Qué es una ecuación diferencial

Concepto de ecuación diferencial, orden, linealidad y modelado de leyes dinámicas continuas.

Qué es

Una ecuación diferencial (ED) es una relación funcional que vincula una o más variables independientes, una o más funciones incógnitas y una o más derivadas de dichas funciones respecto de las variables independientes: $F\left(x, y(x), \frac{dy}{dx}, \frac{d^2 y}{dx^2}, \dots, \frac{d^n y}{dx^n}\right) = 0$ El orden de la ecuación viene determinado por la derivada de mayor rango presente en la expresión. El grado corresponde a la potencia algebraica a la que está elevada dicha derivada de mayor orden (cuando la ecuación está en forma polinómica respecto de las derivadas).

Se clasifican primordialmente en:

1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO): La función incógnita depende de una sola variable independiente (comúnmente el tiempo $t$ o una coordenada espacial $x$).
2. Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP): La función incógnita depende de múltiples variables independientes (por ejemplo, espacio y tiempo $\psi(x,y,z,t)$), interviniendo derivadas parciales $\frac{\partial \psi}{\partial t}$, $\nabla^2 \psi$.

Asimismo, una ecuación es lineal si la función incógnita y todas sus derivadas aparecen con exponente 1 y no existen productos cruzados entre la función y sus derivadas: $a_n(x) \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1(x) \frac{dy}{dx} + a_0(x) y = g(x)$ Si los coeficientes $a_i(x)$ son constantes, el operador diferencial es invariante ante traslaciones. Si $g(x) = 0$, la ecuación es homogénea y rige el principio de superposición lineal.

Por qué aparece en física

Las leyes fundamentales de la naturaleza rara vez prescriben directamente el valor instantáneo o la posición absoluta de un observable; prescriben cómo cambia dicho estado en respuesta a interacciones y campos:

• La segunda ley de Newton no establece la posición $x(t)$, sino que relaciona la aceleración (segunda derivada temporal) con la fuerza neta: $m \frac{d^2 x}{dt^2} = F(x, \dot{x}, t)$.
• La ley de enfriamiento de Newton relaciona la tasa de cambio de temperatura con el gradiente térmico respecto del entorno: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{amb}})$.
• La inducción electromagnética de Faraday-Maxwell vincula el rotacional del campo eléctrico con la variación temporal del flujo magnético: $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$.
• La ecuación de Schrödinger describe la evolución temporal del estado cuántico a través del operador hamiltoniano: $i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H}\Psi$.

Resolver el problema físico consiste en integrar estas relaciones locales e instantáneas para reconstruir la trayectoria global, la distribución de campo o la función de onda en todo el dominio espacio-temporal.

Idea visual o geométrica

Geométricamente, una EDO de primer orden $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ define un campo de direcciones o campo de pendientes en el plano $(x, y)$. En cada punto espacial $(x, y)$, la función $f(x, y)$ asigna un pequeño segmento con pendiente tangente $m = f(x, y)$. Resolver la ecuación diferencial equivale a trazar las curvas integrales: curvas suaves $y(x)$ que en cada uno de sus puntos son tangentes al segmento del campo de direcciones local. Para una familia uniparamétrica de curvas, la solución general $y(x; C)$ cubre el plano con una foliación de trayectorias. Fijar una condición inicial $(x_0, y_0)$ selecciona de forma unívoca la curva integral que atraviesa dicho punto de paso.

Lenguaje simbólico mínimo

• EDO de orden $n$ explícita: $\frac{d^n y}{dx^n} = f\left(x, y, y', \dots, y^{(n-1)}\right)$
• Operador diferencial lineal $L$: $L[y] = \sum_{k=0}^n a_k(x) \frac{d^k y}{dx^k} = g(x)$
• Solución general: Familia de funciones que contiene tantas constantes esenciales independientes de integración $C_1, C_2, \dots, C_n$ como el orden $n$ de la ecuación: $y(x) = y_h(x; C_1, \dots, C_n) + y_p(x)$
• Solución particular: Función específica obtenida al fijar las constantes mediante condiciones de contorno o iniciales.
• Solución singular: Curva que satisface la ecuación diferencial en todo su dominio pero que no puede obtenerse asignando valores finitos a las constantes de la solución general (a menudo tangente a toda la familia, formando su envolvente).

