Estabilidad y retratos de fase

Análisis cualitativo en el plano de fases, puntos de equilibrio, trayectorias y criterios de estabilidad.

Qué es

El análisis cualitativo y geométrico de sistemas dinámicos continuos autónomos: $\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ permite determinar la evolución asintótica global del sistema sin necesidad de integrar analíticamente las ecuaciones. Un punto de equilibrio (o punto crítico/fijo) $\mathbf{x}^*$ es una configuración estacionaria donde la velocidad se anula idénticamente: $\mathbf{f}(\mathbf{x}^*) = \mathbf{0}$

En una vecindad del punto de equilibrio, el sistema no lineal se aproxima mediante su desarrollo en serie de Taylor de primer orden (linealización): $\frac{d\mathbf{\xi}}{dt} = \mathbf{J}(\mathbf{x}^*) \mathbf{\xi}, \quad \mathbf{\xi} = \mathbf{x} - \mathbf{x}^*$ donde $\mathbf{J}(\mathbf{x}^*) = \left.\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|_{\mathbf{x}^*}$ es la matriz Jacobiana.

Por el teorema de Hartman-Grobman, si el punto de equilibrio es hiperbólico (ningún autovalor de $\mathbf{J}$ tiene parte real estrictamente nula, $\operatorname{Re}(\lambda_i) \neq 0$), la topología de las trayectorias del sistema no lineal en un entorno de $\mathbf{x}^*$ es homeomorfa (topológicamente equivalente) a la del sistema linealizado.

En el plano bidimensional $(x, y)$, la traza $\tau = \operatorname{tr}(\mathbf{J})$ y el determinante $\Delta = \det(\mathbf{J})$ clasifican exhaustivamente los equilibrios:

1. $\Delta < 0$: Punto de ensilladura (Saddle) (inestable, autovalores reales de signos opuestos).
2. $\Delta > 0$ y $\tau^2 - 4\Delta > 0$: Nodo (Node):
   • Estable (atractor) si $\tau < 0$.
   • Inestable (repulsor) si $\tau > 0$.
3. $\Delta > 0$ y $\tau^2 - 4\Delta < 0$: Foco espiral (Spiral focus):
   • Estable si $\tau < 0$ (espiral convergente hacia el origen).
   • Inestable si $\tau > 0$ (espiral divergente).
4. $\Delta > 0$ y $\tau = 0$: Centro (Center) (autovalores imaginarios puros $\pm i\omega$, órbitas cerradas periódicas neutras).

Por qué aparece en física

La inmensa mayoría de las ecuaciones diferenciales en física son intrínsecamente no lineales y carecen de soluciones analíticas en términos de funciones elementales (el péndulo simple para grandes amplitudes, la convección térmica de Rayleigh-Bénard, los modelos de estrellas en astrofísica, la turbulencia de fluidos). El retrato de fase permite responder directamente a las preguntas físicas fundamentales:

• ¿Es estable el estado de reposo ante perturbaciones térmicas o mecánicas externas?
• ¿Tendera el sistema hacia un estado estacionario, oscilará indefinidamente en un ciclo límite auto-sostenido o exhibirá caos determinista?
• ¿Bajo qué umbral crítico de parámetros cambiará cualitativamente el comportamiento del sistema (bifurcaciones)?

Idea visual o geométrica

El retrato de fase es una fotografía geométrica integral de todas las trayectorias dinámicas en el espacio de fases. Las isoclinas nulas (nullclines) son las curvas donde una componente de la velocidad se anula:

• Isoclina $x$: Curva $f(x, y) = 0$ (donde las trayectorias cruzan estrictamente en vertical).
• Isoclina $y$: Curva $g(x, y) = 0$ (donde las trayectorias cruzan estrictamente en horizontal). Los puntos de intersección entre las isoclinas nulas son precisamente los puntos de equilibrio. Las trayectorias fluyen como un río continuo: las variedades estables e inestables actúan como divisorias de aguas (separatrices) que delimitan las cuencas de atracción de los diferentes estados estables.

