Ecuaciones de Hamilton

Evolución canónica de coordenadas y momentos conjugados. Teoría, fórmulas, ejemplos resueltos y gráficas interactivas.

Contexto conceptual

Las ecuaciones de Hamilton describen la evolución de un sistema usando coordenadas canónicas y momentos conjugados. Despues de construir el hamiltoniano $H$, el estado ya no se lee como posición y velocidad, sino como un punto del espacio de fases formado por $q$ y $p$. La pregunta física cambia: no se busca solo una trayectoria, sino el campo que indica hacia donde se mueve cada punto de fase.

Este leaf continua naturalmente a la transformación de Legendre. Allí se justificaba como pasar de velocidades a momentos; aquí se usa el resultado para generar movimiento. El hamiltoniano no es solo una cantidad que se calcula: sus pendientes son las que producen las tasas de cambio de la coordenada y del momento.

🟢 Nivel esencial

La idea esencial es que el estado se mueve en un plano de fase. Una componente del movimiento dice como cambia la coordenada; la otra dice como cambia el momento. Esas dos componentes no se inventan por separado: salen de pendientes del hamiltoniano tomadas en direcciones distintas.

La pendiente en la dirección del momento gobierna el avance de la coordenada. La pendiente en la dirección de la coordenada gobierna el cambio del momento, pero con signo contrario. Esta asimetría de signos es la huella de la estructura canónica: no se trata de dos derivadas iguales, sino de una rotación del gradiente energético que produce flujo de fase.

Por eso, al nivel esencial, conviene imaginar el hamiltoniano como un relieve y el estado como un punto que no baja simplemente por la pendiente. La estructura canónica gira esa informacion y la convierte en movimiento alrededor de curvas de nivel. Esta imagen ayuda a entender por qué puede haber evolución continua aunque el valor de energía permanezca fijo.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

Esta primera capa formal reúne la relación de referencia que permite reconocer el modelo y leer sus variables antes de entrar en deducciones más abstractas. Conviene identificar qué representa cada término, qué hipótesis lo hace válido y cómo se conectan las coordenadas elegidas con el movimiento físico que se quiere describir.

La primera ecuación de Hamilton define la velocidad canónica de la coordenada:

Primera ecuacion de Hamilton

Preguntas reales del alumno

Una duda frecuente es por qué aparece un signo menos en la segunda ecuación. Ese signo no es una convención decorativa; hace que el flujo sea canónico y que, en modelos conservativos, el movimiento avance sobre curvas de nivel de $H$.

Otra duda es si $H$ constante significa que nada cambia. La respuesta es no. Un punto puede moverse continuamente por una curva de nivel manteniendo el mismo valor de hamiltoniano. Esa diferencia es esencial para entender oscilaciones, orbitas y estabilidad.

Síntesis final

Las ecuaciones de Hamilton convierten el hamiltoniano en un campo de evolución para coordenada y momento. La pendiente en $p$ produce $\dot{q}$, la pendiente en $q$ produce $\dot{p}$ con signo contrario, y la dependencia temporal explicita decide si $H$ se conserva. El objetivo final es leer la dinámica como flujo en espacio de fases.