Qué significa el resultado

El resultado de una ecuación diferencial es un campo de estados o una función temporal/espacial continua.

1. Determinismo causal: Dado el estado inicial completo (posición y velocidad en mecánica clásica), la solución única proyecta con total certeza todo el pasado y el futuro del sistema dinámico.
2. Constantes de integración: Representan los grados de libertad del sistema que dependen exclusivamente de la preparación experimental inicial o de los límites físicos del dispositivo, no de las leyes dinámicas intrínsecas.
3. Comportamiento asintótico: La solución revela si el sistema tiende a un estado estacionario de equilibrio ($t \to \infty$), oscila indefinidamente en un ciclo límite o diverge por inestabilidad.

Cuándo no debes usarlo

• Procesos con discontinuidades intrínsecas discretas sin derivadas continuas: Colisiones instantáneas idealizadas donde el impulso es una delta de Dirac requieren formulaciones con cálculo variacional o ecuaciones en diferencias finitas.
• Sistemas sin memoria local: Fenómenos no locales o viscoelásticos dependientes de toda la historia previa requieren ecuaciones íntegro-diferenciales o derivadas fraccionarias.
• Confusión entre solución matemática formal y rango físico admisible: Una solución matemática puede predecir poblaciones negativas, temperaturas por debajo del cero absoluto o velocidades superlumínicas si se extrapola fuera del rango de validez del modelo.

Resumen operativo

1. Clasifica la ecuación: ¿Ordinaria o parcial? ¿De qué orden? ¿Es lineal o no lineal? ¿Homogénea o inhomogénea?
2. Si es de orden $n$, anticipa que necesitarás exactamente $n$ condiciones independientes para determinar una trayectoria física única.
3. Revisa la simetría y las variables presentes: ¿Falta la variable independiente (autónoma)? ¿Falta la variable dependiente?
4. Elige el método analítico adecuado (separación de variables, factor integrante, coeficientes indeterminados) o recurre a análisis de estabilidad cualitativo o métodos numéricos (Runge-Kutta).

Procedimiento: Análisis y Resolución de una Ecuación Diferencial

Antes de calcular

Antes de intentar cualquier manipulación algebraica o integración:

1. Identifica las variables: Distingue con precisión cuál es la variable independiente (frecuentemente tiempo $t$ o posición $x$) y cuál es la función incógnita (posición $x(t)$, carga $q(t)$, temperatura $T(t)$).
2. Determina el orden y la linealidad: Localiza la derivada más alta. Comprueba si la función incógnita o sus derivadas aparecen elevadas a potencias distintas de 1 o multiplicadas entre sí.
3. Verifica homogeneidad de unidades: Cada término de la ecuación diferencial debe poseer idénticas dimensiones físicas. Si $x$ mide metros y $t$ segundos, $\frac{d^2 x}{dt^2}$ tiene unidades de $\text{m}/\text{s}^2$.

Paso 1: identifica el objeto matemático

Escribe la ecuación en forma canónica normalizada.

• Para primer orden: $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \quad \text{o} \quad M(x, y)\,dx + N(x, y)\,dy = 0$
• Para segundo orden lineal: $y'' + p(x) y' + q(x) y = g(x)$ Registra si los coeficientes son constantes o funciones de la variable independiente.

