 1.2 \times 10^{-3}\left(1 + e^{-\pi / 3}\right) \approx 1.2 \times 10^{-3}(1 + 0.350) \approx 1.62\,\text{mC}$ El voltaje sube hasta $16.2\,\text{V}$ (sobreimpulso del $35\%$).

Ejercicio 3: Método de variación de parámetros para forzamiento no trivial

Resuelve la ecuación diferencial no homogénea con término secante: $y'' + 9 y = 4 \sec(3 x), \quad x \in \left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right)$

Solución

1. Ecuación homogénea $y'' + 9 y = 0$: $y_1(x) = \cos(3 x), \quad y_2(x) = \sin(3 x)$
2. Wronskiano: $W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} \cos(3 x) & \sin(3 x) \\ -3 \sin(3 x) & 3 \cos(3 x) \end{vmatrix} = 3(\cos^2(3 x) + \sin^2(3 x)) = 3$
3. Variación de parámetros: $u_1(x) = -\int \frac{y_2(x) f(x)}{W}\,dx = -\int \frac{\sin(3 x) \cdot 4 \sec(3 x)}{3}\,dx = -\frac{4}{3} \int \tan(3 x)\,dx = \frac{4}{9} \ln|\cos(3 x)|$ $u_2(x) = \int \frac{y_1(x) f(x)}{W}\,dx = \int \frac{\cos(3 x) \cdot 4 \sec(3 x)}{3}\,dx = \frac{4}{3} \int 1\,dx = \frac{4}{3} x$
4. Solución particular: $y_p(x) = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x) = \frac{4}{9} \cos(3 x) \ln(\cos(3 x)) + \frac{4}{3} x \sin(3 x)$
5. Solución general completa: $y(x) = C_1 \cos(3 x) + C_2 \sin(3 x) + \frac{4}{9} \cos(3 x) \ln(\cos(3 x)) + \frac{4}{3} x \sin(3 x)$