Ecuaciones de primer orden

Métodos analíticos de variables separables, factores integrantes y ecuaciones lineales de primer orden.

Qué es

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una relación que vincula la variable independiente $x$, la función incógnita $y(x)$ y su primera derivada $y'(x)$: $F(x, y, y') = 0 \quad \implies \quad \frac{dy}{dx} = f(x, y)$ Dependiendo de la estructura algebraica de la función $f(x, y)$, se clasifican en varias familias resolubles analíticamente:

1. Separables: La derivada se factoriza como producto de una función exclusiva de $x$ y otra exclusiva de $y$: $\frac{dy}{dx} = g(x) h(y) \implies \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx + C$
2. Lineales de primer orden: La incógnita $y$ y su derivada aparecen linealmente: $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$ Se resuelven multiplicando por el factor integrante canónico $\mu(x) = \exp\left(\int P(x)\,dx\right)$.
3. Exactas: La expresión diferencial $M(x, y)\,dx + N(x, y)\,dy = 0$ es el diferencial total de una función potencial escalar $\Phi(x, y)$: $d\Phi = \frac{\partial \Phi}{\partial x}\,dx + \frac{\partial \Phi}{\partial y}\,dy = 0 \iff \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ Su solución implícita son las curvas de nivel $\Phi(x, y) = C$.
4. Homogéneas de grado cero: La función satisface $f(\lambda x, \lambda y) = f(x, y)$, reducible a variables separables mediante la sustitución $u = \frac{y}{x}$.
5. Ecuaciones de Bernoulli: Ecuaciones no lineales de la forma $y' + P(x) y = Q(x) y^n$ ($n \neq 0, 1$), transformables en lineales exactas mediante el cambio de variable $u = y^{1-n}$.

Por qué aparece en física

Cualquier proceso físico donde la velocidad de acumulación o disipación de una magnitud depende únicamente del nivel instantáneo de dicha magnitud se rige por una EDO de primer orden:

• Carga y descarga de condensadores (Circuito RC): Por la ley de mallas de Kirchhoff, $R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q = V(t)$.
• Inductancia y resistencia (Circuito RL): $L \frac{di}{dt} + R i = V(t)$.
• Ley de enfriamiento convectivo de Newton: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{amb}})$.
• Velocidad terminal con rozamiento viscoso: $m \frac{dv}{dt} = m g - \gamma v$.
• Absorción radiativa (Ley de Beer-Lambert): La intensidad lumínica decae con el espesor del medio: $\frac{dI}{dx} = -\mu(\lambda) I$.

Idea visual o geométrica

Una EDO de primer orden define un campo vectorial tangencial o campo de pendientes en cada punto $(x, y)$ del plano: $\mathbf{v}(x, y) = \begin{pmatrix} 1 \\ f(x, y) \end{pmatrix}$ El teorema de existencia y unicidad garantiza que, excepto en puntos singulares donde $f$ o sus derivadas divergen, por cada punto del plano pasa exactamente una curva integral. Las curvas integrales no pueden cortarse ni cruzarse en el plano $(x, y)$, comportándose de manera idéntica a las líneas de corriente estacionarias de un fluido bidimensional incompresible.

Lenguaje simbólico mínimo

• Forma diferencial de Pfaff: $\omega = M(x, y)\,dx + N(x, y)\,dy = 0$
• Condición de integrabilidad (criterio de Schwarz / ecuación exacta): $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$
• Factor integrante de Euler: Si la ecuación no es exacta, una función $\mu(x, y)$ tal que $(\mu M)\,dx + (\mu N)\,dy = 0$ sea exacta satisface: $M \frac{\partial \mu}{\partial y} - N \frac{\partial \mu}{\partial x} = \mu \left(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\right)$
• Solución general explícita para la lineal de primer orden: $y(x) = \frac{1}{\mu(x)} \left[\int \mu(x) Q(x)\,dx + C\right], \quad \mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$

