Señales periódicas y superposición

Principio de superposición lineal, interferencia constructiva y destructiva y síntesis de formas de onda.

Que es

Una señal periódica es una función temporal o espacial $f(t)$ que satisface la condición de invariancia traslacional $f(t + T) = f(t)$ para todo instante $t$, donde $T > 0$ es el periodo fundamental del fenómeno y $f_0 = 1/T$ representa su frecuencia fundamental en hercios (con frecuencia angular $\omega_0 = 2\pi/T$).

El principio de superposición lineal establece que si dos o más ondas o señales $f_1(t), f_2(t), \dots, f_N(t)$ son soluciones individuales de una ecuación diferencial lineal y homogénea que describe un medio físico, cualquier combinación lineal $f(t) = \sum_{k=1}^N c_k f_k(t)$ es también una solución exacta del sistema. Este principio gobierna todos los fenómenos de interferencia, ondas estacionarias, pulsaciones (batimientos) y síntesis armónica en la física clásica y cuántica.

Por qué aparece en física

Aparece en física porque la inmensa mayoría de las ecuaciones fundamentales de propagación en regímenes lineales —como la ecuación de ondas de d'Alembert $\nabla^2 \psi - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = 0$, las ecuaciones de Maxwell en el vacío o medios lineales, y la ecuación de Schrödinger— son operadores diferenciales rigurosamente lineales respecto a los campos.

Esto permite descomponer señales arbitrariamente complejas (la voz humana, una nota de violín, pulsos de radar o sismos) en ondas sinusoidales elementales independientes, resolver el comportamiento de cada componente armónico por separado y luego recomponer la respuesta total mediante una simple suma, facilitando enormemente el análisis dinámico.

Idea visual o geométrica

Imagina dos trenes de ondas viajando en direcciones opuestas sobre una cuerda tensa. En cada punto del espacio, la altura instantánea de la cuerda no se altera por interacciones elásticas complejas, sino que es simplemente la suma algebraica de los desplazamientos individuales que cada onda produciría por separado.

Cuando dos ondas sinusoidales de frecuencias muy próximas interfieren, se visualiza una oscilación rápida confinada dentro de una envolvente o modulación que pulsa lentamente: los vientres y nodos de amplitud se suceden rítmicamente en el tiempo (batimientos). Cuando dos ondas idénticas viajan en sentidos contrarios, los puntos de interferencia destructiva constante permanecen fijos en el espacio: son los nodos de una onda estacionaria, donde la energía queda atrapada sin flujo neto propagativo.

Lenguaje simbólico mínimo

• Condición de periodicidad: $f(t + T) = f(t)$, con periodo $T$ y frecuencia $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$.
• Ecuación de onda lineal: $\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$.
• Superposición de dos armónicos iguales: $y_1 + y_2 = A \cos(kx - \omega t) + A \cos(kx + \omega t) = 2 A \cos(kx) \cos(\omega t)$ (onda estacionaria).
• Batimientos o pulsaciones: $\cos(\omega_1 t) + \cos(\omega_2 t) = 2 \cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t\right) \cos\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t\right)$.
• Frecuencia de batimiento: $f_{\text{bat}} = |f_1 - f_2| = \frac{|\omega_1 - \omega_2|}{2\pi}$.
• Velocidad de fase y de grupo: $v_p = \frac{\omega}{k}$, $v_g = \frac{d\omega}{dk}$.

Que significa el resultado

En la formación de ondas estacionarias, el factor espacial $2 A \cos(kx)$ determina la amplitud local fija en cada punto $x$. Los puntos donde $\cos(kx) = 0$ son los nodos (amplitud siempre nula), mientras que donde $\cos(kx) = \pm 1$ se ubican los vientres o antinodos (amplitud máxima $2A$). Esto explica por qué una cuerda de guitarra o un tubo sonoro resuena solo a frecuencias discretas determinadas por sus condiciones de contorno.