Lenguaje simbólico mínimo

• Criterio de estabilidad de Lyapunov: Un equilibrio $\mathbf{x}^* = \mathbf{0}$ es estable si existe una función escalar continua y diferenciable $V(\mathbf{x})$ (función de Lyapunov) tal que:
  1. $V(\mathbf{0}) = 0$ y $V(\mathbf{x}) > 0$ para todo $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ (definida positiva).
  2. $\dot{V}(\mathbf{x}) = \nabla V \cdot \mathbf{f}(\mathbf{x}) \le 0$ en toda la región (no creciente a lo largo de las trayectorias). Si $\dot{V}(\mathbf{x}) < 0$ estrictamente para $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$, el equilibrio es asintóticamente estable.
• Teorema de Poincaré-Bendixson: En el plano bidimensional continuo $\mathbb{R}^2$, cualquier trayectoria acotada que no contenga puntos de equilibrio debe converger necesariamente a una órbita periódica cerrada (ciclo límite). (El caos continuo requiere un espacio de fases de dimensión mínima $n \ge 3$).

Qué significa el resultado

1. Robustez estructural: Un foco o nodo hiperbólico es estructuralmente estable: una pequeña modificación en los parámetros del sistema deforma ligeramente las curvas pero no altera la naturaleza cualitativa de atracción o repulsión.
2. Ciclos límite: Representan oscilaciones no lineales auto-sostenidas de amplitud y frecuencia fijas e independientes de las condiciones iniciales (como el latido cardíaco o el reloj de péndulo mecánico).
3. Bifurcaciones: Puntos críticos de parámetros donde un autovalor cruza el eje imaginario, provocando la aparición o destrucción de equilibrios (bifurcaciones de silla-nodo, trinchera o Hopf).

Cuándo no debes usarlo

• Linealización en centros neutros ($\tau = 0, \Delta > 0$): La linealización predice un centro, pero las no linealidades de orden superior pueden transformar el centro en un foco espiral débilmente estable o inestable. Es obligatorio recurrir a funciones de Lyapunov o integrales primeras de energía.
• Dimensionalidad reducida para sistemas caóticos: En el plano bidimensional ($n = 2$), el teorema de Poincaré-Bendixson prohíbe el caos determinista. No intentes buscar atractores extraños en sistemas planos autónomos.
• Sistemas no autónomos con dependencia temporal explícita $\mathbf{f}(\mathbf{x}, t)$: Las trayectorias en el espacio de configuración $(x, y)$ pueden cruzarse entre sí porque el campo vectorial varía en el tiempo; se debe añadir el tiempo como una variable de estado adicional $z = t$.

Resumen operativo

1. Iguala las derivadas a cero: $f_1(x, y) = 0$ y $f_2(x, y) = 0$ para hallar todos los equilibrios $(x^*, y^*)$.
2. Dibuja las isoclinas nulas para determinar los cuadrantes de las flechas de dirección del flujo.
3. Calcula la matriz Jacobiana genérica $\mathbf{J}(x, y)$.
4. Evalúa $\mathbf{J}$ en cada equilibrio $(x^*, y^*)$ y calcula su traza $\tau$ y determinante $\Delta$.
5. Clasifica la estabilidad local (silla si $\Delta < 0$, nodo/foco según $\tau^2 - 4\Delta$ y signo de $\tau$).
6. Para centros no lineales, construye la función de energía conservada $E(x, y)$ como función de Lyapunov.

