Ecuaciones en derivadas parciales básicas

Ecuaciones en derivadas parciales clásicas en física: ecuación de ondas, del calor, de Laplace y Poisson.

Qué es

Una ecuación en derivadas parciales (EDP) vincula una función multivariable $u(x, y, z, \dots, t)$ y sus derivadas parciales respecto del espacio y del tiempo. Para EDPs lineales de segundo orden en dos variables independientes $u(x, y)$: $A \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + B \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + D \frac{\partial u}{\partial x} + E \frac{\partial u}{\partial y} + F u = G(x, y)$ La clasificación matemática se rige estrictamente por el signo del discriminante algebraico $d = B^2 - 4 A C$:

1. Elípticas ($B^2 - 4 A C < 0$):
   • Arquetipo: Ecuación de Laplace $\nabla^2 u = 0$ y Ecuación de Poisson $\nabla^2 u = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$.
   • Comportamiento: Estados estacionarios de equilibrio sin tiempo, máxima regularidad y suavidad interior (principio del máximo). Requiere condiciones de contorno cerradas en toda la frontera.
2. Parabólicas ($B^2 - 4 A C = 0$):
   • Arquetipo: Ecuación del calor o difusión $\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$.
   • Comportamiento: Procesos irreversibles y disipativos con flecha temporal. La información se difunde alisando gradientes a velocidad infinita de propagación.
3. Hiperbólicas ($B^2 - 4 A C > 0$):
   • Arquetipo: Ecuación de ondas de D'Alembert $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \nabla^2 u$.
   • Comportamiento: Propagación causal de señales ondulatorias sin dispersión a velocidad finita $v$. Conserva la energía y admite frentes de onda y discontinuidades (ondas de choque).

Por qué aparece en física

Los campos fundamentales de la naturaleza son continuos en el espacio y evolucionan en el tiempo:

• Electromagnetismo: Las cuatro ecuaciones de Maxwell vectoriales desacoplan en el vacío en cuatro ecuaciones hiperbólicas de onda para los potenciales $\Box A^\mu = \mu_0 J^\mu$.
• Gravitación: La relatividad general linealizada describe ondas gravitacionales mediante la ecuación de onda tensorial $\Box h_{\mu\nu} = 0$, mientras que el límite newtoniano estacionario se reduce a la ecuación elíptica de Poisson $\nabla^2 \Phi = 4 \pi G \rho$.
• Mecánica Cuántica: La ecuación de Schrödinger libre $i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi$ posee estructura formal parabólica en tiempo pero con constante imaginaria pura, lo que le confiere naturaleza ondulatoria dispersiva.
• Acústica y sismología: La propagación de ondas sonoras en gases y ondas $P$ y $S$ en la corteza terrestre obedece a la ecuación hiperbólica de ondas.

Idea visual o geométrica

• Hiperbólicas (Ondas): En el espacio-tiempo $(x, t)$, las soluciones se propagan a lo largo de líneas directrices llamadas curvas características $x \pm v t = \text{cte}$. Los datos iniciales en un segmento espacial viajan sin deformarse dentro de un cono de luz o cono causal.
• Parabólicas (Calor): Una fuente puntual concentrada en $t = 0$ (delta de Dirac) se expande instantáneamente como una campana gaussiana cuya varianza espacial crece linealmente con el tiempo: $\sigma^2(t) = 2 \alpha t$.
• Elípticas (Laplace): La función potencial $u(x, y)$ se comporta como una membrana elástica tensa fijada rígidamente en los bordes. El valor del potencial en el centro de cualquier esfera es idéntico al promedio superficial del potencial sobre dicha esfera (propiedad del valor medio).

Lenguaje simbólico mínimo

• Operador d'Alembertiano (hiperbólico): $\Box = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2$
• Solución de D'Alembert para ondas unidimensionales en dominio infinito: $u(x, t) = \frac{1}{2}\left[f(x - v t) + f(x + v t)\right] + \frac{1}{2v} \int_{x - v t}^{x + v t} g(s)\,ds$ donde $f(x) = u(x, 0)$ y $g(x) = u_t(x, 0)$.
• Separación de variables (Ansatz espectral de Fourier): $u(x, t) = X(x) T(t) \implies \frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{1}{\alpha} \frac{T'(t)}{T(t)} = -\lambda$ convirtiendo la EDP en dos EDOs desacopladas unidas por la constante de separación $\lambda$.