En los batimientos, la señal se desdobla en dos escalas temporales: una frecuencia portadora rápida $\omega_{\text{prom}} = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}$ y una modulación lenta de amplitud dada por la envolvente $2 A \left|\cos\left(\frac{\Delta\omega}{2} t\right)\right|$. Como el oído humano percibe la intensidad (que depende del cuadrado de la amplitud), la frecuencia con la que se escuchan los pulsos de volumen es exactamente el doble de la frecuencia del argumento: $\Delta f = |f_1 - f_2|$.

Cuando no debes usarlo

No debes aplicar el principio de superposición cuando la amplitud de la onda sea tan grande que excite la no linealidad del medio: ondas de choque supersónicas en fluidos, tsunamis gigantes en aguas someras, o pulsos láser ultracortos de altísima intensidad en cristales no lineales, donde la velocidad de propagación depende de la propia amplitud del campo y se generan armónicos no lineales.

Tampoco debes superponer directamente intensidades energéticas ($I_{\text{tot}} \neq I_1 + I_2$) cuando las ondas sean mutuamente coherentes: la superposición se aplica estrictamente a los campos vectoriales o escalares ($E = E_1 + E_2$), y la intensidad resultante incluye términos cruzados de interferencia ($I = |E_1 + E_2|^2 = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\Delta\phi$).

Resumen operativo

Comprueba que el medio físico sea lineal. Si las ondas son de frecuencias idénticas y viajan en la misma dirección, suma amplitudes mediante fasores. Si viajan en sentidos contrarios, genera ondas estacionarias identificando nodos ($k x = (2m+1)\pi/2$) y vientres ($k x = m\pi$). Si tienen frecuencias ligeramente distintas, factoriza mediante identidades trigonométricas de suma y producto para extraer la frecuencia portadora y la envolvente de batimiento $|f_1 - f_2|$.

Procedimiento

Antes de calcular

Verifica si el medio de propagación es lineal y homogéneo (de modo que el principio de superposición sea estrictamente aplicable).

Identifica las propiedades de las señales a combinar: amplitudes $A_k$, frecuencias angulares $\omega_k$, vectores de onda $k_k$ y sentidos de propagación ($\\pm x$).

Paso 1: identifica el objeto matemático

Clasifica el tipo de superposición que describe el sistema físico:

• Misma frecuencia y mismo sentido: interferencia constructiva/destructiva pura.
• Misma frecuencia y sentidos opuestos: onda estacionaria.
• Frecuencias ligeramente distintas ($\Delta\omega \ll \omega_0$): batimientos o pulsaciones.
• Frecuencias múltiplos enteros ($n\omega_0$): síntesis armónica de Fourier.

Paso 2: elige la operación

Si buscas ondas estacionarias, usa la identidad trigonométrica: $\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = 2 \cos\alpha \cos\beta$.

Si buscas batimientos temporales, usa: $\cos(\omega_1 t) + \cos(\omega_2 t) = 2 \cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t\right) \cos\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t\right)$.

Paso 3: conserva unidades y signos

Asegúrate de que la posición $x$ y el tiempo $t$ tengan unidades homogéneas con $k$ (rad/m) y $\omega$ (rad/s).

Recuerda que una onda que se mueve hacia $+x$ tiene argumento $(kx - \omega t)$, mientras que hacia $-x$ es $(kx + \omega t)$.

Paso 4: calcula

Suma algebraicamente las funciones de onda aplicando las identidades seleccionadas.

Para ondas estacionarias, despeja la posición de los nodos imponiendo que el factor espacial se anule: $2 A \sin(k x_n) = 0 \implies k x_n = n \pi$.

Para batimientos, calcula la frecuencia de modulación de la envolvente $f_{\text{env}} = \frac{|f_1 - f_2|}{2}$ y la frecuencia de los pulsos de intensidad acústica $f_{\text{bat}} = |f_1 - f_2|$.

Paso 5: interpreta el resultado

Analiza el comportamiento asintótico y los casos extremos: comprueba si la energía fluye o queda confinada entre nodos.

