Series de Fourier

Descomposición de señales periódicas en armónicos sinusoidales mediante coeficientes y series de Fourier.

Que es

Una serie de Fourier es la representación de una función periódica $f(t)$ de periodo fundamental $T$ como una suma infinita de funciones armónicas sinusoidales ortogonales: $f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[ a_n \cos(n \omega_0 t) + b_n \sin(n \omega_0 t) \right]$ donde $\omega_0 = 2\pi/T$ es la frecuencia angular fundamental.

En formulación compleja exponencial, adopta la forma equivalente y más compacta: $f(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i n \omega_0 t}$ donde los coeficientes complejos $c_n$ se calculan mediante la proyección integral sobre la base ortogonal: $c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-i n \omega_0 t} dt$ Las series de Fourier demuestran que cualquier señal periódica continua a trozos con derivadas acotadas (condiciones de Dirichlet) puede descomponerse de forma única en un espectro discreto de frecuencias armónicas múltiples enteras de $\omega_0$.

Por qué aparece en física

Aparece en física porque la mayoría de las fuerzas periódicas que actúan sobre sistemas mecánicos, térmicos o electromagnéticos (el campo magnético pulsante en un motor eléctrico, la presión periódica de un pistón, la señal eléctrica rectificada de un diodo o la vibración de una cuerda punteada) no son sinusoides puras, sino ondas cuadradas, triangulares o trenes de pulsos.

Dado que las ecuaciones diferenciales que gobiernan los medios lineales son fáciles de resolver para entradas sinusoidales puras, descomponer una excitación arbitraria $f(t)$ en su serie de Fourier permite resolver la respuesta del sistema para cada armónico $n\omega_0$ por separado y luego sumar las respuestas individuales gracias al principio de superposición lineal. Además, el teorema de Parseval establece una conservación rigurosa: la energía total o potencia media de la señal periódica es exactamente la suma de las potencias de sus armónicos individuales.

Idea visual o geométrica

Imagina el espacio de funciones periódicas como un espacio vectorial de Hilbert de infinitas dimensiones. En este espacio, las funciones $\cos(n\omega_0 t)$ y $\sin(n\omega_0 t)$ forman un conjunto de ejes ortogonales perpendiculares entre sí, exactamente igual que los vectores unitarios $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ en el espacio tridimensional.

Calcular un coeficiente de Fourier no es más que proyectar la función $f(t)$ sobre uno de esos ejes armónicos mediante el producto escalar funcional $\langle f, g \rangle = \int f(t) g(t) dt$. La serie reconstruye la función sumando las componentes vectoriales a lo largo de cada eje de frecuencia. Al aproximar una onda discontinua (como una onda cuadrada) con un número finito de armónicos, se observan oscilaciones espurias cerca de las esquinas que nunca desaparecen del todo, alcanzando un sobreimpulso del $9$: es el fenómeno de Gibbs.

Lenguaje simbólico mínimo

• Forma trigonométrica: $f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty [a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t)]$.
• Coeficiente de valor medio (DC): $a_0 = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt = 2 c_0$.
• Coeficientes cosenoidales: $a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos(n\omega_0 t) dt$.
• Coeficientes senoidales: $b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin(n\omega_0 t) dt$.
• Forma exponencial compleja: $f(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i n \omega_0 t}$, con $c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-i n \omega_0 t} dt$.
• Relación entre coeficientes: $c_n = \frac{a_n - i b_n}{2}$, $c_{-n} = c_n^* = \frac{a_n + i b_n}{2}$ (para $f(t)$ real).
• Teorema de Parseval (conservación de energía): $\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |f(t)|^2 dt = \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = \frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2)$.

Que significa el resultado

Cada par de coeficientes $(a_n, b_n)$ o coeficiente complejo $c_n = |c_n| e^{i\phi_n}$ proporciona la amplitud y la fase del $n$-ésimo armónico de la señal. El módulo $|c_n|$ define el espectro de amplitud (cuánto pesa la frecuencia $n\omega_0$ en la señal) y $\phi_n$ el espectro de fase.