Qué significa el resultado

1. Superposición de modos normales de Fourier: La solución general se expresa como una serie infinita de funciones ortogonales: $u(x, t) = \sum_{n=1}^\infty A_n X_n(x) e^{-\alpha k_n^2 t}$ donde los armónicos espaciales superiores ($n$ grande) se atenúan a una velocidad exponencial mucho mayor ($e^{-n^2 t}$), justificando por qué las asperezas térmicas se alisan rápidamente.
2. Principio del Máximo (Laplace y Calor): La solución de Laplace o del calor en un dominio acotado $\Omega$ alcanza obligatoriamente sus valores máximo y mínimo absolutos en la frontera espacio-temporal $\partial \Omega$, nunca en el interior.
3. Causalidad relativista: Para ondas hiperbólicas, una perturbación generada en $(x_0, 0)$ no afecta a ningún punto exterior a su cono de luz $x_0 - v t \le x \le x_0 + v t$.

Cuándo no debes usarlo

• Separación de variables en geometrías no adaptadas: El método de separación de variables exige que los límites espaciales coincidan exactamente con superficies de coordenadas constantes (rectángulos en cartesianas, cilindros en polares/cilíndricas, esferas en esféricas). Para fronteras irregulares, es obligatorio emplear métodos de elementos finitos (FEM).
• Inversión temporal en la ecuación del calor: Integrar la ecuación del calor hacia el pasado ($t < 0$) es un problema severamente mal formulado (inestable ante cualquier perturbación infinitesimal).
• Condiciones de Cauchy abiertas en Laplace: Imponer valores iniciales en tiempo a una ecuación elíptica genera divergencias exponenciales no físicas.

Resumen operativo

1. Clasifica la EDP calculando $B^2 - 4 A C$ (¿Elíptica, Parabólica o Hiperbólica?).
2. Revisa la geometría del dominio y las condiciones de contorno (¿extremos fijos Dirichlet, aislados Neumann?).
3. Aplica separación de variables ensayando $u(x, t) = X(x) T(t)$ (o $X(x) Y(y)$).
4. Resuelve el problema de Sturm-Liouville espacial para hallar los autovalores $\lambda_n$ y autofunciones ortogonales $X_n(x)$.
5. Integra la EDO temporal correspondiente para cada modo $T_n(t)$.
6. Ajusta los coeficientes $A_n$ mediante las integrales de Fourier utilizando las condiciones iniciales en $t = 0$.

Procedimiento: Resolución por Separación de Variables en EDPs

Antes de calcular

1. Identifica el tipo de EDP:
   • Onda (hiperbólica): $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ (requiere 2 condiciones iniciales y 2 de contorno).
   • Calor (parabólica): $\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ (requiere 1 condición inicial y 2 de contorno).
   • Laplace (elíptica): $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ (requiere 4 condiciones de contorno cerradas).
2. Comprueba si las condiciones de contorno son homogéneas: Si los extremos están a temperatura fija no nula ($u(0, t) = T_1, u(L, t) = T_2$), calcula primero la solución estacionaria $u_{\text{est}}(x)$ y define la variable transitoria $\tilde{u}(x, t) = u(x, t) - u_{\text{est}}(x)$ con contorno nulo.

Paso 1: identifica el objeto matemático

Escribe la EDP con sus condiciones de frontera en el intervalo espacial $x \in [0, L]$:

• Frontera Dirichlet: $u(0, t) = 0$ y $u(L, t) = 0$.
• Frontera Neumann: $\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = 0$ y $\frac{\partial u}{\partial x}(L, t) = 0$.

Paso 2: elige la operación (Separación de variables)

Propón el producto $u(x, t) = X(x) T(t)$ y divide toda la ecuación entre $u$:

• Para el calor: $X(x) T'(t) = \alpha X''(x) T(t) \implies \frac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda$
• Para la onda: $X(x) T''(t) = v^2 X''(x) T(t) \implies \frac{T''(t)}{v^2 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda$

Paso 3: conserva unidades y signos

• La constante de separación $-\lambda$ debe elegirse con signo negativo para garantizar soluciones espaciales trigonométricas oscilatorias ($X''(x) + \lambda X(x) = 0$).
• Los autovalores $\lambda_n$ tienen unidades de $\text{m}^{-2}$ ($k_n^2 = (n\pi/L)^2$).