Procedimiento: Construcción y Análisis de Retratos de Fase

Antes de calcular

1. Verifica la autonomía del sistema: Comprueba que las ecuaciones no dependan explícitamente del tiempo: $\dot{x} = f(x, y), \quad \dot{y} = g(x, y)$
2. Identifica simetrías: Si $f$ y $g$ son invariantes ante transformaciones como $(x, y) \to (-x, -y)$ o $(x, t) \to (x, -t)$ (reversibilidad temporal), el retrato de fase poseerá simetría especular.
3. Localiza restricciones físicas: En modelos de poblaciones o concentraciones químicas, delimita el dominio al primer cuadrante ($x \ge 0, y \ge 0$).

Paso 1: identifica el objeto matemático

Halla los puntos de equilibrio resolviendo el sistema algebraico simultáneo: $\begin{cases} f(x, y) = 0 \\ g(x, y) = 0 \end{cases}$ Registra cada par solución $(x_i^*, y_i^*)$.

Paso 2: elige la operación

2A. Traza las isoclinas nulas (nullclines)

• Dibuja la curva $f(x, y) = 0$: sobre ella, $\dot{x} = 0$, luego las flechas son verticales ($orque \uparrow$ si $g > 0$, $\downarrow$ si $g < 0$).
• Dibuja la curva $g(x, y) = 0$: sobre ella, $\dot{y} = 0$, luego las flechas son horizontales ($orque \rightarrow$ si $f > 0$, $\leftarrow$ si $f < 0$).

2B. Linealización jacobiana

Calcula la matriz Jacobiana general: $\mathbf{J}(x, y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{pmatrix}$ Para cada punto crítico $(x_k^*, y_k^*)$, evalúa: $\tau = \operatorname{tr}(\mathbf{J}), \quad \Delta = \det(\mathbf{J})$

Paso 3: conserva unidades y signos

• Si $\Delta < 0$, los autovalores tienen signos opuestos: es punto de ensilladura (inestable).
• Si $\Delta > 0$:
  • Si $\tau^2 - 4\Delta > 0$: Nodo. Estable si $\tau < 0$, inestable si $\tau > 0$.
  • Si $\tau^2 - 4\Delta < 0$: Foco espiral. Estable si $\tau < 0$, inestable si $\tau > 0$.
  • Si $\tau = 0$: Centro lineal. (Requiere comprobación no lineal con integral de energía).

Paso 4: calcula las direcciones de las variedades

Para los puntos de ensilladura (saddles):

1. Halla el autovector del autovalor negativo $\lambda_s < 0$: este vector define la dirección tangente de la variedad estable (las trayectorias entran al equilibrio).
2. Halla el autovector del autovalor positivo $\lambda_u > 0$: este vector define la tangente de la variedad inestable (las trayectorias huyen del equilibrio).

Paso 5: interpreta el resultado

1. Conecta suavemente las flechas de las regiones delimitadas por las isoclinas nulas.
2. Identifica si existen ciclos límites cerrados alrededor de focos inestables mediante el teorema de Poincaré-Bendixson.
3. Traza las separatrices para identificar las diferentes cuencas de atracción (estados finales alternativos del sistema físico).

Checklist de autocontrol

• ¿Los puntos de corte de las isoclinas nulas coinciden con los puntos de equilibrio hallados?
• ¿He verificado el signo del determinante y de la traza en cada punto crítico?
• ¿Las trayectorias cruzan las isoclinas nulas con las pendientes perpendiculares correctas?
• Si el sistema es conservativo sin fricción, ¿los equilibrios no colapsan en nodos o focos atractores?
• ¿He comprobado que ninguna trayectoria se corte a sí misma en el plano de fases?

Ejemplos resueltos: Estabilidad y Retratos de Fase

Ejemplo guiado paso a paso

Problema

Se considera el péndulo simple no lineal con amortiguamiento viscoso débil: $\ddot{\theta} + \gamma \dot{\theta} + \omega_0^2 \sin\theta = 0$ con $\omega_0 = 2\,\text{rad}/\text{s}$ y $\gamma = 0.5\,\text{s}^{-1}$.