Verifica que el periodo espacial (longitud de onda) y el periodo temporal correspondan a los valores físicos reales medidos.

Checklist de autocontrol

• ¿Verificaste si las ondas viajan en el mismo sentido o en sentidos contrarios?
• ¿Separaste la frecuencia portadora rápida de la envolvente lenta en los batimientos?
• ¿Comprobaste que la distancia entre dos nodos consecutivos es exactamente media longitud de onda ($\lambda/2$)?
• ¿Tuviste en cuenta que el oído detecta la frecuencia de batimiento como $|f_1 - f_2|$ y no como la mitad?

Ejemplo guiado

Situación física

Dos diapasones emiten tonos puros en el aire con frecuencias $f_1 = 440\text{ Hz}$ (la nota La central) y $f_2 = 444\text{ Hz}$, ambos con la misma amplitud de presión acústica $P_0 = 0.5\text{ Pa}$. Se desea determinar la ecuación de la presión acústica combinada y calcular cuántas pulsaciones de volumen (batimientos) por segundo percibirá un observador.

Traducción matemática

Modelamos las dos ondas sonoras en la posición del oyente como $p_1(t) = P_0 \cos(2\pi f_1 t)$ y $p_2(t) = P_0 \cos(2\pi f_2 t)$. Aplicamos el principio de superposición lineal: $p(t) = p_1(t) + p_2(t)$.

Calculo paso a paso

1. Aplicamos la identidad trigonométrica de suma de cosenos: $p(t) = 2 P_0 \cos\left(2\pi \frac{f_1 - f_2}{2} t\right) \cos\left(2\pi \frac{f_1 + f_2}{2} t\right)$.
2. Semisuma de frecuencias (frecuencia portadora): $f_{\text{port}} = \frac{440 + 444}{2} = 442\text{ Hz}$.
3. Semidiferencia de frecuencias (frecuencia de la envolvente): $f_{\text{env}} = \frac{|440 - 444|}{2} = \frac{4}{2} = 2\text{ Hz}$.
4. Sustituyendo los valores numéricos: $p(t) = 2(0.5) \cos(2\pi \cdot 2 t) \cos(2\pi \cdot 442 t) = 1.0 \cos(4\pi t) \cos(884\pi t)\text{ Pa}$.
5. Frecuencia de batimiento perceptible: $f_{\text{bat}} = |f_1 - f_2| = |440 - 444| = 4\text{ Hz}$.

Lectura del resultado

El oyente percibe un tono musical dominante de $442\text{ Hz}$ cuyo volumen sonoro pulsa rítmicamente 4 veces por segundo ($4\text{ Hz}$). Cada segundo, la amplitud oscila entre un máximo de $1.0\text{ Pa}$ y un silencio total ($0\text{ Pa}$).

Error común evitado

Se evitó asumir que la frecuencia con la que se escuchan los aumentos de volumen es $2\text{ Hz}$ (la frecuencia del coseno modulador), recordando que tanto el pico positivo como el negativo de la envolvente generan un máximo de presión cuadrática e intensidad audible.

Ejemplo inverso

Resultado dado

Al afinar una cuerda de piano con un diapasón de $512\text{ Hz}$, un afinador profesional escucha 3 batimientos por segundo.

Que pregunta física permite responder

Permite determinar las dos frecuencias posibles a las que está vibrando la cuerda del piano: como $f_{\text{bat}} = |f_{\text{cuerda}} - f_{\text{diapasón}}| = 3\text{ Hz}$, la cuerda vibra a $512 + 3 = 515\text{ Hz}$ o a $512 - 3 = 509\text{ Hz}$. Tensando ligeramente la cuerda: si los batimientos aumentan de ritmo, la cuerda estaba en $515\text{ Hz}$; si disminuyen hacia cero, estaba en $509\text{ Hz}$.