Qué significa el resultado

1. Respuesta transitoria frente a régimen permanente: En sistemas físicos estables con $P(x) = a > 0$, la solución se descompone en un transitorio que decae exponencialmente a cero ($C e^{-a t} \to 0$) y una respuesta en régimen permanente forzada por el término fuente $Q(t)$.
2. Constante de tiempo $\tau$: En sistemas de primer orden, $\tau = \frac{1}{P}$ fija la escala temporal intrínseca del sistema: en $t = \tau$, el sistema alcanza el $63.2\%$ de su valor final; en $t = 5\tau$, se considera estabilizado ($99.3\%$).
3. Foliación regular: La constante $C$ parametriza una familia uniparamétrica de curvas que llena suavemente el espacio de configuración.

Cuándo no debes usarlo

• Sistemas con inercia y oscilaciones no amortiguadas: Las EDOs de primer orden escalares son monótonas en el plano de fases autónomo; no pueden oscilar ni admitir órbitas periódicas cerradas sin un término forzador externo periódico explícito. Los fenómenos oscilatorios libres requieren como mínimo orden dos.
• División por cero en equilibrios estáticos: Al separar $\frac{dy}{h(y)} = g(x) dx$, omitir las raíces $h(y) = 0$ ignora estados de equilibrio permanente (soluciones singulares o asintóticas).
• Tratamiento lineal de ecuaciones de Bernoulli o Riccati: Intentar aplicar factor integrante lineal sin haber linealizado primero la no linealidad mediante la transformación correspondiente.

Resumen operativo

1. Lleva la ecuación a forma canónica: $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ o $M\,dx + N\,dy = 0$.
2. Comprueba separabilidad: ¿Es $f(x, y) = g(x) h(y)$? Si sí, separa e integra.
3. Comprueba linealidad: ¿Aparece como $y' + P(x) y = Q(x)$? Si sí, calcula $\mu(x) = e^{\int P\,dx}$ e integra.
4. Comprueba exactitud: ¿Cumple $\partial_y M = \partial_x N$? Si sí, calcula el potencial $\Phi(x, y) = \int M\,dx + h(y)$.
5. Si no es exacta, busca un factor integrante dependiente solo de $x$ o solo de $y$.
6. Si tiene forma $y' + P y = Q y^n$, linealiza con $u = y^{1-n}$.

Procedimiento: Resolución Sistemática de EDOs de Primer Orden

Antes de calcular

1. Aísla la derivada: Reescribe la ecuación despejando $\frac{dy}{dx}$ o en forma diferencial simétrica $M(x, y)\,dx + N(x, y)\,dy = 0$.
2. Verifica el grado de la derivada: Asegúrate de que no haya términos como $(y')^2$ o $\sqrt{y'}$.
3. Inspecciona las raíces del denominador: Si vas a dividir por alguna función de $y$, identifica de antemano los valores que anulan el denominador (posibles soluciones de equilibrio).

Paso 1: identifica el objeto matemático

Clasifica la ecuación según su árbol de decisión:

• ¿Es separable? $\frac{dy}{dx} = g(x) h(y)$.
• ¿Es lineal? $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$.
• ¿Es exacta? $M\,dx + N\,dy = 0$ con $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$.
• ¿Es homogénea? $M(\lambda x, \lambda y) = \lambda^k M(x, y)$ y $N(\lambda x, \lambda y) = \lambda^k N(x, y)$.
• ¿Es Bernoulli? $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^n$.