Paso 4: calcula

1. Resuelve el problema espacial de Sturm-Liouville: $X''(x) + \lambda X(x) = 0$
   • Con $X(0) = 0$ y $X(L) = 0$ (Dirichlet): $\lambda_n = \left(\frac{n \pi}{L}\right)^2, \quad X_n(x) = \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right), \quad n = 1, 2, 3, \dots$
   • Con $X'(0) = 0$ y $X'(L) = 0$ (Neumann): $\lambda_n = \left(\frac{n \pi}{L}\right)^2, \quad X_n(x) = \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dots$
2. Resuelve la ecuación temporal:
   • Para el calor: $T_n'(t) + \alpha \lambda_n T_n(t) = 0 \implies T_n(t) = e^{-\alpha \lambda_n t} = e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$.
   • Para la onda: $T_n''(t) + v^2 \lambda_n T_n(t) = 0 \implies T_n(t) = A_n \cos\left(\frac{n\pi v t}{L}\right) + B_n \sin\left(\frac{n\pi v t}{L}\right)$.
3. Construye la serie de Fourier general: $u(x, t) = \sum_{n=1}^\infty A_n \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$
4. Calcula los coeficientes por ortogonalidad de Fourier: $A_n = \frac{2}{L} \int_0^L u(x, 0) \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) dx$

Paso 5: interpreta el resultado

1. Verifica el comportamiento asintótico: para la ecuación del calor, cuando $t \to \infty$, todos los modos $n \ge 1$ decaen a cero ($u \to 0$).
2. Para la onda, comprueba que la energía total (cinética + potencial elástica) permanezca estrictamente constante en el tiempo.

Checklist de autocontrol

• ¿He verificado que las condiciones de contorno sobre $X(x)$ sean homogéneas?
• ¿He elegido el signo correcto de la constante de separación $-\lambda$?
• ¿He aplicado la relación de ortogonalidad $\int_0^L \sin(n\pi x/L) \sin(m\pi x/L)\,dx = \frac{L}{2} \delta_{nm}$?
• ¿Son coherentes las dimensiones físicas de la difusividad térmica $\alpha$ ($\text{m}^2/\text{s}$) o velocidad de onda $v$ ($\text{m}/\text{s}$)?
• ¿Satisface la solución final las condiciones iniciales en $t = 0$?

Ejemplos resueltos: Ecuaciones en Derivadas Parciales Básicas

Ejemplo guiado paso a paso

Problema

Una barra metálica homogénea y delgada de longitud $L = 1\,\text{m}$ y difusividad térmica $\alpha = 10^{-4}\,\text{m}^2/\text{s}$ tiene sus extremos sumergidos en baños de hielo a temperatura constante nula: $u(0, t) = 0^\circ\text{C}$ y $u(1, t) = 0^\circ\text{C}$ para todo $t > 0$. En el instante inicial $t = 0$, la distribución de temperatura a lo largo de la barra viene dada por: $u(x, 0) = 50 \sin(\pi x) - 20 \sin(3 \pi x)\,\left(^\circ\text{C}\right)$

1. Identifica y formula la EDP y sus condiciones auxiliares.
2. Encuentra la solución analítica exacta $u(x, t)$ mediante separación de variables.
3. Determina la temperatura en el centro de la barra $x = 0.5\,\text{m}$ transcurridos $t = 1000\,\text{segundos}$.

Solución detallada

Paso 1: Formulación del problema La ecuación de conducción de calor en 1D es: $\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad x \in (0, 1), \quad t > 0$

• Condiciones de contorno (Dirichlet homogéneas): $u(0, t) = 0$, $u(1, t) = 0$.
• Condición inicial: $u(x, 0) = 50 \sin(\pi x) - 20 \sin(3 \pi x)$.