Si una función es par ($f(-t) = f(t)$), todos sus coeficientes $b_n$ son idénticamente cero (solo contiene cosenos). Si es impar ($f(-t) = -f(t)$), todos sus $a_n$ son nulos (solo contiene senos). Además, la rapidez con la que decaen los coeficientes con $n$ revela la suavidad de la función física: si la función tiene saltos discontinuos (onda cuadrada), decae como $1/n$; si es continua pero con picos en sus derivadas (onda triangular), decae como $1/n^2$; y si es infinitamente derivable, decae exponencialmente.

Cuando no debes usarlo

No debes usar series de Fourier ordinarias para señales no periódicas o pulsos aislados en el tiempo: las series de Fourier asumen implícitamente que el patrón se repite hasta el infinito en ambas direcciones temporales. Para pulsos transitorios o transitorios no periódicos, se debe utilizar la transformada continua de Fourier.

Tampoco debes confiar ciegamente en el valor puntual de la serie de Fourier en puntos exactos de discontinuidad de salto: en esos puntos, la serie de Fourier converge al promedio aritmético del límite por la izquierda y por la derecha $\frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}$, y presenta el fenómeno de Gibbs en sus proximidades.

Resumen operativo

Determina el periodo fundamental $T$ y la frecuencia angular $\omega_0 = 2\pi/T$. Analiza las simetrías de la función (par $\implies b_n = 0$; impar $\implies a_n = 0$; simetría de media onda $\implies$ solo armónicos impares). Calcula el valor medio $a_0$ integrando la función en un periodo. Integra para hallar $a_n$ y $b_n$ (o $c_n$) aplicando integración por partes. Escribe la serie armónica y usa el teorema de Parseval para calcular la potencia contenida en los primeros armónicos.

Procedimiento

Antes de calcular

Verifica que la función sea periódica, identifica su periodo fundamental $T$ y calcula la frecuencia angular fundamental $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$.

Elige el intervalo de integración más conveniente: $[0, T]$ o $[-T/2, T/2]$, aprovechando simetrías respecto al origen.

Paso 1: identifica el objeto matemático

Analiza la paridad de la función $f(t)$:

• Si $f(-t) = f(t)$ (función par), todos los $b_n = 0$; solo calculas $a_0$ y $a_n$.
• Si $f(-t) = -f(t)$ (función impar), $a_0 = 0$ y todos los $a_n = 0$; solo calculas $b_n$.
• Si $f(t + T/2) = -f(t)$ (simetría de media onda), todos los armónicos pares son nulos ($a_{2k} = b_{2k} = 0$).

Paso 2: elige la operación

Calcula el valor medio (componente continua): $a_0 = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt$.

Plantea las integrales para los coeficientes armónicos generales: $a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos(n \omega_0 t) dt$, $b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin(n \omega_0 t) dt$.

Paso 3: conserva unidades y signos

Ten cuidado con los signos al evaluar $\cos(n\pi) = (-1)^n$ y $\sin(n\pi) = 0$ para $n$ entero.

Asegúrate de no dividir entre $n$ antes de confirmar que $n \ge 1$, tratando el término $n=0$ ($a_0$) siempre como un caso separado.

Paso 4: calcula

Resuelve las integrales por partes: $\int u dv = u v - \int v du$.

Factoriza expresiones comunes que dependan de $(-1)^n$, separando si es necesario los casos en que $n$ es par ($n = 2k$) o impar ($n = 2k + 1$).

Paso 5: interpreta el resultado

Escribe los primeros términos no nulos de la serie explícitamente: $f(t) \approx \frac{a_0}{2} + a_1 \cos(\omega_0 t) + b_1 \sin(\omega_0 t) + \dots$

Calcula la potencia disipada por los primeros armónicos mediante el teorema de Parseval y comprueba qué porcentaje de la potencia total de la señal queda capturado con las primeras componentes.