Paso 2: elige la operación

• Si es separable: Reordena: $\frac{dy}{h(y)} = g(x)\,dx$ y aplica cuadraturas directas: $\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx + C$.
• Si es lineal:
  1. Calcula el factor integrante: $\mu(x) = \exp\left(\int P(x)\,dx\right)$. (No agregues $+C$ aquí).
  2. Multiplica toda la ecuación por $\mu(x)$, condensando el miembro izquierdo en $\frac{d}{dx}[\mu(x) y]$.
  3. Integra ambos lados: $\mu(x) y(x) = \int \mu(x) Q(x)\,dx + C$.
  4. Despeja $y(x) = \frac{1}{\mu(x)}\int \mu(x) Q(x)\,dx + \frac{C}{\mu(x)}$.
• Si es exacta:
  1. Integra $M$ respecto de $x$: $\Phi(x, y) = \int M(x, y)\,dx + g(y)$.
  2. Deriva respecto de $y$ e iguala a $N$: $\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\int M\,dx\right) + g'(y) = N(x, y)$.
  3. Despeja e integra $g'(y)$ para hallar $g(y)$.
  4. Escribe la solución implícita: $\Phi(x, y) = C$.
• Si es Bernoulli ($y' + P y = Q y^n$):
  1. Divide por $y^n$: $y^{-n} y' + P y^{1-n} = Q$.
  2. Haz el cambio $u = y^{1-n} \implies u' = (1-n) y^{-n} y'$.
  3. Sustituye para obtener la lineal: $\frac{1}{1-n} u' + P(x) u = Q(x)$.

Paso 3: conserva unidades y signos

• En el cálculo de $\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$, el argumento de la exponencial debe ser estrictamente adimensional. Si $x$ mide segundos, $P(x)$ debe tener unidades de $\text{s}^{-1}$.
• En circuitos eléctricos, no confundas el signo de la caída de potencial en el resistor: $V_R = R i = R \frac{dq}{dt}$ con la fem aplicada.

Paso 4: calcula

1. Resuelve las primitivas resultantes con técnicas estándar (partes, fracciones simples, sustitución trigonométrica).
2. Asegúrate de incluir la constante $+C$ inmediatamente tras la integración indefinida.

Paso 5: interpreta el resultado

1. Si te dieron un dato inicial $y(x_0) = y_0$, sustitúyelo y calcula el valor numérico de $C$.
2. Evalúa las soluciones de equilibrio estacionarias: si $\frac{dy}{dx} = 0$, comprueba si la solución particular tiende asintóticamente hacia dicho equilibrio.
3. Si la ecuación procedía de un modelo físico (ej. desintegración nuclear, circuito eléctrico), verifica que para $t \to \infty$ el comportamiento físico sea estable y acotado.

Checklist de autocontrol

• ¿He verificado si la ecuación era exacta calculando $\partial_y M$ y $\partial_x N$?
• ¿He incluido la constante de integración $+C$ antes de despejar la variable dependiente $y$?
• ¿He comprobado si existen soluciones singulares asociadas a $h(y) = 0$?
• ¿Es adimensional el exponente del factor integrante?
• ¿He derivado la función obtenida para comprobar que satisface la ecuación original?

Ejemplos resueltos: Ecuaciones de Primer Orden

Ejemplo guiado paso a paso

Problema

Un circuito eléctrico en serie consta de una resistencia $R = 50\,\Omega$, una autoinducción $L = 2.5\,\text{H}$ y una fuente de tensión continua $V_0 = 100\,\text{V}$. En el instante inicial $t = 0$, se cierra el interruptor con corriente inicial nula: $i(0) = 0\,\text{A}$.

1. Plantea la ecuación diferencial para la corriente $i(t)$.
2. Resuelve la ecuación mediante factor integrante.
3. Determina la constante de tiempo $\tau$, la corriente en régimen permanente $i_\infty$ y el tiempo necesario para alcanzar el $90\%$ de dicha corriente.

Solución detallada

Paso 1: Formulación de la ecuación diferencial Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla cerrada: $L \frac{di}{dt} + R i = V_0 \implies \frac{di}{dt} + \frac{R}{L} i = \frac{V_0}{L}$ Sustituyendo los valores numéricos: $\frac{di}{dt} + \frac{50}{2.5} i = \frac{100}{2.5} \implies \frac{di}{dt} + 20 i = 40$ Es una EDO lineal de primer orden no homogénea con $P(t) = 20\,\text{s}^{-1}$ y $Q(t) = 40\,\text{A}/\text{s}$.