Paso 2: Separación de variables Proponiendo $u(x, t) = X(x) T(t)$: $\frac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda$ El problema espacial con contorno nulo es: $X''(x) + \lambda X(x) = 0, \quad X(0) = 0, \quad X(1) = 0$ cuyos autovalores y autofunciones normalizadas son: $\lambda_n = (n \pi)^2, \quad X_n(x) = \sin(n \pi x), \quad n = 1, 2, 3, \dots$ La ecuación temporal para cada modo es: $T_n'(t) + \alpha (n \pi)^2 T_n(t) = 0 \implies T_n(t) = e^{-\alpha n^2 \pi^2 t}$ La solución general en serie de Fourier es: $u(x, t) = \sum_{n=1}^\infty A_n \sin(n \pi x) e^{-\alpha n^2 \pi^2 t}$

Paso 3: Identificación directa de coeficientes Evaluamos en $t = 0$: $u(x, 0) = \sum_{n=1}^\infty A_n \sin(n \pi x) = 50 \sin(\pi x) - 20 \sin(3 \pi x)$ Por ortogonalidad e igualdad directa término a término:

• Para $n = 1$: $A_1 = 50\,^\circ\text{C}$.
• Para $n = 3$: $A_3 = -20\,^\circ\text{C}$.
• Para todo $n \neq 1, 3$: $A_n = 0$. La solución analítica exacta para cualquier $t \ge 0$ es: $u(x, t) = 50 \sin(\pi x) e^{-\alpha \pi^2 t} - 20 \sin(3 \pi x) e^{-9 \alpha \pi^2 t}$

Paso 4: Evaluación numérica en $x = 0.5\,\text{m}$ y $t = 1000\,\text{s}$ Sustituyendo $\alpha = 10^{-4}\,\text{m}^2/\text{s}$ y $t = 1000\,\text{s}$: $\alpha \pi^2 t = 10^{-4} \times \pi^2 \times 1000 = 0.1 \pi^2 \approx 0.98696$ $9 \alpha \pi^2 t = 9 \times 0.98696 \approx 8.8826$ Calculamos los factores espaciales en $x = 0.5$: $\sin(\pi \times 0.5) = \sin(\pi / 2) = 1$ $\sin(3 \pi \times 0.5) = \sin(3 \pi / 2) = -1$ Sustituyendo en la solución: $u(0.5, 1000) = 50(1) e^{-0.98696} - 20(-1) e^{-8.8826}$ $e^{-0.98696} \approx 0.3727, \quad e^{-8.8826} \approx 0.0001388$ $u(0.5, 1000) = 50(0.3727) + 20(0.0001388) = 18.635 + 0.0028 \approx 18.64\,^\circ\text{C}$ Obsérvese cómo el tercer armónico se ha disipado casi por completo (atenuación del $99.986\%$) en comparación con el modo fundamental.

Ejemplo inverso

Problema

En un canal acústico lineal sin pérdidas de longitud infinita, un micrófono registra una onda sonora unidimensional que evoluciona como: $u(x, t) = \frac{1}{1 + (x - 340 t)^2} + \frac{1}{1 + (x + 340 t)^2}$

1. Demuestra que esta función satisface la ecuación de ondas hiperbólica de d'Alembert $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ y determina la velocidad de propagación $v$.
2. Reconstruye el perfil espacial inicial de la perturbación $u(x, 0)$ y la velocidad inicial $\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)$.

Solución detallada

Paso 1: Comprobación de la estructura de d'Alembert La fórmula general de d'Alembert para ondas no dispersivas establece: $u(x, t) = F(x - v t) + G(x + v t)$ Definiendo $F(\xi) = \frac{1}{1 + \xi^2}$ y $G(\eta) = \frac{1}{1 + \eta^2}$, la función dada tiene exactamente la forma $F(x - v t) + G(x + v t)$ con: $v = 340\,\text{m}/\text{s}$ Por la regla de la cadena: $\frac{\partial u}{\partial x} = F'(\xi) + G'(\eta), \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = F''(\xi) + G''(\eta)$ $\frac{\partial u}{\partial t} = -v F'(\xi) + v G'(\eta), \quad \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 F''(\xi) + v^2 G''(\eta) = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ La ecuación de ondas se satisface de forma idéntica en todo el espacio-tiempo con velocidad acústica $v = 340\,\text{m}/\text{s}$.