Paso 2: elige la operación

Selecciona la técnica de resolución según la estructura identificada:

1. Variables separables: Si $\frac{dy}{dx} = g(x) h(y)$, traslada todos los términos en $y$ junto a $dy$ y todos los términos en $x$ junto a $dx$: $\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx$.
2. Lineal de primer orden: Aplica el método del factor integrante $\mu(x) = \exp\left(\int P(x)\,dx\right)$.
3. Ecuación exacta: Si $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$, busca la función potencial $\Phi(x, y) = C$.
4. Lineal de orden superior con coeficientes constantes: Plantea la ecuación característica polinómica $a r^n + \dots + b r + c = 0$ para hallar la base de soluciones del núcleo homogéneo $y_h$.
5. Término forzador inhomogéneo: Usa coeficientes indeterminados (para exponenciales, senos, cosenos, polinomios) o variación de parámetros (método general del wronskiano).

Paso 3: conserva unidades y signos

• Todo factor integrante $\mu(x)$ es adimensional en el exponente; revisa que $\int P(x)\,dx$ carezca de unidades netas.
• Presta especial atención al signo negativo en leyes disipativas o restauradoras: en fricción $F = -\gamma v$, un error de signo transforma un amortiguamiento estable en una explosión exponencial no física.

Paso 4: calcula

1. Ejecuta las cuadraturas (integraciones analíticas).
2. Incorpora de forma explícita las constantes de integración ($+C$ para primer orden, $C_1, C_2$ para segundo orden). No las omitas ni las añadas al final arbitrariamente.
3. Despeja la variable dependiente $y(x)$ si es posible algebraicamente; en caso contrario, expresa la solución como curva de nivel implícita $F(x, y) = C$.

Paso 5: interpreta el resultado

1. Ajuste de condiciones iniciales: Evalúa $y(x_0) = y_0$ y resuelve el sistema algebraico para determinar las constantes $C_i$.
2. Límites asintóticos: Comprueba el comportamiento cuando $t \to \infty$ o $x \to 0$. ¿Coincide con la intuición física?
3. Casos límite conocidos: Si apagas el forzamiento ($g(x) \to 0$) o la disipación (viscosidad $\gamma \to 0$), ¿recuperas el oscilador armónico simple o el movimiento rectilíneo uniforme?

Checklist de autocontrol

• ¿El número de constantes de integración coincide exactamente con el orden de la ecuación?
• ¿He verificado que la solución propuesta satisface la ecuación original derivándola y sustituyéndola?
• ¿Son coherentes las unidades de todas las constantes de integración con las variables del problema?
• ¿Presenta la solución alguna singularidad (división por cero) dentro del intervalo físico de interés?
• ¿El signo de la respuesta produce estabilidad física donde se espera amortiguamiento?

Ejemplos resueltos: Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo guiado paso a paso

Problema

Un proyectil de masa $m = 2\,\text{kg}$ cae verticalmente en un fluido viscoso sometido a la gravedad ($g = 9.8\,\text{m}/\text{s}^2$) y a una fuerza de fricción hidrodinámica lineal $F_r = -\gamma v$, con coeficiente de arrastre $\gamma = 0.4\,\text{kg}/\text{s}$. Sabiendo que parte del reposo $v(0) = 0\,\text{m}/\text{s}$:

1. Clasifica y formula la ecuación diferencial del movimiento.
2. Encuentra la solución analítica de la velocidad $v(t)$.
3. Determina la velocidad terminal asintótica $v_L$.

Solución detallada

Paso 1: Formulación y clasificación Aplicando la segunda ley de Newton sobre el eje vertical descendente: $m \frac{dv}{dt} = m g - \gamma v \implies \frac{dv}{dt} + \frac{\gamma}{m} v = g$ Sustituyendo los valores numéricos: $\frac{dv}{dt} + \frac{0.4}{2} v = 9.8 \implies \frac{dv}{dt} + 0.2 v = 9.8$

• Tipo: Ecuación diferencial ordinaria (EDO).
• Orden: Primer orden.
• Linealidad: Lineal con coeficientes constantes.
• Homogeneidad: Inhomogénea (término fuente constante $g = 9.8$).