Paso 2: Resolución por factor integrante El factor integrante es: $\mu(t) = \exp\left(\int 20\,dt\right) = e^{20 t}$ Multiplicando la ecuación por $\mu(t)$: $e^{20 t} \frac{di}{dt} + 20 e^{20 t} i = 40 e^{20 t} \implies \frac{d}{dt}\left(i(t) e^{20 t}\right) = 40 e^{20 t}$ Integrando ambos miembros respecto del tiempo: $i(t) e^{20 t} = \int 40 e^{20 t}\,dt = \frac{40}{20} e^{20 t} + C = 2 e^{20 t} + C$ Despejamos la corriente $i(t)$: $i(t) = 2 + C e^{-20 t}$

Paso 3: Imposición de la condición inicial En $t = 0$, $i(0) = 0$: $0 = 2 + C e^0 = 2 + C \implies C = -2\,\text{A}$ La solución particular del problema es: $i(t) = 2\left(1 - e^{-20 t}\right)\,\text{A}$

Paso 4: Análisis físico de parámetros

• Corriente de régimen permanente: Cuando $t \to \infty$, $e^{-20 t} \to 0$: $i_\infty = 2\,\text{A} = \frac{V_0}{R} = \frac{100}{50} = 2\,\text{A}$
• Constante de tiempo inductiva $\tau$: $\tau = \frac{L}{R} = \frac{2.5}{50} = 0.05\,\text{s} = 50\,\text{ms}$ (Nótese que el coeficiente de la exponencial es $1/\tau = 20\,\text{s}^{-1}$).
• Tiempo para alcanzar el $90\%$ de $i_\infty$ ($i = 0.9 \times 2 = 1.8\,\text{A}$): $1.8 = 2(1 - e^{-20 t}) \implies 0.9 = 1 - e^{-20 t} \implies e^{-20 t} = 0.1$ $-20 t = \ln(0.1) = -\ln(10) \implies t = \frac{\ln 10}{20} = \frac{2.3026}{20} \approx 0.1151\,\text{s} = 115.1\,\text{ms} \approx 2.3 \tau$

Ejemplo inverso

Problema

En un experimento de sedimentación coloidal, se determina que la concentración de partículas $C(x)$ en función de la profundidad $x$ (con $x \ge 0$) sigue la ley: $C(x) = \frac{C_0}{1 + k x C_0}$ donde $C_0$ es la concentración en la superficie libre $x = 0$ y $k > 0$ es un coeficiente de aglomeración. Demuestra que esta función satisface una ecuación diferencial no lineal de primer orden de tipo Bernoulli o de variables separables y formula dicha ecuación diferencial.

Solución detallada

Paso 1: Derivación de la función dada Derivamos $C(x)$ respecto de $x$: $\frac{dC}{dx} = \frac{d}{dx}\left(C_0(1 + k x C_0)^{-1}\right) = -C_0(1 + k x C_0)^{-2} \cdot (k C_0) = -k C_0^2 (1 + k x C_0)^{-2}$

Paso 2: Expresión en términos de la propia función $C(x)$ Observamos que: $C(x) = \frac{C_0}{1 + k x C_0} \implies C^2(x) = \frac{C_0^2}{(1 + k x C_0)^2}$ Sustituyendo esta relación en la derivada: $\frac{dC}{dx} = -k \left(\frac{C_0^2}{(1 + k x C_0)^2}\right) = -k C^2$

Paso 3: Identificación y conclusión La ecuación diferencial que rige este proceso es: $\frac{dC}{dx} + k C^2 = 0$ Esta es una EDO de primer orden autónoma, separable y también de Bernoulli con $n = 2$, característica de cinéticas de coagulación y recombinación bimolecular de segundo orden.