1. Transforma la EDO de segundo orden en un sistema autónomo de primer orden en las variables de fase $(x, y) = (\theta, \dot{\theta})$.
2. Determina los puntos de equilibrio en el intervalo $\theta \in [-\pi, \pi]$.
3. Calcula la matriz Jacobiana y clasifica la estabilidad local de cada punto de equilibrio.
4. Esboza la estructura cualitativa de las trayectorias en el plano de fases.

Solución detallada

Paso 1: Reducción a sistema de primer orden Definiendo $x = \theta$ (posición angular) e $y = \dot{\theta}$ (velocidad angular): $\begin{cases} \dot{x} = y \\ \dot{y} = -\omega_0^2 \sin x - \gamma y = -4 \sin x - 0.5 y \end{cases}$ El campo vectorial es $\mathbf{f}(x, y) = \begin{pmatrix} y \\ -4 \sin x - 0.5 y \end{pmatrix}$.

Paso 2: Puntos de equilibrio Igualamos ambas derivadas a cero: $\begin{cases} y = 0 \\ -4 \sin x - 0.5(0) = 0 \implies \sin x = 0 \end{cases}$ En el intervalo $[-\pi, \pi]$, las soluciones son:

• $P_1 = (0, 0)$ (péndulo en reposo apuntando verticalmente hacia abajo).
• $P_2 = (\pi, 0)$ y $P_3 = (-\pi, 0)$ (péndulo invertido apuntando verticalmente hacia arriba).

Paso 3: Matriz Jacobiana y clasificación de equilibrios La matriz Jacobiana en cualquier punto $(x, y)$ es: $\mathbf{J}(x, y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x}(y) & \frac{\partial}{\partial y}(y) \\ \frac{\partial}{\partial x}(-4 \sin x - 0.5 y) & \frac{\partial}{\partial y}(-4 \sin x - 0.5 y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -4 \cos x & -0.5 \end{pmatrix}$

• Análisis del equilibrio inferior $P_1 = (0, 0)$: $\mathbf{J}(0, 0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -4 \cos(0) & -0.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -4 & -0.5 \end{pmatrix}$ Calculamos traza y determinante: $\tau = \operatorname{tr}(\mathbf{J}) = 0 - 0.5 = -0.5$ $\Delta = \det(\mathbf{J}) = (0)(-0.5) - (1)(-4) = 4$ Discriminante: $\tau^2 - 4 \Delta = (-0.5)^2 - 4(4) = 0.25 - 16 = -15.75 < 0$ Como $\Delta > 0$, $\tau^2 - 4\Delta < 0$ y $\tau = -0.5 < 0$, los autovalores son complejos conjugados con parte real negativa: $\lambda_{1,2} = \frac{-0.5 \pm i \sqrt{15.75}}{2} = -0.25 \pm 1.984 i$ El punto $(0, 0)$ es un foco espiral asintóticamente estable (atractor). Físicamente, el péndulo oscila en espiral amortiguada hacia el fondo del pozo gravitatorio.

• Análisis del equilibrio invertido $P_2 = (\pi, 0)$: $\mathbf{J}(\pi, 0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -4 \cos(\pi) & -0.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & -0.5 \end{pmatrix}$ $\tau = -0.5, \quad \Delta = (0)(-0.5) - (1)(4) = -4$ Como $\Delta = -4 < 0$, los autovalores son reales de signos opuestos: $\lambda^2 + 0.5 \lambda - 4 = 0 \implies \lambda = \frac{-0.5 \pm \sqrt{0.25 + 16}}{2} = \frac{-0.5 \pm 4.031}{2}$ $\lambda_1 = 1.766 > 0, \quad \lambda_2 = -2.266 < 0$ El punto $(\pi, 0)$ es un punto de ensilladura (saddle, inestable). Físicamente, cualquier perturbación infinitesimal hace caer al péndulo hacia la izquierda o hacia la derecha.