Paso 2: Resolución mediante factor integrante Identificamos $P(t) = 0.2$ y $Q(t) = 9.8$. El factor integrante es: $\mu(t) = \exp\left(\int 0.2\,dt\right) = e^{0.2 t}$ Multiplicando la ecuación por $\mu(t)$: $e^{0.2 t} \frac{dv}{dt} + 0.2 e^{0.2 t} v = 9.8 e^{0.2 t} \implies \frac{d}{dt}\left(v(t) e^{0.2 t}\right) = 9.8 e^{0.2 t}$ Integramos respecto de $t$: $v(t) e^{0.2 t} = \int 9.8 e^{0.2 t}\,dt = \frac{9.8}{0.2} e^{0.2 t} + C = 49 e^{0.2 t} + C$ Despejamos $v(t)$: $v(t) = 49 + C e^{-0.2 t}$

Paso 3: Aplicación de la condición inicial El cuerpo parte del reposo: $v(0) = 0$: $0 = 49 + C e^0 \implies C = -49$ La solución particular del problema de valor inicial es: $v(t) = 49\left(1 - e^{-0.2 t}\right)\,\text{m}/\text{s}$

Paso 4: Análisis asintótico y velocidad terminal Cuando $t \to \infty$, el término transitorio $e^{-0.2 t} \to 0$: $v_L = \lim_{t \to \infty} v(t) = 49\,\text{m}/\text{s}$ Comprobación física directa: la velocidad terminal se alcanza cuando la fuerza neta es nula: $m g - \gamma v_L = 0 \implies v_L = \frac{m g}{\gamma} = \frac{2 \times 9.8}{0.4} = 49\,\text{m}/\text{s}$ El resultado coincide exactamente.

Ejemplo inverso

Problema

A partir de mediciones experimentales en un circuito eléctrico transitorio, se determina que la carga en el condensador evoluciona según la función: $q(t) = Q_0 e^{-t/\tau} \cos(\omega t)$ donde $Q_0, \tau, \omega$ son constantes físicas positivas. Reconstruye la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes que gobierna este sistema físico e identifica qué componentes componen dicho circuito.

Solución detallada

Paso 1: Identificación de las raíces del polinomio característico La función observada es de la forma: $q(t) = e^{\alpha t} \left(A \cos(\beta t) + B \sin(\beta t)\right)$ con $\alpha = -\frac{1}{\tau}$ y $\beta = \omega$. Por tanto, las raíces del polinomio característico asociado deben ser el par complejo conjugado: $r_{1,2} = \alpha \pm i\beta = -\frac{1}{\tau} \pm i\omega$

Paso 2: Reconstrucción del polinomio característico El polinomio cuyas raíces son $r_{1,2}$ es: $(r - r_1)(r - r_2) = \left(r - \left(-\frac{1}{\tau} + i\omega\right)\right)\left(r - \left(-\frac{1}{\tau} - i\omega\right)\right) = 0$ $\left(r + \frac{1}{\tau}\right)^2 + \omega^2 = 0 \implies r^2 + \frac{2}{\tau} r + \left(\frac{1}{\tau^2} + \omega^2\right) = 0$

Paso 3: Formulación de la EDO Asociando cada potencia $r^k$ con la derivada de orden $k$ $\frac{d^k q}{dt^k}$: $\frac{d^2 q}{dt^2} + \frac{2}{\tau} \frac{dq}{dt} + \left(\omega^2 + \frac{1}{\tau^2}\right) q = 0$

Paso 4: Identificación física del circuito La ecuación estándar de un circuito $RLC$ serie en descarga libre es: $L \frac{d^2 q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q = 0 \implies \frac{d^2 q}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{dq}{dt} + \frac{1}{L C} q = 0$ Comparando coeficientes término a término: $\frac{R}{L} = \frac{2}{\tau} \implies \tau = \frac{2 L}{R}$ $\frac{1}{L C} = \omega^2 + \frac{1}{\tau^2} = \omega^2 + \left(\frac{R}{2 L}\right)^2 = \omega_0^2$ La frecuencia observada es $\omega = \sqrt{\frac{1}{L C} - \left(\frac{R}{2 L}\right)^2}$, lo que demuestra que se trata de un circuito $RLC$ en régimen subamortiguado.