Errores frecuentes

Error 1: confundir la frecuencia de la envolvente con la frecuencia de batimiento

Parece razonable pensar que si la envolvente matemática oscila como $\cos(\Delta\omega t / 2)$, la frecuencia con la que se escuchan los batimientos es $\Delta f / 2$. Falla porque la intensidad sonora depende del cuadrado de la amplitud; cada ciclo completo del coseno modulador produce dos pulsos de intensidad (uno en el semiciclo positivo y otro en el negativo). Se detecta al comparar el número de pulsos audibles por segundo con la diferencia de frecuencias de las fuentes. Se corrige recordando que la frecuencia de batimiento acústico es exactamente $f_{\text{bat}} = |f_1 - f_2|$, sin dividir entre dos. Mini-ejemplo: entre $440\text{ Hz}$ y $442\text{ Hz}$, la envolvente tiene frecuencia $1\text{ Hz}$, pero se escuchan 2 pulsos por segundo.

Error 2: sumar intensidades directamente en lugar de campos al calcular interferencia

Parece razonable sumar la potencia o intensidad luminosa de dos ondas coherentes como $I_{\text{tot}} = I_1 + I_2$. Falla porque el principio de superposición se aplica a las amplitudes de los campos vectoriales ($E = E_1 + E_2$), y la intensidad es proporcional al cuadrado del campo resultante: $I \propto |E_1 + E_2|^2 = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\Delta\phi$. Se detecta cuando no aparece ningún término de interferencia dependiente del desfase relativo. Se corrige calculando siempre la suma de campos antes de elevar al cuadrado. Mini-ejemplo: dos ondas en fase de amplitud $E_0$ e intensidad $I_0$ producen un campo $2E_0$ y una intensidad de $4I_0$, no $2I_0$.

Error 3: confundir la velocidad de fase con la velocidad de grupo en paquetes de ondas

Parece razonable asumir que la energía o la información de un grupo de ondas viaja a la misma velocidad que las crestas individuales de las ondas sinusoidales que lo forman. Falla en medios dispersivos, donde la velocidad de fase $v_p = \omega/k$ varía con la frecuencia y la envolvente del paquete viaja a la velocidad de grupo $v_g = d\omega/dk$. Se detecta cuando la velocidad de propagación de la señal calculada difiere de la derivada de la relación de dispersión. Se corrige evaluando $v_g = \frac{d\omega}{dk}$ en la frecuencia central del paquete. Mini-ejemplo: en ondas de aguas profundas donde $\omega \propto \sqrt{k}$, la velocidad de grupo es exactamente la mitad de la velocidad de fase ($v_g = v_p / 2$).

Error 4: identificar incorrectamente la distancia entre nodos en ondas estacionarias

Parece razonable suponer que la distancia entre dos nodos consecutivos de una onda estacionaria es igual a una longitud de onda completa $\lambda$. Falla porque en una longitud de onda caben dos vientres y dos nodos; la función espacial es $\sin(kx) = \sin(2\pi x / \lambda)$, cuyos ceros se repiten cada medio ciclo $\pi$, lo que corresponde a $x = \lambda/2$. Se detecta si la longitud de una cuerda resonante en su modo fundamental se calcula como $\lambda$ en lugar de $\lambda/2$. Se corrige recordando que la distancia entre nodos consecutivos es siempre $\lambda/2$, y entre un nodo y el antinodo contiguo es $\lambda/4$. Mini-ejemplo: en una cuerda de guitarra de $65\text{ cm}$ en su armónico fundamental, la longitud de onda es $130\text{ cm}$, no $65\text{ cm}$.

Error 5: aplicar superposición lineal en regímenes de gran amplitud

Parece razonable asumir que las olas del mar o las ondas sonoras en el aire siempre pueden superponerse linealmente sin importar su amplitud. Falla cuando las perturbaciones son tan intensas que los gradientes de presión modifican la temperatura o la densidad local del medio, alterando la velocidad de propagación y produciendo ondas de choque no lineales (como el estampido sónico o frentes de compresión empinados). Se detecta cuando la amplitud de la perturbación es comparable a la presión estática del medio. Se corrige utilizando las ecuaciones no lineales de la dinámica de fluidos (ecuaciones de Euler o Navier-Stokes completas). Mini-ejemplo: el choque de dos ondas de sonido de $180\text{ dB}$ genera armónicos superiores y dispersión no lineal en lugar de una simple superposición sinusoidal.