Paso 4: Estructura del retrato de fase

• Las trayectorias que parten cerca de $(0, 0)$ espiralan en sentido horario hacia el origen.
• Las variedades estables de los puntos de ensilladura en $(\pm \pi, 0)$ forman las separatrices que dividen el movimiento entre oscilaciones confinadas y vueltas completas sobre el eje (movimiento rotacional transitorio).

Ejemplo inverso

Problema

Se dispone de un retrato de fase experimental de un sistema dinámico plano no lineal $\dot{x} = f(x, y), \dot{y} = g(x, y)$ donde se observa un único punto de equilibrio en $(0, 0)$. El retrato revela trayectorias que giran en espiral ensanchándose hacia el exterior desde el origen y convergiendo hacia una órbita cerrada circular de radio $R = 2$, mientras que las trayectorias exteriores con radio inicial $r_0 > 2$ espiralan hacia el interior convergiendo a la misma circunferencia $R = 2$. Reconstruye un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo en coordenadas cartesianas $(x, y)$ que genere exactamente este comportamiento dinámico.

Solución detallada

Paso 1: Formulación en coordenadas polares El comportamiento observado describe un ciclo límite circular estable de radio $R = 2$. En coordenadas polares $(r, \theta)$, una ecuación radial desacoplada que posea a $r = 2$ como atractor estable y a $r = 0$ como repulsor inestable es: $\dot{r} = r(4 - r^2) = r(2 - r)(2 + r)$

• En $r = 0$: $\dot{r} = 0$ (punto de equilibrio inestable).
• Para $0 < r < 2$: $\dot{r} > 0$ (el radio crece en espiral hacia afuera).
• Para $r > 2$: $\dot{r} < 0$ (el radio decrece en espiral hacia adentro).
• En $r = 2$: $\dot{r} = 0$ (órbita circular periódica cerrada). Para la rotación angular, elegimos una velocidad de giro constante $\dot{\theta} = 1\,\text{rad}/\text{s}$.

Paso 2: Conversión a coordenadas cartesianas Dado que $x = r \cos\theta$ e $y = r \sin\theta$: $\dot{x} = \dot{r} \cos\theta - r \dot{\theta} \sin\theta = \left[r(4 - r^2)\right] \frac{x}{r} - r (1) \frac{y}{r} = x(4 - r^2) - y$ $\dot{y} = \dot{r} \sin\theta + r \dot{\theta} \cos\theta = \left[r(4 - r^2)\right] \frac{y}{r} + r (1) \frac{x}{r} = y(4 - r^2) + x$ Como $r^2 = x^2 + y^2$: $\begin{cases} \dot{x} = x\left(4 - x^2 - y^2\right) - y \\ \dot{y} = y\left(4 - x^2 - y^2\right) + x \end{cases}$ Este sistema autónomo presenta un foco inestable en $(0, 0)$ y un ciclo límite aislado asintóticamente estable en la circunferencia $x^2 + y^2 = 4$.

Errores comunes: Estabilidad y Retratos de Fase

Error 1: Concluir estabilidad en un centro basándose exclusivamente en la linealización

Al obtener $\tau = 0$ y $\Delta > 0$ en la matriz Jacobiana de un sistema no lineal, declarar apresuradamente que el punto es un centro no lineal estable.

• Corrección: El teorema de Hartman-Grobman no se aplica si la parte real de los autovalores es nula (el punto no es hiperbólico). Términos no lineales de orden superior como $x^3$ o $x^2 y$ pueden destruir las órbitas cerradas, convirtiendo el centro en un foco espiral atractor o repulsor.

Error 2: Trazar trayectorias que se cortan en el plano de fases autónomo

Dibujar dos curvas de fase que se cruzan formando una "X" en un punto que no sea un punto de equilibrio.

• Consecuencia: Viola el teorema de unicidad de Picard-Lindelöf. Si dos trayectorias se cortaran en un punto ordinario, el vector de velocidad en ese punto tendría dos valores distintos simultáneamente, lo cual es físicamente imposible en sistemas autónomos.