Errores comunes: Ecuaciones Diferenciales

Error 1: Confundir el orden con el grado de la ecuación

Un error recurrente consiste en denominar como "segundo orden" a una ecuación como $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y = 0$.

• Causa: Confundir el exponente de la derivada con el número de veces que se ha derivado la función incógnita.
• Corrección: El orden es el rango de la derivada más alta (aquí es de primer orden, porque solo aparece la primera derivada $y'$). El grado es el exponente algebraico al que está elevada dicha derivada (en este caso es de grado 2).

Error 2: Añadir la constante de integración como un sumando exterior al final

En ecuaciones no lineales o al resolver mediante factor integrante, añadir "$+C$" al final de una expresión despejada en lugar de introducirlo en el paso exacto de la cuadratura.

• Ejemplo erróneo: Escribir $\frac{dy}{dx} = 2 x y \implies \ln y = x^2 \implies y = e^{x^2} + C$.
• Forma correcta: $\int \frac{dy}{y} = \int 2x\,dx \implies \ln |y| = x^2 + C_1 \implies y(x) = e^{x^2 + C_1} = C e^{x^2}$.
• Consecuencia: Añadir la constante al final produce una función que no satisface la ecuación diferencial en absoluto.

Error 3: Asumir que la superposición lineal es válida para ecuaciones no lineales

Sumar dos soluciones conocidas $y_1$ e $y_2$ para formar una solución general $y = c_1 y_1 + c_2 y_2$ en ecuaciones donde intervienen términos como $y^2$, $y y'$ o $\sin(y)$.

• Corrección: El principio de superposición es exclusivo de operadores lineales donde $L[c_1 y_1 + c_2 y_2] = c_1 L[y_1] + c_2 L[y_2]$. Para el péndulo no lineal $\ddot{\theta} + \frac{g}{L} \sin\theta = 0$, la suma de soluciones no es solución.

Error 4: Omitir la pérdida de soluciones singulares al dividir por funciones de $y$

Al separar variables en $\frac{dy}{dx} = f(x) g(y)$, dividir formalmente por $g(y)$ sin verificar si existen valores $y = y^*$ tales que $g(y^*) = 0$.

• Consecuencia: Estas raíces constantes representan soluciones de equilibrio (o soluciones singulares) que quedan excluidas de la familia integral al dividir por cero. Por ejemplo, en $y' = y^{2/3}$, la recta $y(x) = 0$ es solución pero se pierde si se divide alegremente.

Error 5: No verificar las dimensiones de los coeficientes y las constantes

Asumir que las constantes de integración son números puros adimensionales.

• Corrección: Si $x(t)$ mide metros y $t$ segundos, en $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$, la constante $\omega_0$ debe tener unidades de $\text{s}^{-1}$ (radianes por segundo), $C_1$ y $C_2$ en $x(t) = C_1 \cos(\omega_0 t) + C_2 \sin(\omega_0 t)$ deben tener unidades de metros. Olvidar esto invalida la comprobación dimensional.

Regla rápida de control

Para saber si tu solución general $y(x)$ es matemáticamente correcta: derívala tantas veces como indique el orden de la ecuación y sustitúyela en la EDO original. Si tras simplificar no obtienes una identidad idénticamente nula $0 = 0$, la solución contiene un error algebraico.

Aplicaciones físicas: Ecuaciones Diferenciales

1. Dinámica clásica y gravitación celeste

La formulación de la mecánica de Newton se basa íntegramente en ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Para una partícula en un campo gravitatorio central: $m \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2} = -\frac{G M m}{r^3} \mathbf{r}$ La resolución de este sistema diferencial en coordenadas polares conduce a la ecuación de Binet: $\frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = \frac{G M}{h^2}, \quad u = \frac{1}{r}$ cuya solución general describe exactamente las cónicas de Kepler (elipses, parábolas e hipérbolas), prediciendo la órbita de planetas, cometas y satélites artificiales.