Paso 2: Reconstrucción de las condiciones iniciales

• Perfil inicial de desplazamiento ($t = 0$): $u(x, 0) = \frac{1}{1 + (x - 0)^2} + \frac{1}{1 + (x + 0)^2} = \frac{2}{1 + x^2}$
• Velocidad inicial en $t = 0$: $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{-2(x - v t)(-v)}{\left[1 + (x - v t)^2\right]^2} + \frac{-2(x + v t)(v)}{\left[1 + (x + v t)^2\right]^2}$ Evaluando en $t = 0$: $\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0} = \frac{2 v x}{(1 + x^2)^2} - \frac{2 v x}{(1 + x^2)^2} = 0\,\text{m}/\text{s}$ El estado inicial correspondía a un pulso estacionario de presión simétrico liberado desde el reposo.

Errores comunes: Ecuaciones en Derivadas Parciales Básicas

Error 1: Confundir las condiciones de contorno de Dirichlet con las de Neumann

Aplicar autofunciones seno $\sin(n\pi x/L)$ a problemas con extremos aislados térmicamente o extremos libres en una cuerda.

• Corrección: Extremos aislados (flujo nulo) o libres imponen derivada nula $\partial_x u = 0$ (Neumann), cuyas autofunciones son cosenos $\cos(n\pi x/L)$ e incluyen el modo cero constante $n = 0$.

Error 2: Olvidar el modo cero en problemas de difusión con contorno Neumann

Omitir el término constante $A_0$ en la serie de Fourier para extremos aislados.

• Consecuencia: La solución predice erróneamente que la temperatura total colapsa a cero absoluto ($u \to 0$), violando la ley de conservación de la energía en un sistema aislado.

Error 3: No homogenizar las condiciones de contorno antes de separar variables

Intentar aplicar $u(x, t) = X(x) T(t)$ cuando los extremos tienen temperaturas fijas no nulas, por ejemplo $u(0, t) = 100^\circ\text{C}$.

• Corrección: La separación de variables exige $X(0) = 0$. Debe restarse primero el perfil estacionario lineal $u_{\text{est}}(x) = T_1 + (T_2 - T_1) x/L$.

Error 4: Confundir la solución temporal del calor con la de la onda

Escribir exponenciales decrecientes $e^{-\alpha t}$ para la ecuación de onda o funciones trigonométricas $\cos(\omega t)$ para la ecuación del calor.

• Criterio nemotécnico: El calor tiene primera derivada temporal $u_t$ (disipación irreversible exponencial); la onda tiene segunda derivada temporal $u_{tt}$ (oscilación armónica conservativa).

Error 5: Omitir la segunda condición inicial en la ecuación de ondas

Para la ecuación de ondas $u_{tt} = v^2 u_{xx}$, ajustar únicamente el perfil inicial $u(x, 0)$ ignorando la velocidad inicial $\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)$.

• Consecuencia: Una ecuación hiperbólica de segundo orden en tiempo requiere dos condiciones independientes en $t = 0$ para determinar de forma unívoca los coeficientes de senos y cosenos temporales.

Regla rápida de control

Para comprobar la consistencia de tu solución en EDPs: evalúa $t = 0$ en la serie resultante. La serie debe converger exactamente a la función inicial dada $u(x, 0)$. Si evalúas los límites de frontera ($x = 0$ y $x = L$), debe satisfacer rigurosamente las condiciones prescritas.

Aplicaciones físicas: Ecuaciones en Derivadas Parciales Básicas

1. Conducción de calor y metalurgia térmica

El templado de aceros y componentes mecánicos en la industria metalúrgica se modela mediante la ecuación del calor tridimensional con coeficientes anisótropos: $\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla T)$ El control exacto del enfriamiento transitorio evita tensiones residuales térmicas y previene la formación prematura de microgrietas en palas de turbinas aeronáuticas y reactores nucleares.

2. Acústica de recintos y síntesis de sonido musical

La propagación de ondas de presión acústica en auditorios y salas de conciertos obedece a la ecuación de Helmholtz en el dominio frecuencial: $\nabla^2 p + \frac{\omega^2}{c^2} p = 0$ El cálculo de los modos propios espaciales permite a los ingenieros acústicos eliminar ondas estacionarias molestas (modos de sala) y diseñar difusores Schroeder para optimizar la inteligibilidad del sonido.