Error 3: Confundir isoclinas nulas con trayectorias de fase

Pensar que las partículas o el estado se desplazan a lo largo de las curvas isoclinas $f(x, y) = 0$.

• Corrección: Las isoclinas nulas son simplemente líneas de referencia geométrica donde las trayectorias cruzan con pendiente vertical u horizontal pura; las trayectorias no viajan a lo largo de ellas excepto si coinciden con variedades invariantes.

Error 4: Proponer funciones de Lyapunov sin verificar la condición de definida positiva

Elegir una función $V(x, y)$ tal que $\dot{V} \le 0$, pero que toma valores negativos o se anula en curvas enteras lejos del origen.

• Corrección: $V(\mathbf{x})$ debe ser un cuenco estrictamente positivo $V(\mathbf{x}) > 0$ para todo $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$, alcanzando su único mínimo global en el origen $V(\mathbf{0}) = 0$.

Error 5: Buscar caos en sistemas planos continuos autónomos

Intentar modelar comportamiento caótico o atractores extraños mediante dos variables continuas autónomas $\dot{x} = f(x, y), \dot{y} = g(x, y)$.

• Corrección: El teorema topológico de Poincaré-Bendixson demuestra que las únicas estructuras asintóticas en el plano son equilibrios, órbitas periódicas y conexiones homoclínicas/heteroclínicas. El caos determinista continuo exige como mínimo $n \ge 3$ dimensiones.

Regla rápida de control

Para comprobar el sentido de giro de un foco o centro en el plano $(x, y)$: evalúa el campo de velocidades en el semieje positivo $(x > 0, y = 0)$. Si $\dot{y} > 0$, las flechas apuntan hacia arriba, luego el giro es necesariamente antihorario; si $\dot{y} < 0$, el giro es horario.

Aplicaciones físicas: Estabilidad y Retratos de Fase

1. El oscilador de Van der Pol y la electrónica de relajación

Desarrollado originalmente para modelar oscilaciones en válvulas de vacío (triodos), el oscilador de Van der Pol se rige por: $\ddot{x} - \mu (1 - x^2) \dot{x} + x = 0$ En el plano de fases $(x, \dot{x})$, el origen $(0, 0)$ es un foco inestable para cualquier $\mu > 0$. Para pequeñas amplitudes ($|x| < 1$), el término de fricción negativa inyecta energía al sistema; para grandes amplitudes ($|x| > 1$), disipa energía. El sistema colapsa hacia un ciclo límite atractor único, modelando circuitos generadores de reloj, marcapasos cardíacos y osciladores neuronales de FitzHugh-Nagumo.

2. Pandeo elástico de columnas y bifurcación en trinchera (Pitchfork)

Una barra esbelta sometida a una carga de compresión axial $P$ satisface la ecuación de equilibrio estático no lineal: $\ddot{\theta} + \left(\frac{P - P_c}{E I}\right) \theta + \alpha \theta^3 = 0$ Para cargas subcríticas $P < P_c$, el estado recto $\theta = 0$ es un centro estable. Cuando la carga supera el valor crítico de Euler $P > P_c$, el equilibrio central se desestabiliza convirtiéndose en una silla inestable, mientras emergen dos nuevos equilibrios estables simétricos $\theta^* = \pm \sqrt{\frac{P - P_c}{\alpha E I}}$ (bifurcación en trinchera supercrítica), explicando el pandeo estructural súbito en puentes y fuselajes.