Checklist de autocontrol

• ¿Aprovechaste la simetría par o impar para evitar calcular la mitad de las integrales?
• ¿Evaluaste $a_0$ por separado para evitar divisiones por cero en $1/n$?
• ¿Comprobaste que $\cos(n\pi) = (-1)^n$ y que los términos pares/impares se anulan según lo previsto?
• ¿La serie converge al valor medio en las discontinuidades de salto?

Ejemplo guiado

Situación física

Una señal eléctrica periódica consiste en una onda cuadrada simétrica de periodo $T = 2\pi$ (de modo que $\omega_0 = 1\text{ rad/s}$) y amplitud $V_0 = 1\text{ V}$, definida en el intervalo $[-\pi, \pi]$ como: $f(t) = -1\text{ V}$ para $-\pi < t < 0$, y $f(t) = +1\text{ V}$ para $0 < t < \pi$. Se desea calcular su desarrollo en serie de Fourier.

Traducción matemática

Observamos que $f(-t) = -f(t)$, por lo que es una función impar. En consecuencia, el valor medio es $a_0 = 0$ y todos los coeficientes de los cosenos son nulos: $a_n = 0$ para todo $n$. Solo debemos calcular los coeficientes senoidales $b_n$.

Calculo paso a paso

1. Fórmula de $b_n$ para función impar con $T = 2\pi$: $b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi (1) \sin(n t) dt$.
2. Integramos el seno: $\int_0^\pi \sin(n t) dt = \left[ -\frac{\cos(n t)}{n} \right]_0^\pi = -\frac{\cos(n\pi) - \cos(0)}{n} = \frac{1 - (-1)^n}{n}$.
3. Sustituimos en $b_n$: $b_n = \frac{2}{\pi} \frac{1 - (-1)^n}{n}$.
4. Evaluamos según la paridad de $n$:

• Si $n$ es par ($n = 2, 4, 6, \dots$): $(-1)^n = 1 \implies 1 - 1 = 0 \implies b_n = 0$.
• Si $n$ es impar ($n = 1, 3, 5, \dots$): $(-1)^n = -1 \implies 1 - (-1) = 2 \implies b_n = \frac{4}{n\pi}$.

5. Escribimos la serie de Fourier: $f(t) = \frac{4}{\pi} \left( \sin(t) + \frac{\sin(3t)}{3} + \frac{\sin(5t)}{5} + \frac{\sin(7t)}{7} + \dots \right)$.

Lectura del resultado

La onda cuadrada se descompone exclusivamente en armónicos impares cuya amplitud decrece como $1/n$. El armónico fundamental ($n=1$) tiene una amplitud de pico de $\frac{4}{\pi} \approx 1.273\text{ V}$, mayor que la propia onda cuadrada, pero al sumar los armónicos impares superiores en contrafase, los picos se aplanan gradualmente formando la meseta plana de la onda cuadrada.

Error común evitado

Se evitó calcular las integrales de $a_n$, que habrían consumido tiempo innecesario cuando la simetría impar garantiza que todos los cosenos se anulan de antemano.

Ejemplo inverso

Resultado dado

El espectro de Fourier de la salida de un rectificador de onda completa viene dado por: $v(t) = \frac{2 V_0}{\pi} - \frac{4 V_0}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos(2k \omega_0 t)}{4k^2 - 1}$.

Que pregunta física permite responder

Permite dimensionar el filtro paso-bajo de la fuente de alimentación: el componente de continua deseado es $\frac{2 V_0}{\pi}$, mientras que el primer rizado parásito indeseable aparece al doble de la frecuencia de la red ($2\omega_0 = 100\text{ Hz}$ o $120\text{ Hz}$) con una amplitud de $\frac{4 V_0}{3\pi}$, lo que indica de inmediato a qué frecuencia debe actuar el condensador de filtrado para eliminar el rizado de tensión.