3. Electrostática y confinamiento de plasma en Tokamaks

El confinamiento magnético de plasma a millones de grados en reactores de fusión nuclear (como ITER) modela el equilibrio magnetohidrodinámico mediante la ecuación de Grad-Shafranov (una ecuación elíptica no lineal generalizada de tipo Poisson): $\Delta^* \psi = -\mu_0 R^2 p'(\psi) - F F'(\psi)$ donde el flujo poloidal magnético $\psi$ determina las superficies de confinamiento magnético toroidal cerradas.

4. Dinámica de fluidos y meteorología: ecuación de vorticidad

En la atmósfera terrestre a escala sinóptica, la evolución de los sistemas borrascosos y anticiclónicos se rige por la ecuación cuasi-geostrófica de vorticidad (una EDP parabólico-hiperbólica de transporte): $\frac{\partial}{\partial t} (\nabla^2 \psi) + J(\psi, \nabla^2 \psi + f) = 0$ donde $\psi$ es la función de corriente geostrófica y $f$ el parámetro de Coriolis, prediciendo la trayectoria de frentes fríos y la corriente en chorro (jet stream).

5. Fotónica y guiado de luz en fibras ópticas

La propagación de pulsos de luz ultracortos (femtosegundos) en fibras ópticas de telecomunicaciones combina dispersión cromática y no linealidad de Kerr según la ecuación no lineal de Schrödinger (NLSE): $i \frac{\partial A}{\partial z} - \frac{\beta_2}{2} \frac{\partial^2 A}{\partial t^2} + \gamma |A|^2 A = 0$ El equilibrio exacto entre el ensanchamiento dispersivo y la autofocalización no lineal genera solitones ópticos: pulsos de luz que viajan miles de kilómetros por el fondo oceánico sin deformarse.

Conexión interdisciplinar

Las EDPs constituyen la herramienta base de la geofísica petrolífera (migración de ondas sísmicas para mapear yacimientos subterráneos), la biomedicina computacional (propagación de potenciales de acción cardíacos mediante la ecuación de FitzHugh-Nagumo) y la astrofísica relativista (simulación de fusión de agujeros negros mediante la relatividad numérica).

Práctica guiada: Ecuaciones en Derivadas Parciales Básicas

Ejercicio 1: Vibración de una cuerda tensa liberada desde una deformación triangular

Una cuerda fija en sus extremos $x = 0$ y $x = L$ se eleva en su centro hasta una altura $h$ y se libera del reposo en $t = 0$: $u(x, 0) = \begin{cases} \frac{2 h}{L} x, & 0 \le x \le \frac{L}{2} \\ \frac{2 h}{L}(L - x), & \frac{L}{2} \le x \le L \end{cases}, \quad \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0$

1. Plantea la solución en serie de Fourier para la ecuación de ondas $u_{tt} = v^2 u_{xx}$.
2. Calcula los coeficientes de Fourier $A_n$.
3. Explica por qué todos los armónicos pares ($n = 2, 4, 6, \dots$) son idénticamente nulos.

Solución

1. Ecuación de ondas con extremos fijos y velocidad inicial nula: $u(x, t) = \sum_{n=1}^\infty A_n \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{n \pi v t}{L}\right)$
2. Coeficientes por integración: $A_n = \frac{2}{L} \int_0^L u(x, 0) \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) dx = \frac{2}{L} \left[\int_0^{L/2} \frac{2 h x}{L} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) dx + \int_{L/2}^L \frac{2 h(L-x)}{L} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) dx\right]$ Integrando por partes y evaluando: $A_n = \frac{8 h}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right)$
3. Propiedad de paridad:
   • Para $n$ par ($n = 2, 4, \dots$): $\sin(n \pi / 2) = \sin(m \pi) = 0$.
   • Para $n$ impar ($n = 1, 3, 5, \dots$): $\sin(n \pi / 2) = (-1)^{(n-1)/2}$. Los armónicos pares son estrictamente nulos porque la forma triangular inicial es simétrica respecto al centro $x = L/2$, mientras que los armónicos pares son antisimétricos respecto al centro. $u(x, t) = \frac{8 h}{\pi^2} \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{(2m+1)^2} \sin\left(\frac{(2m+1)\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{(2m+1)\pi v t}{L}\right)$

Ejercicio 2: Enfriamiento de una barra con extremos perfectamente aislados (Condiciones de Neumann)

Una barra conductora de calor de longitud $L$ tiene sus extremos perfectamente aislados: $\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = 0$ y $\frac{\partial u}{\partial x}(L, t) = 0$. La temperatura inicial es $u(x, 0) = T_0 \cos^2\left(\frac{\pi x}{L}\right)$.