Errores comunes: Ecuaciones de Primer Orden

Error 1: Olvidar normalizar la ecuación antes de identificar $P(x)$

Al aplicar el factor integrante en $a(x) y' + b(x) y = c(x)$, tomar erróneamente $P(x) = b(x)$ sin haber dividido antes toda la ecuación por $a(x)$.

• Corrección: La forma canónica exige coeficiente 1 delante de $y'$: $y' + \frac{b(x)}{a(x)} y = \frac{c(x)}{a(x)} \implies P(x) = \frac{b(x)}{a(x)}$

Error 2: Dejar la constante de integración fuera del paréntesis al multiplicar por $\mu(x)^{-1}$

Al resolver $y(x) = \frac{1}{\mu(x)} \left[\int \mu(x) Q(x)\,dx + C\right]$, escribir erróneamente $y(x) = \frac{\int \mu Q\,dx}{\mu(x)} + C$.

• Consecuencia: La constante $+C$ DEBE quedar multiplicada por $e^{-\int P\,dx}$. Si se deja como sumando libre independiente, no satisface la ecuación homogénea asociada.

Error 3: Comprobar la exactitud cruzando derivadas de forma invertida

En $M\,dx + N\,dy = 0$, calcular $\frac{\partial M}{\partial x}$ y $\frac{\partial N}{\partial y}$ en lugar de las derivadas cruzadas $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $\frac{\partial N}{\partial x}$.

• Criterio nemotécnico: Como $M$ multiplica a $dx$, su derivada cruzada es con respecto a la otra variable: $\partial_y M$.

Error 4: Perder ramas singulares en ecuaciones separables

En $\frac{dy}{dx} = y(1 - y)$, dividir alegremente entre $y(1 - y)$ para integrar, olvidando que $y(x) = 0$ y $y(x) = 1$ son soluciones válidas de equilibrio para todo $x$.

Error 5: Olvidar cambiar la derivada al hacer sustituciones no lineales (Bernoulli)

En Bernoulli $y' + P y = Q y^n$, hacer el cambio $u = y^{1-n}$ pero sustituir $y'$ directamente por $u'$ sin aplicar la regla de la cadena: $u' = (1-n) y^{-n} y' \implies y^{-n} y' = \frac{u'}{1-n}$

Regla rápida de control

Para comprobar tu factor integrante $\mu(x)$: calcula la derivada del producto $\frac{d}{dx}(\mu(x) y) = \mu y' + \mu' y$. Debe ser idéntica término a término a $\mu(x)(y' + P(x) y)$. Si no coincide, $\mu(x)$ está mal integrado.

Aplicaciones físicas: Ecuaciones de Primer Orden

1. Circuitos de temporización y filtros RC en electrónica

El tiempo de carga y descarga de un condensador a través de una resistencia rige el funcionamiento de osciladores de relajación (como el integrado 555), filtros paso-bajo pasivos y disparadores de Schmitt: $\frac{dV_C}{dt} + \frac{1}{R C} V_C = \frac{V_{\text{in}}(t)}{R C}$ La frecuencia de corte a $-3\,\text{dB}$ es $f_c = \frac{1}{2\pi R C}$, atenuando el ruido electromagnético de alta frecuencia en fuentes de alimentación y líneas de sensores analógicos.

2. Termometría y respuesta transitoria de sensores

Un termopar o sensor RTD sumergido en un fluido caliente no mide la temperatura real del fluido de forma instantánea, sino que responde según: $\frac{dT_{\text{sensor}}}{dt} + \frac{h A}{m c_p} T_{\text{sensor}} = \frac{h A}{m c_p} T_{\text{fluido}}(t)$ donde $\tau = \frac{m c_p}{h A}$ es la constante de retardo térmico del sensor. En control de turbinas aeronáuticas, calibrar esta EDO es crítico para evitar lecturas falsas durante aceleraciones bruscas.