Errores frecuentes

Error 1: olvidar el factor 1/2 en el término independiente a0

Parece razonable escribir la serie de Fourier como $a_0 + \sum (a_n \cos + b_n \sin)$. Falla porque si se define la integral de $a_n$ para $n=0$, la fórmula da $a_0 = \frac{2}{T} \int f(t) dt$, que es exactamente el doble del valor medio real de la función $\bar{f} = \frac{1}{T} \int f(t) dt$. Se detecta si la serie reconstruida tiene un desplazamiento vertical que duplica el valor medio de la señal original. Se corrige escribiendo rigurosamente $\frac{a_0}{2}$ en la serie o definiendo desde el inicio $a_0 = \frac{1}{T} \int f(t) dt$. Mini-ejemplo: para una constante $f(t) = 5$, $a_0 = 10$, por lo que la serie debe sumar $\frac{a_0}{2} = 5$, no $a_0 = 10$.

Error 2: evaluar incorrectamente (-1)^n para armónicos pares e impares

Parece razonable asumir que $(-1)^n$ siempre es negativo o simplificarlo erróneamente en los límites de integración. Falla porque $(-1)^n = +1$ cuando $n$ es par ($2, 4, 6$) y $(-1)^n = -1$ cuando $n$ es impar ($1, 3, 5$), lo cual cancela o duplica alternativamente los coeficientes. Se detecta cuando la serie incluye armónicos pares que deberían haberse cancelado por simetría de media onda. Se corrige evaluando explícitamente los casos $n = 2k$ y $n = 2k+1$. Mini-ejemplo: la expresión $1 - (-1)^n$ vale 0 para $n$ par y 2 para $n$ impar; tratarla como constante produce coeficientes espurios.

Error 3: confundir la frecuencia angular fundamental con 1 rad/s

Parece razonable usar $\cos(n t)$ y $\sin(n t)$ en cualquier problema, olvidando ajustar la escala temporal si el periodo $T$ no es $2\pi$. Falla porque la base armónica correcta es $\cos(n \omega_0 t) = \cos(n \frac{2\pi}{T} t)$; omitir $\omega_0$ comprime o dilata erróneamente la frecuencia de todos los armónicos. Se detecta comprobando si el argumento de las funciones trigonométricas se anula o repite con el periodo real $T$. Se corrige calculando siempre $\omega_0 = 2\pi/T$ antes de plantear las integrales. Mini-ejemplo: para una señal de $50\text{ Hz}$ ($T = 0.02\text{ s}$), el argumento es $n(100\pi)t$, no $nt$.

Error 4: creer que el fenómeno de Gibbs desaparece sumando más armónicos

Parece razonable suponer que aumentando el número de términos de la serie de 10 a 1000 el sobreimpulso cerca de una discontinuidad de salto se reducirá a cero. Falla porque el teorema de Dirichlet garantiza convergencia puntual pero no uniforme en discontinuidades: el ancho del sobreimpulso se comprime hacia la discontinuidad pero su altura relativa permanece fija en aproximadamente un $8.95\%$ del salto. Se detecta al observar oscilaciones pronunciadas al graficar la aproximación de orden elevado. Se corrige comprendiendo que es una propiedad matemática intrínseca de la base de Fourier, o aplicando ventanas de suavizado (como los factores $\sigma$ de Lanczos). Mini-ejemplo: una onda cuadrada de altura 1 siempre tendrá picos de aproximación que rozan 1.09 antes del escalón.