3. Dinámica del láser de semiconductores (Bifurcaciones de Hopf)

Las ecuaciones de balance para la densidad de portadores de carga $N(t)$ y la densidad de fotones $S(t)$ en la cavidad de un diodo láser se modelan como: $\dot{N} = \frac{I}{e V} - \frac{N}{\tau_s} - g (N - N_0) S, \quad \dot{S} = \Gamma g (N - N_0) S - \frac{S}{\tau_p}$ Al aumentar la corriente de inyección $I$ por encima del umbral de emisión estimulada, el estado de emisión espontánea pierde estabilidad mediante una bifurcación de Hopf, naciendo la emisión coherente láser en forma de ciclo límite óptico estable.

4. Estabilidad orbital y puntos de Lagrange en astrodinámica

En el problema restringido de los tres cuerpos (Tierra-Luna-satélite), el movimiento en el sistema de referencia rotatorio posee cinco puntos de equilibrio de velocidad nula: los puntos de Lagrange $L_1$ a $L_5$. El análisis jacobiano demuestra que los puntos colineales $L_1, L_2, L_3$ son puntos de ensilladura (inestables), requiriendo maniobras de mantenimiento orbital activo (como en el telescopio espacial James Webb en $L_2$), mientras que los puntos triangulares $L_4, L_5$ son estables gracias a las fuerzas giroscópicas de Coriolis, albergando cúmulos estables de asteroides troyanos.

5. Dinámica atmosférica: el atractor de Lorenz y la convección térmica

Al truncar las ecuaciones de Navier-Stokes y de transporte térmico para la convección de Rayleigh-Bénard en tres modos espaciales de Fourier, Edward Lorenz derivó el célebre sistema tridimensional: $\dot{x} = \sigma (y - x), \quad \dot{y} = x(\rho - z) - y, \quad \dot{z} = x y - \beta z$ Para $\rho > 24.74$, todos los puntos fijos se vuelven inestables y las trayectorias en el espacio tridimensional quedan confinadas en un atractor extraño de dimensión fractal con divergencia exponencial de trayectorias adyacentes (efecto mariposa), demostrando los límites matemáticos intrínsecos de la predicción meteorológica.

Conexión interdisciplinar

Los retratos de fase y el análisis de estabilidad sustentan la modelización del colapso de redes eléctricas en ingeniería de potencia, los cambios de régimen macroeconómico en modelos de deuda-crecimiento y las transiciones epigenéticas en biología del desarrollo celular (paisaje epigenético de Waddington).

Práctica guiada: Estabilidad y Retratos de Fase

Ejercicio 1: Modelo depredador-presa de Lotka-Volterra

Se consideran las poblaciones adimensionales de presas $x(t) \ge 0$ y depredadores $y(t) \ge 0$: $\dot{x} = x(3 - y), \quad \dot{y} = y(x - 2)$

1. Determina los dos puntos de equilibrio del ecosistema.
2. Calcula la matriz Jacobiana y clasifica el equilibrio trivial $(0, 0)$.
3. Demuestra que el punto de coexistencia $(2, 3)$ es un centro lineal y construye la integral primera conservada $V(x, y)$.

Solución

1. Puntos de equilibrio: $\dot{x} = 0 \implies x = 0 \quad \text{o} \quad y = 3$ $\dot{y} = 0 \implies y = 0 \quad \text{o} \quad x = 2$ Puntos críticos: $(0, 0)$ (extinción) y $(2, 3)$ (coexistencia estable).
2. Matriz Jacobiana: $\mathbf{J}(x, y) = \begin{pmatrix} 3 - y & -x \\ y & x - 2 \end{pmatrix}$ En $(0, 0)$: $\mathbf{J}(0, 0) = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$. Autovalores $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = -2$. $\Delta = -6 < 0 \implies$ Punto de ensilladura (saddle).
3. En $(2, 3)$: $\mathbf{J}(2, 3) = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \implies \tau = 0, \quad \Delta = 0 - (-6) = 6 > 0$ Los autovalores son imaginarios puros $\lambda = \pm i\sqrt{6}$. Es un centro lineal. Para verificar que las órbitas no lineales son estrictamente cerradas, calculamos: $\frac{dy}{dx} = \frac{y(x - 2)}{x(3 - y)} \implies \frac{3 - y}{y}\,dy = \frac{x - 2}{x}\,dx \implies \left(\frac{3}{y} - 1\right)dy = \left(1 - \frac{2}{x}\right)dx$ Integrando: $3 \ln y - y = x - 2 \ln x + C \implies V(x, y) = x - 2 \ln x + y - 3 \ln y = C$ Como $V(x, y)$ posee un mínimo local estricto en $(2, 3)$, las curvas de nivel son elipses cerradas topológicas. Las poblaciones oscilan perpetuamente sin extinguirse.