3. Dinámica de sedimentación y centrifugación biológica

La velocidad de decantación de macromoléculas y orgánulos celulares en un gradiente de densidad en ultracentrífugas se modela mediante: $m \frac{dv}{dt} = m \omega^2 r \left(1 - \frac{\rho_{\text{fluido}}}{\rho_{\text{particula}}}\right) - 6 \pi \eta R_h v$ Al alcanzar rápidamente el equilibrio de primer orden ($\frac{dv}{dt} \approx 0$), la velocidad de sedimentación es proporcional al coeficiente de Svedberg ($S$), permitiendo separar ADN, ARN y complejos ribosomales por masa molecular.

4. Farmacocinética y aclaramiento de fármacos en sangre

La concentración plasmática de un fármaco administrado por infusión intravenosa continua a tasa constante $R_0$ con eliminación renal proporcional a la concentración se rige por el modelo de un compartimento: $V_d \frac{dC}{dt} = R_0 - k_e V_d C \implies \frac{dC}{dt} + k_e C = \frac{R_0}{V_d}$ donde $V_d$ es el volumen de distribución y $k_e$ la constante de eliminación. La resolución de esta ecuación permite a los médicos calcular la dosis de carga y la dosis de mantenimiento para mantener al paciente en la ventana terapéutica segura.

5. Atenuación radiativa y ley de Lambert-Beer en astrofísica

La transferencia de radiación a través de una atmósfera estelar o medio interestelar absorbente sin emisión espontánea obedece a: $\frac{dI_\nu}{ds} = -\kappa_\nu \rho I_\nu$ donde $\kappa_\nu$ es la opacidad espectral y $\rho$ la densidad de masa. Su integración directa $I_\nu(s) = I_{\nu, 0} e^{-\tau_\nu}$ define la profundidad óptica $\tau_\nu = \int \kappa_\nu \rho\,ds$, herramienta básica para medir abundancias elementales en espectros de estrellas y exoplanetas.

Conexión interdisciplinar

Las EDOs de primer orden son la piedra angular de los modelos de mezcla en ingeniería química (reactores continuos de tanque agitado CSTR), la propagación de rumores e información en redes sociales complejas y las curvas de aprendizaje y fatiga en psicología experimental y ciencias del deporte.

Práctica guiada: Ecuaciones de Primer Orden

Ejercicio 1: Caída libre con resistencia aerodinámica cuadrática

Un paracaidista de masa $m = 80\,\text{kg}$ en caída libre experimenta la gravedad ($g = 9.8\,\text{m}/\text{s}^2$) y una resistencia aerodinámica proporcional al cuadrado de la velocidad: $F_d = -c v^2$, con $c = 0.2\,\text{kg}/\text{m}$.

1. Escribe la ecuación diferencial separable para $v(t)$ partiendo del reposo $v(0) = 0$.
2. Calcula la velocidad terminal $v_L$.
3. Resuelve analíticamente la velocidad $v(t)$ mediante separación de variables.

Solución

1. Ecuación dinámica: $m \frac{dv}{dt} = m g - c v^2 \implies \frac{dv}{dt} = g - \frac{c}{m} v^2 = \frac{c}{m}(v_L^2 - v^2)$
2. Velocidad terminal ($\frac{dv}{dt} = 0$): $v_L = \sqrt{\frac{m g}{c}} = \sqrt{\frac{80 \times 9.8}{0.2}} = \sqrt{3920} \approx 62.61\,\text{m}/\text{s} \approx 225.4\,\text{km}/\text{h}$
3. Separación de variables: $\frac{dv}{v_L^2 - v^2} = \frac{c}{m} dt$ Descomponiendo en fracciones simples $\frac{1}{v_L^2 - v^2} = \frac{1}{2 v_L}\left(\frac{1}{v_L - v} + \frac{1}{v_L + v}\right)$: $\frac{1}{2 v_L} \ln\left|\frac{v_L + v}{v_L - v}\right| = \frac{c}{m} t + C_1$ Con $v(0) = 0$, $C_1 = 0$: $\frac{v_L + v}{v_L - v} = e^{2 (c v_L / m) t}$ Despejando $v(t)$ usando la definición de tangente hiperbólica: $v(t) = v_L \tanh\left(\frac{g}{v_L} t\right) = 62.61 \tanh(0.1565 t)\,\text{m}/\text{s}$

