Ecuaciones diferenciales

Modelado de evolución temporal, condiciones iniciales, estabilidad y sistemas dinámicos.

Idea general del tema

Las ecuaciones diferenciales son la forma matemática fundamental en la que se expresan las leyes de la física clásica y moderna: la segunda ley de Newton ($m d^2x/dt^2 = F$), la ley de desintegración radiactiva ($\frac{dN}{dt} = -\lambda N$), la ecuación de ondas, la ecuación del calor y la ecuación de Schrödinger. Establecen relaciones entre una función desconocida y sus derivadas continuas, describiendo cómo el estado presente determina la evolución futura del sistema.

Este nodo agrupa EDOs de primer orden (variables separables, lineales exactas), EDOs de segundo orden lineales con coeficientes constantes (osciladores amortiguados y forzados), sistemas lineales de EDOs acopladas y métodos de funciones de Green.

Que vas a comprender de verdad

Comprenderás la solución general del oscilador armónico amortiguado y forzado $m \ddot{x} + b \dot{x} + k x = F_0 \cos(\omega t)$, identificando con precisión los regímenes subamortiguado, críticamente amortiguado y sobreamortiguado, así como el fenómeno de resonancia de amplitud a la frecuencia natural $\omega_0 = \sqrt{k/m}$.

Aprenderás a resolver ecuaciones diferenciales mediante el método de coeficientes indeterminados, variación de parámetros y transformada de Laplace.

Ruta didáctica recomendada

1. EDOs de primer orden: separación de variables, factor integrante para EDOs lineales y problemas de trayectorias ortogonales y circuitos RC/RL.
2. EDOs de segundo orden lineales: polinomio característico, soluciones homogéneas y respuesta transitoria vs estacionaria en osciladores.
3. Oscilaciones forzadas y resonancia: factor de calidad $Q$, desfase $\delta(\omega)$, ancho de banda y transferencia de potencia en resonancia.
4. Sistemas acoplados y funciones de Green: diagonalización de osciladores acoplados mediante modos normales y solución de fuentes puntuales mediante funciones de Green.

Criterio físico que debes adquirir

Comprender que la solución general de una EDO lineal no homogénea es siempre la suma de la solución homogénea (transitorio que decae por disipación) más una solución particular (respuesta estacionaria sostenida por el forzamiento externo).

Conexión con problemas reales

• Circuitos electrónicos RLC resonantes y filtros sintonizados de radiofrecuencia.
• Amortiguamiento de vibraciones en rascacielos y puentes colgantes frente a viento y sismos.
• Desintegración radiactiva en cadena y datación radiométrica nuclear.

Meta final del tema

Dominar la formulación y resolución analítica de ecuaciones diferenciales ordinarias para predecir la evolución dinámica y resonancias de sistemas físicos.