2. Electrodinámica y teoría de circuitos (Leyes de Kirchhoff)

Los circuitos eléctricos pasivos que contienen resistores ($R$), inductores ($L$) y condensadores ($C$) se modelan mediante EDOs lineales derivadas de la ley de mallas de Kirchhoff: $L \frac{d^2 q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q = V(t)$ donde la carga $q(t)$ y la corriente $i(t) = \frac{dq}{dt}$ determinan la respuesta en frecuencia de filtros sintonizadores, antenas de radiofrecuencia y redes de distribución eléctrica de potencia.

3. Cinética química y reacciones en cadena

En sistemas reactivos, la velocidad de formación y desaparición de especies químicas depende de las concentraciones instantáneas según la ley de acción de masas: $\frac{d[A]}{dt} = -k_1 [A][B] + k_{-1}[C]$ En bioquímica, la cinética enzimática de Michaelis-Menten y los modelos de Turing para morfogénesis biológica se articulan como sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales acopladas.

4. Termodinámica de transporte y difusión

La conducción de calor unidimensional transitoria en una barra sólida se describe mediante la ecuación diferencial en derivadas parciales del calor de Fourier: $\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$ donde $\alpha = \frac{k}{\rho c_p}$ es la difusividad térmica. Su resolución determina los perfiles de temperatura en procesos de templado metalúrgico, aislamiento en edificios y disipación de calor en microprocesadores.

5. Mecánica cuántica y la ecuación de Schrödinger

El comportamiento ondulatorio de la materia a escala subatómica está regido por la ecuación diferencial en derivadas parciales fundamental de Schrödinger: $i\hbar \frac{\partial \Psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r})\right) \Psi(\mathbf{r}, t)$ Al separar la variable temporal para potenciales estacionarios, se reduce a una ecuación diferencial ordinaria o parcial de autovalores $H \psi_n = E_n \psi_n$, cuya cuantización impone que los electrones en átomos solo puedan ocupar orbitales y niveles de energía discretos.

Conexión interdisciplinar

Las ecuaciones diferenciales constituyen el lenguaje universal de los sistemas dinámicos: desde la propagación de epidemias en modelos epidemiológicos SIR y la dinámica de poblaciones presa-depredador de Lotka-Volterra en ecología, hasta la fijación de precios de opciones financieras con el modelo estocástico de Black-Scholes en economía cuantitativa.

Práctica guiada: Ecuaciones Diferenciales

Ejercicio 1: Desintegración radiactiva y datación por Carbono-14

Una muestra de madera fósil contiene el $25\%$ del nivel inicial de Carbono-14 ($^{14}\text{C}$) presente en organismos vivos. La tasa de desintegración nuclear es directamente proporcional a la cantidad de núcleos radiactivos presentes: $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$, con período de semidesintegración $t_{1/2} = 5730\,\text{años}$.

1. Resuelve la ecuación diferencial por separación de variables sujeta a la condición $N(0) = N_0$.
2. Calcula la constante de desintegración $\lambda$.
3. Determina la antigüedad del fósil.

Solución

1. Separando variables: $\frac{dN}{N} = -\lambda dt \implies \ln N = -\lambda t + C_1 \implies N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$
2. Usando la semivida $N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$: $\frac{1}{2} = e^{-\lambda t_{1/2}} \implies \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.69315}{5730} \approx 1.2097 \times 10^{-4}\,\text{año}^{-1}$
3. Con $N(t) = 0.25 N_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 N_0$: $0.25 = e^{-\lambda t} \implies t = \frac{-\ln(0.25)}{\lambda} = \frac{2 \ln 2}{\lambda} = 2 t_{1/2} = 11460\,\text{años}$

Ejercicio 2: Enfriamiento de un reactor según la ley de Newton

Un sensor térmico en un reactor industrial marca $T(0) = 100^\circ\text{C}$ en un recinto mantenido a temperatura ambiente constante $T_{\text{amb}} = 20^\circ\text{C}$. Tras $10\,\text{minutos}$, el sensor marca $60^\circ\text{C}$.