Ejercicio 2: Carga de un condensador con fuente de corriente variable (EDO lineal)

Un circuito $RC$ con $R = 1000\,\Omega$ y $C = 10\,\mu\text{F} = 10^{-5}\,\text{F}$ se alimenta con un voltaje que crece linealmente en el tiempo: $V(t) = 10 t\,\text{V}$. Sabiendo que inicialmente el condensador está descargado $q(0) = 0\,\text{C}$:

1. Formula la EDO lineal para la carga $q(t)$.
2. Calcula el factor integrante $\mu(t)$.
3. Halla la expresión analítica exacta de $q(t)$.

Solución

1. Ecuación de mallas: $R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q = V(t) \implies \frac{dq}{dt} + \frac{1}{R C} q = \frac{V(t)}{R}$ Calculamos $\frac{1}{R C} = \frac{1}{1000 \times 10^{-5}} = 100\,\text{s}^{-1}$ y $\frac{V(t)}{R} = \frac{10 t}{1000} = 0.01 t\,\text{A}$: $\frac{dq}{dt} + 100 q = 0.01 t$
2. Factor integrante: $\mu(t) = \exp\left(\int 100\,dt\right) = e^{100 t}$
3. Multiplicando e integrando por partes: $q(t) e^{100 t} = 0.01 \int t e^{100 t}\,dt = 0.01 \left[\frac{t e^{100 t}}{100} - \frac{e^{100 t}}{10000}\right] + K$ $q(t) = 10^{-4} t - 10^{-6} + K e^{-100 t}$ Con $q(0) = 0$: $0 = -10^{-6} + K \implies K = 10^{-6}\,\text{C}$ $q(t) = 10^{-4} t - 10^{-6}\left(1 - e^{-100 t}\right)\,\text{C}$

Ejercicio 3: Ecuación diferencial exacta en termodinámica

Se considera la forma diferencial del trabajo y la energía en un gas real modelado por: $\left(2 x y + \cos x\right) dx + \left(x^2 + 3 y^2\right) dy = 0$

1. Demuestra analíticamente que la ecuación diferencial es exacta.
2. Encuentra la función potencial escalar $\Phi(x, y)$ que satisface $d\Phi = 0$.
3. Determina la curva integral que pasa por el punto $(0, 2)$.

Solución

1. Comprobación del criterio de Euler-Schwarz: $M(x, y) = 2 x y + \cos x \implies \frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$ $N(x, y) = x^2 + 3 y^2 \implies \frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$ Como $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$, la ecuación es exacta.
2. Integración de la función potencial: $\Phi(x, y) = \int M(x, y)\,dx + h(y) = \int (2 x y + \cos x)\,dx + h(y) = x^2 y + \sin x + h(y)$ Derivando respecto de $y$ e igualando a $N(x, y)$: $\frac{\partial \Phi}{\partial y} = x^2 + h'(y) = x^2 + 3 y^2 \implies h'(y) = 3 y^2 \implies h(y) = y^3$ Por tanto, la función potencial es: $\Phi(x, y) = x^2 y + \sin x + y^3 = C$
3. Imponiendo el paso por $(0, 2)$: $\Phi(0, 2) = 0^2(2) + \sin(0) + 2^3 = 8 \implies C = 8$ La curva integral solución es la curva implícita: $x^2 y + \sin x + y^3 = 8$