Error 5: olvidar el factor 1/2 en la suma de potencias del teorema de Parseval

Parece razonable calcular la potencia total sumando directamente los cuadrados de los coeficientes: $P = a_0^2 + \sum (a_n^2 + b_n^2)$. Falla porque el promedio temporal de $\cos^2(n\omega_0 t)$ y $\sin^2(n\omega_0 t)$ sobre un periodo completo es $1/2$, no 1. Se detecta si la potencia calculada en el dominio de la frecuencia duplica la potencia calculada integrando $|f(t)|^2$ en el dominio temporal. Se corrige aplicando la forma correcta de Parseval: $P = \frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2)$. Mini-ejemplo: para $f(t) = \cos(t)$, $a_1 = 1$, la potencia media es $\frac{1}{2}(1)^2 = 0.5\text{ W}$, no $1\text{ W}$.

Regla rápida de detección

Si la componente continua de la serie duplica el valor medio visual de la gráfica, si omites el factor $1/2$ en la potencia de Parseval, o si olvidas que la distancia armónica entre frecuencias es $\omega_0 = 2\pi/T$, la serie de Fourier está mal normalizada.

Aplicaciones físicas

1. Filtrado armónico en fuentes de alimentación y electrónica de potencia

Aparece al convertir corriente alterna en corriente continua mediante rectificadores de diodos. Se calcula descomponiendo la onda rectificada en su serie de Fourier para identificar la componente continua deseada y los armónicos indeseables de rizado ($2\omega_0, 4\omega_0, \dots$). El resultado determina los valores de inductancias y condensadores en filtros LC necesarios para atenuar los armónicos de rizado por debajo del umbral de ruido permitido. El error peligroso es diseñar el filtro considerando únicamente la amplitud pico a pico temporal sin analizar qué armónico concentra la mayor potencia espectral. Como control final, el alumno debe verificar que un filtro LC de segundo orden atenúa el armónico principal de rizado como $1/\omega^2$.

2. Acústica musical y timbre de los instrumentos

Aparece al analizar por qué una flauta, un clarinete y un violín suenan completamente distintos aunque toquen la misma nota musical (idéntica frecuencia fundamental $f_0$). Se calcula obteniendo el espectro de coeficientes de Fourier $|c_n|$ de la forma de onda de cada instrumento. El resultado muestra que el timbre depende de la distribución relativa de energía entre los armónicos superiores: la flauta es casi sinusoidal pura ($n=1$), el clarinete potencia los armónicos impares y el violín genera un espectro rico y denso de armónicos. El error peligroso es confundir el tono (determinado por $f_0$) con el timbre (determinado por los $|c_n|$). Como control final, el alumno debe explicar por qué un sintetizador electrónico puede recrear el sonido de cualquier instrumento sumando osciladores sinusoidales ponderados por su serie de Fourier.

3. Conducción periódica del calor y temperatura en capas terrestres

Aparece en geofísica y termodinámica al estudiar la propagación de las variaciones térmicas día/noche y verano/invierno en el subsuelo. Se calcula expresando la temperatura superficial como una serie de Fourier temporal y resolviendo la ecuación de difusión térmica $\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$ para cada armónico. El resultado muestra que cada armónico $n\omega_0$ penetra en la tierra con una profundidad de atenuación diferente $\delta_n = \sqrt{2\alpha/(n\omega_0)}$ y con un retraso de fase proporcional a la profundidad. El error peligroso es utilizar una única constante de penetración ignorando que la onda térmica anual penetra mucho más profundo que la oscilación diaria. Como control final, el alumno debe calcular a qué profundidad la oscilación térmica anual llega en completa oposición de fase (verano en superficie = invierno bajo tierra).