Ejercicio 2: Bifurcación de silla-nodo en un interruptor genético

Un modelo simplificado de transcripción genética autoregulada se rige por: $\dot{x} = \mu + x^2$ donde $\mu$ es un parámetro de control químico externo.

1. Encuentra los puntos de equilibrio en función de $\mu$.
2. Clasifica su estabilidad según el signo de $\mu$.
3. Dibuja el diagrama de bifurcación e identifica el punto crítico de transición.

Solución

1. Equilibrios: $\mu + x^2 = 0 \implies x^2 = -\mu$.
   • Si $\mu > 0$: No existen equilibrios reales. El campo $\dot{x} > 0$ siempre; las trayectorias crecen indefinidamente hacia $+\infty$.
   • Si $\mu = 0$: Un único equilibrio semi-estable en $x^* = 0$.
   • Si $\mu < 0$: Existen dos equilibrios reales: $x_1^* = -\sqrt{-\mu}$ y $x_2^* = +\sqrt{-\mu}$.
2. Estabilidad mediante la derivada $f'(x) = 2 x$:
   • En $x_1^* = -\sqrt{-\mu}$: $f'(x_1^*) = -2 \sqrt{-\mu} < 0 \implies$ Equilibrio estable (atractor).
   • En $x_2^* = +\sqrt{-\mu}$: $f'(x_2^*) = +2 \sqrt{-\mu} > 0 \implies$ Equilibrio inestable (repulsor).
3. En $\mu = 0$, colisionan y se aniquilan mutuamente el atractor y el repulsor. Este fenómeno es una bifurcación de silla-nodo (saddle-node) estándar.

Ejercicio 3: Función de Lyapunov para estabilidad no lineal global

Se considera el sistema no lineal: $\dot{x} = -x + y^2, \quad \dot{y} = -y - x y$

1. Comprueba que $(0, 0)$ es un equilibrio.
2. Linealiza el sistema en $(0, 0)$ y calcula sus autovalores.
3. Utiliza la función de Lyapunov candidata $V(x, y) = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2} y^2$ para demostrar que el origen es asintóticamente estable.

Solución

1. En $(0, 0)$: $\dot{x} = 0 + 0 = 0$, $\dot{y} = 0 - 0 = 0$. Es equilibrio.
2. Matriz Jacobiana: $\mathbf{J}(x, y) = \begin{pmatrix} -1 & 2 y \\ -y & -1 - x \end{pmatrix} \implies \mathbf{J}(0, 0) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ Autovalores $\lambda_1 = \lambda_2 = -1 < 0$. La linealización predice un nodo estable.
3. Derivada temporal de Lyapunov: $\dot{V} = x \dot{x} + y \dot{y} = x(-x + y^2) + y(-y - x y) = -x^2 + x y^2 - y^2 - x y^2 = -(x^2 + y^2)$ Nótese que los términos cruzados $x y^2$ y $-x y^2$ se cancelan con total exactitud. $\dot{V}(x, y) = -(x^2 + y^2) < 0 \quad \forall (x, y) \neq (0, 0)$ Dado que $V(x, y) > 0$ y $\dot{V}(x, y) < 0$ estrictamente en todo el plano, el teorema de Lyapunov garantiza que el origen es globalmente asintóticamente estable.