Regla rápida de detección

Si al calcular batimientos divides la diferencia de frecuencias entre dos para la tasa audible, si sumas intensidades escalares para ondas coherentes sin término de interferencia, o si asignas una separación de $\lambda$ completa entre nodos adyacentes, estás cometiendo un error conceptual en superposición.

Aplicaciones físicas

1. Instrumentos musicales y física de las cuerdas sonoras

Aparece al tocar guitarras, violines y pianos, donde cuerdas tensadas entre dos soportes fijos vibran formando modos estacionarios. Se calcula fijando las condiciones de contorno de nodo en los extremos fijos $x=0$ y $x=L$: $\sin(k L) = 0 \implies L = n \lambda_n / 2$. El resultado da las frecuencias armónicas naturales cuantizadas $f_n = n \frac{v}{2L} = n \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}$. El error peligroso es olvidar que la velocidad de propagación $v$ depende de la tensión mecánica $T$ y de la densidad lineal de masa $\mu$. Como control final, el alumno debe explicar por qué pisar un traste a mitad del mástil ($L/2$) duplica exactamente la frecuencia fundamental (salto de una octava).

2. Acústica de tubos resonantes y órganos

Aparece al estudiar la resonancia de columnas de aire en flautas, trompetas y tubos de órgano. Se calcula resolviendo la superposición de ondas longitudinales de presión bajo extremos abiertos (antinodos de desplazamiento / nodos de presión) o cerrados (nodos de desplazamiento). El resultado predice que los tubos abiertos emiten todos los armónicos $f_n = n \frac{v}{2L}$, mientras que los cerrados en un extremo solo resuenan en armónicos impares $f_n = (2n-1)\frac{v}{4L}$. El error peligroso es omitir la corrección de extremo por la radiación de la boca del tubo, que alarga efectivamente la longitud acústica. Como control final, el alumno debe explicar por qué un clarinete (cerrado-abierto) suena una octava más grave que una flauta (abierta-abierta) de la misma longitud física.

3. Afinación por batimientos en instrumentos acústicos

Aparece al afinar pianos, guitarras o secciones de viento en una orquesta sin equipos electrónicos. Se calcula haciendo sonar simultáneamente una referencia calibrada y el instrumento a ajustar, escuchando la frecuencia de batimiento $f_{\text{bat}} = |f_1 - f_2|$. El resultado permite detectar diferencias de afinación de hasta fracciones de hercio mediante la cadencia de las pulsaciones sonoras. El error peligroso es intentar afinar cuando las dos fuentes poseen intensidades tan dispares que la profundidad de modulación de la envolvente se vuelve inaudible. Como control final, el alumno debe explicar por qué la cadencia de batimientos disminuye gradualmente hacia cero a medida que la afinación se vuelve perfecta.

4. Dispersión y propagación de paquetes de ondas en fibras ópticas

Aparece en las telecomunicaciones por fibra óptica de alta velocidad al transmitir pulsos de luz modulados que contienen un espectro continuo de longitudes de onda. Se calcula superponiendo las componentes monocromáticas que viajan a velocidades de fase ligeramente distintas debido a la dispersión cromática del vidrio $\frac{d^2 \beta}{d\omega^2}$. El resultado predice el ensanchamiento temporal del pulso a lo largo de los kilómetros de fibra, lo que limita la tasa máxima de transmisión en gigabits por segundo. El error peligroso es calcular el tiempo de propagación del pulso con la velocidad de fase $c/n$ en lugar de la velocidad de grupo del paquete $v_g$. Como control final, el alumno debe justificar el uso de fibras de dispersión desplazada o compensación óptica de dispersión.