1. Formula las autofunciones espaciales para contorno de Neumann homogéneo.
2. Encuentra la solución analítica $u(x, t)$.
3. Determina la temperatura final de equilibrio uniforme cuando $t \to \infty$.

Solución

1. Para Neumann homogéneo $X'(0) = 0, X'(L) = 0$: $\lambda_n = \left(\frac{n \pi}{L}\right)^2, \quad X_n(x) = \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dots$ Nótese que $n = 0$ es un autovalor admisible ($\lambda_0 = 0, X_0(x) = 1$).
2. Solución general: $u(x, t) = A_0 + \sum_{n=1}^\infty A_n \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right) e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}$ Reescribiendo la condición inicial usando identidades trigonométricas: $u(x, 0) = T_0 \cos^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) = \frac{T_0}{2} + \frac{T_0}{2} \cos\left(\frac{2 \pi x}{L}\right)$ Comparando término a término:
   • Para $n = 0$: $A_0 = \frac{T_0}{2}$.
   • Para $n = 2$: $A_2 = \frac{T_0}{2}$.
   • Los demás coeficientes $A_n = 0$. Por tanto: $u(x, t) = \frac{T_0}{2} + \frac{T_0}{2} \cos\left(\frac{2 \pi x}{L}\right) e^{-4 \alpha (\pi/L)^2 t}$
3. Cuando $t \to \infty$, el modo transitorio decae a cero: $\lim_{t \to \infty} u(x, t) = \frac{T_0}{2}$ Al no haber escape de calor a través de las paredes aisladas, la energía térmica se redistribuye uniformemente alcanzando el valor medio exacto de la temperatura inicial.

Ejercicio 3: Potencial electrostático en una placa cuadrada (Ecuación de Laplace)

Se considera la placa conductora plana $[0, a] \times [0, a]$ gobernada por $\nabla^2 V = 0$. Los lados $x = 0, x = a$ e $y = 0$ están conectados a tierra ($V = 0$), mientras que la arista superior $y = a$ se mantiene a potencial fijo constante $V(x, a) = V_0$. Determina el potencial analítico $V(x, y)$ en cualquier punto interior de la placa.

Solución

1. Proponiendo $V(x, y) = X(x) Y(y)$: $\frac{X''(x)}{X(x)} = -\frac{Y''(y)}{Y(y)} = -\lambda$
2. En la dirección $x$ (con condiciones Dirichlet homogéneas $X(0) = 0, X(a) = 0$): $\lambda_n = \left(\frac{n \pi}{a}\right)^2, \quad X_n(x) = \sin\left(\frac{n \pi x}{a}\right), \quad n = 1, 2, \dots$
3. En la dirección $y$, con $Y(0) = 0$: $Y_n''(y) - \lambda_n Y_n(y) = 0 \implies Y_n(y) = \sinh\left(\frac{n \pi y}{a}\right)$
4. Serie general: $V(x, y) = \sum_{n=1}^\infty C_n \sin\left(\frac{n \pi x}{a}\right) \sinh\left(\frac{n \pi y}{a}\right)$
5. En $y = a$: $V(x, a) = V_0 = \sum_{n=1}^\infty \left[C_n \sinh(n \pi)\right] \sin\left(\frac{n \pi x}{a}\right)$. Por coeficientes de Fourier de una constante: $C_n \sinh(n \pi) = \frac{2}{a} \int_0^a V_0 \sin\left(\frac{n \pi x}{a}\right) dx = \frac{2 V_0}{n \pi} (1 - (-1)^n) = \begin{cases} \frac{4 V_0}{n \pi}, & n \text{ impar} \\ 0, & n \text{ par} \end{cases}$ $C_n = \frac{4 V_0}{n \pi \sinh(n \pi)}, \quad n = 1, 3, 5, \dots$ La solución final es: $V(x, y) = \frac{4 V_0}{\pi} \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{2m+1} \frac{\sinh\left(\frac{(2m+1)\pi y}{a}\right)}{\sinh((2m+1)\pi)} \sin\left(\frac{(2m+1)\pi x}{a}\right)$