4. Vibraciones forzadas bajo excitaciones periódicas no sinusoidales

Aparece en ingeniería mecánica al analizar la respuesta elástica de cigüeñales de motor, alas de aeronaves o suspensiones vehiculares sometidas a impactos periódicos. Se calcula expandiendo la fuerza periódica externa en serie de Fourier $F(t) = \sum F_n e^{i n \omega_0 t}$ y calculando la oscilación del sistema como suma de respuestas lineales $x(t) = \sum \tilde{x}_n e^{i n \omega_0 t}$. El resultado predice resonancias peligrosas no solo cuando la frecuencia fundamental coincide con la frecuencia propia del sistema ($\omega_0 \approx \omega_n$), sino también cuando cualquiera de los armónicos superiores de la fuerza excita la resonancia ($n\omega_0 \approx \omega_n$). El error peligroso es verificar la resonancia únicamente frente a la frecuencia fundamental ignorando los armónicos superiores. Como control final, el alumno debe identificar cuál es el armónico de Fourier que coincide con la frecuencia crítica del sistema mecánico.

5. Resonancia magnética nuclear (RMN) y espectroscopía

Aparece en medicina (imágenes por resonancia magnética, MRI) y química estructural al excitar núcleos atómicos con pulsos periódicos de radiofrecuencia. Se calcula analizando la respuesta de relajación nuclear libre (FID) mediante descomposición armónica de las frecuencias de precesión de Larmor de los spines en el campo magnético. El resultado da un espectro de líneas que identifica la estructura química y el entorno molecular exacto de los átomos de hidrógeno en los tejidos. El error peligroso es confundir ensanchamientos de línea por inhomogeneidad de campo estático con desplazamientos químicos reales de los armónicos de resonancia. Como control final, el alumno debe relacionar la separación en frecuencia de los picos del espectro con el desplazamiento químico en partes por millón (ppm).

Practica

Nivel 1: reconocimiento

Analiza las siguientes señales periódicas e indica, sin calcular ninguna integral, cuáles de sus coeficientes de Fourier ($a_0, a_n, b_n$) son idénticamente nulos basándote en su simetría: a) Una onda triangular par $f(t) = |t|$ para $t \in [-\pi, \pi]$. b) Una onda diente de sierra impar $f(t) = t$ para $t \in [-\pi, \pi]$. c) Una onda sinusoidal rectificada de media onda (solo semiciclos positivos).

Ejercicio: Para la onda triangular, explica por qué no puede contener ningún término en seno.

Nivel 2: aplicación directa

Halla la serie de Fourier de la onda diente de sierra periódica $f(t) = t$ definida en el intervalo $-\pi < t < \pi$ con periodo $T = 2\pi$.

Ejercicio: Calcula los coeficientes $b_n$ mediante integración por partes y escribe los primeros cuatro términos no nulos de la serie.

Nivel 3: elección de herramienta

Se desea aproximar una onda periódica continua con esquinas vivas (onda triangular) frente a una onda con discontinuidades de salto (onda cuadrada).

Ejercicio: Explica mediante el decaimiento asintótico de los coeficientes de Fourier por qué la serie de la onda triangular converge como $1/n^2$ mucho más rápido que la de la onda cuadrada ($1/n$), y deduce cuántos armónicos se necesitan aproximadamente en cada caso para capturar el $95\%$ de la potencia total.

Nivel 4: interpretación física

Aplica el teorema de Parseval a la serie de Fourier de la onda cuadrada $f(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^\infty \frac{\sin((2k+1)t)}{2k+1}$.

Ejercicio: Sabiendo que la potencia media total de la onda cuadrada unitaria es $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi (\pm 1)^2 dt = 1$, iguala este resultado a la suma de Parseval $\frac{1}{2} \sum b_n^2$ y demuestra la famosa identidad matemática de Euler: $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2} = 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \dots = \frac{\pi^2}{8}$.

Nivel 5: error intencionado

Un estudiante calcula la serie de Fourier de una onda periódica escalonada y afirma que evaluando la serie truncada en 100 armónicos en el punto exacto de la discontinuidad obtendrá el valor máximo de la onda sin sobreimpulso.

Ejercicio: Explica por qué esta afirmación viola el fenómeno de Gibbs, describe qué valor numérico exacto toma la serie infinita en la discontinuidad y explica por qué el sobreimpulso del $9\%$ persiste independientemente de cuántos armónicos se sumen.