5. Cavidades resonantes en láseres y microondas

Aparece al diseñar cavidades Fabry-Pérot en osciladores láser y cavidades de radiofrecuencia en aceleradores de partículas. Se calcula superponiendo las reflexiones múltiples entre dos espejos planos paralelos altamente reflectores separados una distancia $d$. El resultado establece la condición de resonancia constructiva $2 d = m \lambda$, seleccionando modos longitudinales discretos de radiación electromagnética coherente. El error peligroso es ignorar los desfases de reflexión en los recubrimientos dieléctricos de los espejos, que desplazan las frecuencias de resonancia de la cavidad. Como control final, el alumno debe calcular el intervalo espectral libre (FSR, $\Delta f = c/(2d)$) y relacionarlo con la separación en frecuencia entre líneas de emisión láser consecutivas.

Practica

Nivel 1: reconocimiento

Indica si cada uno de los siguientes fenómenos obedece a superposición lineal de ondas o si pertenece a un régimen no lineal: a) Interferencia de dos haces de luz láser cruzándose en el aire. b) Formación de una onda de choque sónica por un avión que supera la velocidad del sonido. c) Batimientos escuchados al tocar dos cuerdas de violín ligeramente desafinadas. d) Resonancia de modos estacionarios en una columna de aire cerrada por un extremo.

Ejercicio: Justifica por qué la onda de choque es un fenómeno no lineal mientras que los batimientos son puramente lineales.

Nivel 2: aplicación directa

Dos ondas sinusoidales viajan en una cuerda en sentidos opuestos: $y_1(x,t) = 0.04 \sin(5x - 30t)\text{ m}$ $y_2(x,t) = 0.04 \sin(5x + 30t)\text{ m}$

Ejercicio: Escribe la ecuación de la onda estacionaria resultante, halla la posición de los tres primeros nodos para $x \ge 0$ y calcula la velocidad máxima transversal de un punto situado en un antinodo.

Nivel 3: elección de herramienta

Se tienen dos señales electromagnéticas $s_1(t) = \cos(1000 t)$ y $s_2(t) = \cos(1002 t)$.

Ejercicio: Explica por qué el método de los fasores estáticos no es adecuado para describir la suma de estas señales y demuestra mediante identidades trigonométricas cómo se obtiene la envolvente de batimiento de $2\text{ rad/s}$ ($0.318\text{ Hz}$).

Nivel 4: interpretación física

En un tubo de órgano de longitud $L$ abierto por ambos extremos, el aire vibra formando ondas acústicas estacionarias con condición de contorno de antinodo de desplazamiento en ambos extremos abiertos.

Ejercicio: Demuestra a partir de la superposición de ondas que las longitudes de onda permitidas son $\lambda_n = \frac{2L}{n}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) y explica por qué un tubo de órgano abierto por ambos extremos genera todos los armónicos enteros mientras que uno cerrado en un extremo solo produce armónicos impares.

Nivel 5: error intencionado

Un estudiante calcula la interferencia de dos fuentes sonoras coherentes de la misma frecuencia con intensidades $I_1 = 100\text{ mW/m}^2$ e $I_2 = 100\text{ mW/m}^2$. El estudiante afirma: "Como las fuentes son coherentes y están en fase, la intensidad total máxima es la suma de las intensidades multiplicada por dos: $I_{\text{tot}} = 2(I_1 + I_2) = 400\text{ mW/m}^2$". En cambio, para desfase de $180^\circ$, escribe: $I_{\text{tot}} = I_1 - I_2 = 0$.

Ejercicio: Analiza por qué la intensidad total no se calcula sumando intensidades con factores arbitrarios sino sumando amplitudes de campo de presión: $I \propto (P_1 + P_2)^2$, y demuestra que para dos fuentes en fase idénticas la intensidad máxima es $4 I_1 = 400\text{ mW/m}^2$, señalando la inconsistencia en el razonamiento del estudiante.