1. Plantea y resuelve la ecuación diferencial del enfriamiento $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{amb}})$.
2. Determina el valor numérico de la constante de disipación térmica $k$ en $\text{min}^{-1}$.
3. ¿Cuánto tiempo adicional tardará en alcanzar los $25^\circ\text{C}$?

Solución

1. Haciendo el cambio $\theta = T - T_{\text{amb}}$: $\frac{d\theta}{dt} = -k\theta \implies \theta(t) = \theta(0) e^{-k t} \implies T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}}) e^{-k t}$ Con $T_0 = 100^\circ\text{C}$ y $T_{\text{amb}} = 20^\circ\text{C}$: $T(t) = 20 + 80 e^{-k t}$
2. En $t = 10\,\text{min}$, $T(10) = 60^\circ\text{C}$: $60 = 20 + 80 e^{-10 k} \implies 40 = 80 e^{-10 k} \implies e^{-10 k} = 0.5$ $k = \frac{\ln 2}{10} \approx 0.06931\,\text{min}^{-1}$
3. Para $T(t) = 25^\circ\text{C}$: $25 = 20 + 80 e^{-k t} \implies 5 = 80 e^{-k t} \implies e^{-k t} = \frac{1}{16} = 2^{-4}$ $k t = 4 \ln 2 \implies t = \frac{4 \ln 2}{k} = 40\,\text{minutos}$ El tiempo adicional respecto del instante de los 10 minutos es $40 - 10 = 30\,\text{minutos}$.

Ejercicio 3: Ley de Torricelli para el vaciado de un tanque

Un depósito cilíndrico de sección transversal constante $A_c = 1.5\,\text{m}^2$ contiene agua hasta una altura inicial $h_0 = 4\,\text{m}$. En la base dispone de un orificio circular de área $A_o = 0.01\,\text{m}^2$. Según el principio de Torricelli, la velocidad de salida es $v = \sqrt{2 g h}$ ($g = 9.8\,\text{m}/\text{s}^2$).

1. Deduce la ecuación diferencial que gobierna la altura del líquido $h(t)$.
2. Resuelve la ecuación para obtener la función $h(t)$.
3. Calcula el tiempo exacto que tarda en vaciarse por completo el depósito.

Solución

1. Por conservación de masa (caudal de pérdida = variación de volumen): $A_c \frac{dh}{dt} = -A_o \sqrt{2 g h} \implies \frac{dh}{dt} = -\frac{A_o}{A_c} \sqrt{2 g} \sqrt{h}$
2. Separando variables: $\frac{dh}{\sqrt{h}} = -\alpha dt, \quad \alpha = \frac{A_o}{A_c} \sqrt{2 g} = \frac{0.01}{1.5} \sqrt{19.6} \approx 0.02951\,\text{s}^{-1}$ Integrando desde $h_0$ hasta $h$: $2\sqrt{h} - 2\sqrt{h_0} = -\alpha t \implies \sqrt{h(t)} = \sqrt{h_0} - \frac{\alpha}{2} t$ $h(t) = \left(\sqrt{h_0} - \frac{A_o \sqrt{2 g}}{2 A_c} t\right)^2$
3. El tanque se vacía cuando $h(t_{\text{vac}}) = 0$: $t_{\text{vac}} = \frac{2 \sqrt{h_0}}{\alpha} = \frac{2 A_c \sqrt{h_0}}{A_o \sqrt{2 g}} = \frac{2 \times 1.5 \times \sqrt{4}}{0.01 \times \sqrt{19.6}} = \frac{6}{0.04427} \approx 135.5\,\text{segundos} \approx 2.26\,\text{minutos}$